实数的概念及开平方

第一讲 实数的概念与数的开方

知识梳理

一 实数的概念

1．无理数

定义:无限不循环的小数叫做无理数。 分类:可分为正无理数和负无理数。

说明:无理数应同时满足三个条件:(1)是小数;(2)是无限小数;(3)不循环.

常见三种表现形式：（1）带根号但开方开不尽的数，如2, 5等，但就不是无理

数； （2）特定意义的数, 如π类，

π

3

, π2，π2等都是无理数；

（3）有规律但不循环的小数，如0.[**************]…等数，数字排列有规律，但是，它们都是不循环的无限小数。

无理数和有理数的区别:任何一个有理数都可以写成

a

的形式, 其中a,b 都是整数，且b

b ≠0，而无理数不能写成这种形式。有限小数和无限循环小数与

a

的形式可以互化，因而它们都是有理数。 b

2. 实数的定义

有理数和无理数统称为实数 3. 实数的分类

根据实数的定义分类：

⎧⎧⎧正整数⎫

自然数⎪⎪⎬⎪

整数零⎨⎪⎭⎪

⎪⎪⎪

有理数⎨⎩负整数⎪

⎪⎪

实数⎨ ⎪正分数⎫⎪分数⎧数⎨⎬有限小数或无限循环小⎪⎪⎪⎩负分数⎭⎩⎪

⎪正无理数⎫⎪⎪无理数⎧⎨⎬无限不循环小数⎪负无理数⎪⎩⎭⎩

根据实数的符号分类：

⎧⎧⎧正整数

正有理数⎪⎪⎨

正实数⎨⎪⎩正分数

⎪⎪

⎩正无理数⎪

⎪

) 实数⎨零(既不是正数也不是负数

⎪

⎧⎧负整数⎪负有理数⎨

⎪负实数⎪⎨⎩负分数⎪⎪⎪⎩负无理数⎩

4．实数与数轴上点的对应

数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。 对应关系：实数与数轴上的点一一对应。

说明：（1）直线是可以向两方无限延伸的，故不存在最大实数，也不存在最小实数；

（2）线成点，在一条直线上不同的两个点之间还有无数个点，所以两个不同整

数或无理数之间有无数个实数。

（3）数和点的对应可看作是最简单的数形结合。 5．绝对值，相反数，倒数

绝对值：一个实数的绝对值就是指数轴上表示这个实数的点到原点的距离，距离是非负

的，因而绝对值是非负数。即a ≥0具体表示为：

⎧a , 当a >0时,

⎪

a =⎨0, 当a =0时,

⎪-a , 当a

说明：（1）两个正数中，绝对值大的数则大，两个负数中绝对值大的数反而小； （2）绝对值是非负的，但它可能等于-a （当a

的两个数绝对值相等 .

倒数：如果两个实数a 和b 满足a.b=1，那么a 与b 互为倒数，零没有倒数。 注意：相反数是它本身的数是0；倒数是它本身的数是±1；绝对值是它本身的数是非

负数。

二 数的开方

1开平方 （1）平方根

定义:如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫做a 的平方根(或二次方根), 即如

果,x =a那么x 就叫做a 的平方根.

注意:(1)一个实数的平方都是非负的, 所以a ≥0, 即被开方数≥0.

(2)a的平方根记作±a , 其中根指数2是省略的，a 表示a 的正的平方根又叫做算术平方根, -

2

a 表示a 的负的平方根。

(3)一个正数有两个平方根, 它们互为相反数;0有一个平方根, 是它本身; 负数没有平方根.

（4）9的平方根和的平方根是不一样的

（2）平方根与算术平方根的区别

（2）开平方及其与平方的关系

求一个数的平方根的运算, 叫做开平方; 平方与开平方互为逆运算。 注意:当a ≥0时, a 的平方是a a的平方根是±a

a 的算术平方根是a

2

a 2的平方根是±a

看清题目问的是什么。 2开立方 立方根

定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记作a ，读作三次根号a ，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数。 注意：（1）任何实数都有唯一确定的立方根；

（2）正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。

（2）开立方与立方的关系

求一个数的立方根的运算, 叫做开立方; 立方与开立方互为逆运算。 3 立方根与平方根的区别和联系

区别：（1）开平方时根指数2可以省略不写，但对于开立方，根指数3是不能省

的。

（2）一个正数的平方根有两个，但立方根却只有一个；负数没有平方根，

却有立方根，任何实数都有一唯一的一个立方根。

相同：0的平方根和立方根都是0本身。 4 n次方根

定义：如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方

根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。

注意：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；正数的奇次方根有一个且只有

一个，是正数，负数的奇次方根有一个且只有一个，是负数；零的n 次方根仍是零。

（2）n 为偶数时性质类似平方根，n 为奇数时性质类似立方根。

三 例题精讲

. . 1π

例1 1.414, ，25, -1, 5, 0. 36,0.020020002…,0.20302, , 27中哪些是有理数，

22

哪些是无理数？

选题意图：本题主要考察无理数的概念，同时复习有理数的概念。

解析：判断一个数是无理数还是无理数必须按定义来分，无限不循环小数是无理数，知道它的常见表现形式，抓住它的本质，无限小数，带根号的不一定是无理数，；有理数包括整数和分数，但有分数线的也不一定是分数。

答案：有理数包括整数和分数，25, 27 都是开方开得尽得数， 所以1.414,0.20302, 25, -1

. . 1, 0. 36, 27 都是有理数；2

是开方开不尽的数, , 0. 02002002... 是有规律但不循环小数，是有特定意义的π，所以它

2

π

们都是无理数。

针对训练

在5, -125,

例2 下列命题中正确的个数有( )

实数不是无理数就是有理数（2）不带根号的数一定是有理数（3）无理数数可以分为正 无理数和负无理数（4）有理数可以分为正有理数和负有理数（5）无理数一定是无限不循环 小数

A 2 B 3 C 4 D 5 出题意图：考查实数，有理数，无理数的分类

解析：实数分为有理数和无理数，故（1）对；π不带根号，但其为无理数，故（2）错；按符号分（3）对，（4）不对，0是有理数，0既不是正数也不是负数；据定义（5）对。故选B 。 答案：B 针对训练

下列语句错误的是（ ）

（A ）正整数，0，负整数统称为整数（B ）整数与分数统称为有理数 （C ）开方开不尽的数和π统称为无理数（D ）有理数，无理数统称为实数

例3求下列各式的值 （1）1.69的平方根 (2)

2222

，0.1213141516…中，无理数是______________. , π,

73

121 (3)±0. 0016 (4)9的算术平方根

144

选题意图：考查平方根，算术平方根的概念及常见数的平方。

解析：（1）最好记住1～20各整数的平方，这样才能熟练求出一些特殊数的平方根 （2）看清题问的是什么，算术平方根还是平方根，a 的还是a 的

（3）对于正的平方根, 被开数扩大100倍, 平方根就扩大10倍, 反之缩小100, 平方根就 缩小10倍.

答案：解：（1）因为(±1.3) =1.69,所以1.69的平方根是±1.3。 (2)因为12=144，11=121，所以

2

2

2

121=11

14412

(3)因为（0.04）=0.0016,所以±0. 0016=±004

2

(4)9=3,3的算术平方根是，所以9的算术平方根是3。 针对训练

求（1）256的平方根（2）0. 0001的算术平方根

例4 若x -y +与x +y -互为相反数，求

x +2y

的值。 x -y

选题意图：该题既考查了相反数与绝对值的性质，又通过非负数相加和为零，每一项都为零这一结论增强了学生思维能力。

解析：由互为相反数可知其和为0，又因为两数都大于等于0，所以只有同时都为零，才能使其和为0。

解：∵x -y +3与x +y -互为相反数

∴x -y +3+x +y -=0 又∵x -y +3≥0, x +y -≥0

⎧x -y +3=0∴⎨

x +y -2003=0⎩

∴x=1000,y=1003 ∴

x +2y

=-1002 x -y

答案：-1002

针对训练

已知x +3+(y -5) 2=0，求(x -y ) 的平方根。

2

例5 已知x,y 是实数，且y =

求x -3y 的值。

选题意图：考查被开方数必须大于0的性质.

解析：要求x-3y 的值，必须知道x,y 的值，一个等式求两正个未知数的值，不可能, 肯定还有隐含条件。看到含有字母的二次根式，就要想被开方数≥0，确定字母的取值范围，由此不难得出 x=3. 解：∵x -3≥0,3-x ≥0

∴x =3,x =±3

∴ y =

22

2

2

x 2-3+3-x 2+1

，

x 2

1 3

∴x -3y =±3-1

答案：±3-1 针对训练： 若y =

例6已知x 是满足不等式2x ≥1-+3x 的非负整数,y 是5-的小数部分, 求

(4+) xy 的4次方根。

选题意图：考查绝对值，无理数的性质，如何确定无理数的整数和小数部分，及n 次方根。

解析：要求结论必须知道x,y ；由不等式确定x 值；确定无理数的小数部分一般先确定其整数部分，确定整数部分把无理数平方看其介于哪两个相邻整数之间。

x 2-4+4-x 2

+4，求 x 2+y 的立方根

x -2

解：∵2x ≥1-8+3x ∴x ≤8-1 又∵22≤() 2≤32 ∴2≤≤3 ∴1≤-1≤2 又∵x 是非负整数 ∴x=0，或1, 又∵32≤≤42 ∴5-的整数部分是1 ∴y 是4- ∴xy=0或4-

∴(4+) xy 的4次方根是0或±4 答案：0，±45

针对训练 若x 为正整数，-x 为整数，试问式子-x 是否存在最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由。

四 优化作业

基础训练题（A ）

1．数3.14，2，π，0.323232…，

1

，9，1+2中，无理数的个数为（ ）． 7

（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个

2．下列说法中正确的是（ ）．

（A ）4是8的算术平方根 （B ）16的平方根是4 （C ）6是6的平方根 （D ）-a 没有平方根 3．若x 2=(-0. 7)，则x =（ ）．

2

（A ）-0.7 （B ）±0.7 （C ）0.7 （D ）0.49 4．的平方根是（ ）．

（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）±

5．一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．

（A ） 1 （B ） 0 （C ） -1 （D ）1，-1或0 6．a 的值是（ ）．

（A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 以上都可能 7．下列说法中，正确的是（ ）．

（Ａ）27的立方根是3，记作27=3 （B ）-25的算术平方根是5 （C ）a 的三次立方根是±a （D ）正数a 的算术平方根是a 8 下列各式中错误的是（ ）．

（A ）±. 36=±0. 6 （B ）0. 36=0. 6 （C ）-. 44=-1. 2 （D ）. 44=±1. 2

9．9的算术平方根是__________，81的平方根是___________． 10．若x +

-x 有意义，则x +1=___________．

12x -1

有意义．

11．当x _______时，根式

12．请你观察、思考下列计算过程： 因为11=121，所以

2

=11，同样，因为1112=12321，所以=111…由此

猜想=_________________． 765432113．求下列各数的平方根：

（1）

14．计算：

（1）256； （2）-. 44； （3）±

252 （2）(-4) （3）(-2)⋅(-8)． 416； （4）0. 01； 25

⎛2⎫（5） ±⎪； （6）±-4． ⎝3⎭

15．解方程：

2（1）4x =9； （2）(x +1)=1； （3）(5-3x )-222121=0． 49

16．将半径为12cm 的铁球融化，重新铸造出27个半径相同的小铁球，如不计损耗，小铁球半径是多少cm ？（提示：球的体积公式为v =

43πR ） 3

提高训练题（B ）

1. 平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是______；立方根等于本

身的数是___________．

2．如果a 2=36, 那么a 3=__________．

3．如果0≤a ≤1，化简|a |＋|a －1|＝__________．

4．当x ＝______时，2x +1＝0，当x ______时，式子x +2＋-x -2有意义．

5．如果（x －6）＋|y ＋2|＋z +1＝0，那么（x ＋1）＋（y －2）＋（z －3）的四2222次方根是______．

6．满足－2＜x ＜的整数x 是______________________．

7．正方体的体积是216 cm，则它的表面积是_______cm．

8．a ，b 为实数，则代数式（a －b ）＋ab ＋|a |的值…………………………（ ） 232

（A ）大于0 （B ）大于或等于0 （C ）小于0 （D ）等于0

9．一个正数的正的平方根是m ，那么比这个正数大1的数的平方根是………（ ）

（A ）m ＋1 B . ±m +1 （C ）m 2+1 （D ）±m 2+1 2

10．－-1＝2成立的条件是…………………………………………………（ ）

（A ）n 是偶数 （B ）n 是大于1的自然数 （C ）n 是大于1奇数 （D ）n 是整数

11．已知A ＝4a -b a +2是a ＋2的算术平方根，B ＝3a +2b 2-b 是2－b 的立方根．

求3A －2B 的立方根．

12．已知y ＝2x -1＋-2x ＋x ．求x +y 的值． －2

综合迁移题（C ）

1．若2014-a +a -2015=a ，则a -2014=______________

2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，则化简a -b +c +(a -b -c ) =_____________．

20152014a +b 3. 已知a,b 为实数, 且+a -(b -1) -b =0, 求的值 22

优化作业答案:

针对训练

1. 无理数有5，π,

2. C

3.

（1）±16（2）0.1 4. x +3≥0, (y -5) 2≥0，它们的和为0，所以⎨22, 0. 1213141516... 3 ⎧x +3=0，所以x=-3,y=5

⎩y -5=0

(x -y ) 2=64,故其平方根为±8

5. ∵x 2-4≥0, 4-x 2≥0

∴x =±2

又∵x -2≠0

∴x =-2,y =4

∴x 2+y =8，它的立方根是2

6. 解答：∵14-x ≥0

∴x 是不大于的正整数 又∵-x 是整数，14-x 是0～14间的完全平方数，它们是0，1，4，9，当14-x 取最大值9时，相应-x 的值也最大，即当x=14-9=5时，相应的-x =9=3最大。故当x=5时，-x 有最大值，最大值是3.

基础题(A)

1.B ;

2.C;

3.B;

4.D;

5.B;

6.D;

7.D;

8.D;

9.3, ±3;

10. 1; 11. x >1; 2

12.111111111; 5 (2)±4 (3)±4; 2

41-214.(1)16 (2)-1.2 (3)± (4)0.1 (5)±10=±; 5100

346815.(1)x =± (2)x =0或x =-2 （3）x =或x =； 221713.(1)±

16. 设小铁球的半径为r ，由题意可列方程为

44π⨯123=πr 3，解得r =4 33

答：略

提高题(B)

1. 0， 0、1， 0、1、-1；

2. ±216；

3.1； 4. -1； 2

5. ±3；

6.-1、0、1、2、3；

7.216；

8.B;

9.D;

10.\C;

11. 由题意可得⎨⎧4a -b -3=2⎧a =2，解得⎨，则A=2，B=-1,

⎩b =3⎩3a +2b -9=3

∴3A-2B=8，它的立方根为2；

12. 由题意可知，2x -1=0，则x =

∴y =4，

∴x +y ==3

综合迁移题(C)

1. a -2015≥0

∴a ≥2015 则原式可变为a -2014+a -2015=a

∴a -2015=2014，即a -2014=2015

2. a -b +c -a +b +c =2c （三角形中，两边之和大于第三边）

3. ∵1-b ≥0

∴b ≤1

又∵+a =(b -1) -b

∴b -1≥0 即b ≥1

综上所述，b =1，那么+a =0，即a =-1

[**************]4a +b =(-1) +1=-1+1=0 ∴221， 2