空间几何体
空间几何体
一、【知识点】
1、
柱、锥、台、球的结构特征以及他们的体积表面积算法
注意：1、空间四边形、正四面体、正三棱锥，2、直棱柱、正棱柱
1. 棱柱
(1)棱柱的定义：如果一个多面体有两个面互相平行, 而其余每相邻两个面的交线互相平行, 这样的多面体叫做棱柱．
(2)棱柱的分类：
棱
ìïïïï直柱ïí
ïïïï
ïî
棱
ì正棱柱ïï
柱ïí
ï其他棱柱ïïî
斜棱柱
(3)棱柱的主要性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (4)平行六面体与长方体:
①概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体; 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体; 底面是矩形的直平行六面体叫长方体．棱长都相等的长方体叫正方体． ②性质定理：
(Ⅰ) 平行六面体的对角线交于一点，并且交点处互相平分.
(Ⅱ) 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
即设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，对角线长为l ，则l =a +b +c ．
(5)棱柱的侧面积和体积公式:
①直棱柱的侧面积和体积公式:如果直棱柱的底面周长是C ，高是h ，那么它的侧面积是 S直棱柱=Ch ; 如果直棱柱的底面面积是S ，高是h ，那么它的体积是 v直棱柱=Sh ．
②斜棱柱的侧面积和体积公式:如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面) 的周长为C ，侧棱长为l ，那么斜棱柱的侧面积是 S斜棱柱侧=Cl ; 如果斜棱柱的直截面的面积为S ，侧棱长为z ，那么它的体积是V 斜棱柱=Sz．
2
2
2
2
注:
2. 棱锥
(1)棱锥的概念和性质:
①棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形, 其余是有一个公共顶点的三角形, 那么这个多面体叫做棱锥.
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②棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形„„，因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱
锥、五棱锥„„.
③性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．
(2)正棱锥的概念和性质:
①正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥． ②正棱锥的性质:(ⅰ) 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的高叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等．(ⅱ) 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形; 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．
3) 棱锥的面积和体积: ①棱锥的全面积(S全) 等于底面积(S底) 和侧面积(S侧) 之和，即S 全= S底+ S侧．若C 为正棱
h '为斜高，锥的底面周长，则S 侧=Ch '; ②棱锥的体积等于它的底面积(S底) 与高(h ) 的乘积的
1
211，即V 棱锥=Sh . 33
3. 棱台、圆台
用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥，将得到一个棱台（圆台）与一个三棱锥（圆锥）。
4. 球:(1)球面和球的概念:与定点的距离等于或小于定长的点的集合, 叫做球体, 简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. 与定点距离等于定长的点集合叫做球面.
如图的球中，O 是球心，线段OC 是半径，线段AB 是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O. ⑵球的截面的性质:
①用一个平面去截球，截面是圆；②球心到截面圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r ，有下面的关系：d =R -r ; 注:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆. ⑶球面面积S 球面=4πR ；球体积V 球=
2
222
43
πR . 3
5. 组合体——由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 【例】空间几何体
1、 构成多面体的面最少是（ ）
A ．三个 B． 四个 C． 五个 D． 六个
2、 一个骰子由1~6六个数字组成, 请你根据图中三种状态所显示的数字, 推出“？”处的数字是（ ）
A ． 6 B． 3 C． 1 D． 2
3、 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（ ）
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A ．圆锥 B．圆柱 C． 球体 D． 以上都可能
4、 一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（ ）
A ． B． C． D．
5、 A 、B 为球面上相异两点, 则通过A 、B 可作球的大圆有（ ）
A ．一个 B．无穷多个 C．零个 D．一个或无穷多个 【例】轴截面计算问题.
6、 若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥高度是_____________
7、 轴截面是等边三角形的圆锥，它的则面展开图的圆心角是______________
8、 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A ．
1+2π1+4π1+2π1+4π
B． C． D． 2π4ππ2π
（ ）
9. 圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是
A ．等边三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形
B ．等腰直角三角形 D ．其他等腰三角形
10. 轴截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图的圆心角等于 【例】空间几何体展开图的应用.
11. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD =3, AA 1=4, AB =5，则从A 点沿表面到C 1的最短距离是______________
12. 圆锥的母线长为8，底面半径为2，A 为底面圆周上一点，从点A 出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A ，求绳子最短为_____________
13. 四面体P-ABC 中, PA=PB=PC=2, ∠APB=∠BPC=∠APC=30. 一只蚂蚁从A 点出发沿四面体的表面绕一周, 再
回到A 点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．
【例】球内接/外切的计算.
14. 一个正方体外接球和内切球的表面积之比为__________________
15.
） A.3π
B. C. 4π D. 6π
16. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） Ａ．8πcm Ｂ．12πcm
2
2
Ｃ．16πcm
2
Ｄ．20πcm
2
解：B
正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则=2R ，
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R =S =4πR 2=12π
【例】体积、表面积的计算.
17．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
解：A
因为四个面是全等的正三角形，则S 表面积=4S 底面积=4⨯18. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
= 4
A
R 3 B
R 3 C
R 3 D
R 3 解：
A 2πr =πR , r =
R 1, h =V =πr 2h =R 3 2319. 若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的 （ ）
A ．2倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．5倍
20. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）
A ．1:2:3 B ．1:7:19 C ．3:4:5 D ．1:9:27
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3 解：A S 侧面积=π(r +3r ) l =84π, r =7
21．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是CC 1上任意一点，连接A 1B , BD , A 1D , AD ，则三棱锥A -A 1BD 的体积为（ ） A．
1313333
a B．a C．a D．a 3 612126
解：
.B V A -A 1BD =V D -A 1BA
11a 2=Sh =⨯=33222. 设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积是V ，P,Q 分别是侧棱AA 1, CC 1上的点，且PA =QC 1，则四棱锥B -APQC 的体积是（ ）
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A. V B. V C. V D. V
23. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 A、25π B、50π C、125π D、都不对
24. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 、F 分别是棱AA 1与CC 1的中点，则四棱锥A 1-EBFD 1的体积为__________
25. 三棱台上、下底面的对应边之比为1：2，过上底的一边作一个与其侧棱平行的平面，把棱台分成两部分，则这两部分的体积之比是_____________
26. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高
3，则这个球的体积为 ．
27. 已知三棱锥S -ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面
16141312
ABC
，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）
Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π
28. 如图，正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P -ABCD =
29. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则
图中三角形(正四面体的截面) 的面积是 .
2、空间几何体的三视图——三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；
平行投影与中心投影----平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。 【例】平行投影与中心投影
30．如图甲所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、C 1D 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的 。
16
，则球O 的表面积是（ ） 3
A ．4π B．8π C．12π D．16π
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31．如图（1）所示，E 、F 分别为正方体面AD D 'A '、面BC C 'B '的中心，则四边形BF D 'E 在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）的 。
32. 如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的投影所有可能的序号是（ ）
B
C
① ② ③ ④
(2)
D
A ．①③ B．②③④ C．③④ D．②④
33. 已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（ ） (3)
Ａ. 以上四个图形都正确 Ｂ. 只有（２）（４）正确Ｃ. 只有（４）错误 Ｄ. 只有（１）（２）正确
【例】三视图
34．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是
35．一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图，下列画法正确的是（ ）
36．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
（ ）
(4)
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A. 棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对
解 A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台 37． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;
图（2）中的三视图表示的实物为_____________。
解：2. （1）4 （2）圆锥
38. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） E G
侧视 D
图1
E
图2 B
E
A ．
B ． B
图（1）
图（2）
D E
C ．
D ．
【例】三视图求表面积与体积
正视图
侧视图
俯视图
39. 已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( B ） Ａ．
40、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（
D ）
A ．9π
B ．10π C．
11π D．12π 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图
41．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，
C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 A
[1**********]
cm Ｂ．cm Ｃ．2000cm 3 Ｄ．33
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高一数学 空间几何体
B
E
A ．
B ． G
侧视 D
E
E
F 图1
D
F 图2
E
C ．
D ．
42．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）
②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 ①正方形
A ．①②
B ．①③ C ．①④
D ．②④
43、右图是一个空间几何体三视图，它的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的
直角边长为1，那么这个几何体的体积为
Ｂ
A.1 B.
1
1
1 C. D. 623
侧
44、一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的表面积是 （ B ）
A ．
6+8 C．
12+7
B
．12+8 D ．18+2
第5题
45．已知某个几何体的三视图如下，其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2，A 1A =4。（单位cm ），俯 可得这个几何题的表面积是 24+2A 1
B 1
cm
2
．
左视图
主视图
左视图
俯视图
俯视图
（第9题）
46．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸cm ），可得这个几何体的体积是C
（单位：
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高一数学 空间几何体
A ．cm
13
3
B ．
2348
cm C．cm 3 D．cm 3
333
47、如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几
何体的体积为C
A ． 1 B ． C ． D ．
1
2
131 6
俯视图
48、已知正三棱锥V —ABC 的主视图、俯视图如下图所示，其中VA =4, AC =2，则该三棱锥的左视图的面积为（ B ）
A. 9 B. 6 C.
D.
49．如图所示是三棱锥D-ABC 的三视图，其中△DAC、△DAB、△BAC都是直角三角形，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则在三棱锥-ABC 中．．．．D ．．．．．．AO 的长度为___________；该三棱锥外接球的表面积为________.
侧（左）视图D
3 ，
9π；
50．某几何体的三视图如图所示，当a +b
A ． （ D ）
a
11
B ．
36
C ．
2
3
D ．
1 2
正视图
1侧视图
高一数学 空间几何体
51、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视
图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b的最大值为（ C ） A. 22 B. 2 C. 4 D. 25
52．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，
其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积
V= 1+
2
6
； 3、空间几何体的直观图 S ∆ABC =22S ∆A B ' C '
（1）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’
,O ’Y ’
, 使∠X ' OY ' '
=450
（或1350
），它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘
轴，且长度保持不变；在已知图形
平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘
轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 ①⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测．．．．画．法．
．其规则是： 在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴Ox , Oy ，再取0z 轴，使∠xOz =90 ，且∠yOz =90 ；
②画直观图时，把它们画成对应的轴O 'x ', O 'y ', O 'z '，使∠x 'O 'y '=45 (或135 ) ，∠x 'O 'z '=90
, x 'Oy '所确定的平面表示水平平面；
③已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于x '轴、y '轴或z '轴的线段； ④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段, 在直观图中保持长度不变; 平行于y 轴的线段, 长度为原来的一半．
【例】斜二侧画法
53．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为450
，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 2+
2 B．
1+22+2
2 C． 2
D． 1+2 54. 已知正三角形ABC 的边长为a, 那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为 （ D ） A. 34a 2 B. 8a 2 C. 68a 2 D. 2
16
a
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