与圆有关的轨迹方程的求法
与圆有关的轨迹方程的求法
若已知动点P1(α ,β)在曲线C1:f1(x,y)=0上移动,动点P(x,y)依动点P1而动,它满足关系:
xx(,)
①
yy(,)
则关于α 、β反解方程组①,得
g(x,y)
②
h(x,y)
代入曲线方程f1(x,y)=0,即可求得动点P的轨迹方程C:f(x,y)=0.
例1、(求轨迹):已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x1)y4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
22
【例2】已知点A(3,0),点P在圆x+y=1的上半圆周上,∠AOP的平分线交PA于Q,求点Q 的轨迹方程.
【法一】如图所示,设P(x0,y0)(y0>0),Q(x,y). ∵OQ为∠AOP的平分线,∴
2
2
PQ|OP|1
, QA|OQ|3
∴Q分PA的比为
1. 3
1
x3033(x1)x0
1441xx1033
即∴
14yyy00033yy0141
3
又因
2
x0
2y0=1,且
16
y0>0,∴x
93162
y1.
49
2
39
∴Q的轨迹方程为(x
)2y2(y0).
416
例3、已知圆x
2
y24,过A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹方程为( )
2
A.(x1)yC.(x2)y
变式练习
2
2
4 B.(x1)2y24(0x1) 4 D.(x2)2y24(0x1)
2
1:已知定点B(3,0),点A在圆xy1上运动,M是线段AB上的一点,且
22
1
AMMB,则点M的轨迹方程是3
11
解:设M(x,y),A(x1,y1).∵AMMB,∴(xx1,yy1)(3x,y),
33
14
xx(3x)xx111223322∴,∴.∵点A在圆xy1上运动,∴x1y11,yy1yy4y
1133
∴(x1)2(
43423939
即(x)2y2,∴点M的轨迹方程是(x)2y2. y)1,
3416416
2
2
2:已知定点B(3,0),点A在圆xy1上运动,AOB的平分线交AB于点M,则点M的轨迹方程是 .
解:设M(x,y),A(x1,y1).∵OM是AOB的平分线,∴AMOA1, ∴1.
3MBOB3
39
由变式1可得点M的轨迹方程是(x)2y2.
416
3:已知直线ykx1与圆xy4相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程.
解:设P(x,y),AB的中点为M.∵OAPB是平行四边形,∴M是OP的中点,∴点M的坐标为(,
2
2
xy
),且OMAB.∵直线ykx1经过定点C(0,1),∴OMCM,∴22
xyxyxyy22
(,)(,1)()2(1)0,化简得x(y1)1.∴点P的轨
2222222
迹方程是x(y1)1.
4、圆(x2)(y1)9的弦长为222
22
5、已知半径为1的动圆与圆(x5)(y7)16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
22
A.(x5)(y7)25 B. (x5)(y7)17或(x5)(y7)15 C. (x5)(y7)9 D. (x5)(y7)25或(x5)(y7)9
2
2
2
2
2
2
222222
6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P满足PA=2PB,则定点P的轨迹所 包围的面积等于( B )
A p B 4p C 8p D 9p
7:已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为
8 如图所示,已知圆O:xy4与y轴的正方向交于A点,点B在直线y2上运动,过B做圆O的切线,切点为C,求ABC垂心H的轨迹.
2
2
1
,求点M的轨迹方程. 2
分析:按常规求轨迹的方法,设H(x,y),找x,y的关系非常难.由于H点随B,C点运动而运动,可考虑H,B,C三点坐标之间的关系.
解:设H(x,y),C(x,y),连结AH,CH, 则AHBC,CHAB,BC是切线OCBC, 所以OC//AH,CH//OA,OAOC, 所以四边形AOCH是菱形.
'yy2,
所以CHOA2,得'
xx.
''
''
又C(x,y)满足xy4,
'2'2
所以x(y2)4(x0)即是所求轨迹方程.
说明:题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法.
22
9. 已知圆的方程为xyr,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B,使
222
PAPB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
分析:利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.
解法一:如图,在矩形APBQ中,连结AB,PQ交于M,显然OMAB,
ABPQ,
在直角三角形AOM中,若设Q(x,y),则M(由OM
2
xayb
,). 22
AMOA,即
22
(
xa2yb21
)()[(xa)2(yb)2]r2, 224
2
2
2
2
2
也即xy2r(ab),这便是Q的轨迹方程.
解法二:设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y1r,x2y2r. 又PQAB,即
2
2
222222
(xa)2(yb)2(x1x2)2(y1y2)22r22(x1x2y1y2).①
又AB与PQ的中点重合,故xax1x2,yby1y2,即
(xa)2(yb)22r22(x1x2y1y2) ②
①+②,有xy2r(ab). 这就是所求的轨迹方程.
解法三:设A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y), 由于APBQ为矩形,故AB与PQ的中点重合,即有
2
2
2
2
2
xarcosrcos, ①
ybrsinrsin, ②
又由PAPB有
rsinbrsinb
1 ③
rcosarcosa
2
2
2
2
2
联立①、②、③消去、,即可得Q点的轨迹方程为xy2r(ab). 说明:本题的条件较多且较隐含,解题时,思路应清晰,且应充分利用图形的几何性质,否则,将使解题陷入困境之中.
10、由动点P向圆xy1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=600,则动点P的轨迹方程是 .
解:设P(x,y).∵APB=600,∴OPA=300.∵OAAP,∴OP2OA2,∴
2
2
x2y22,化简得xy4,∴动点P的轨迹方程是xy4.
练习巩固:设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.
2222
解:设动点P的坐标为P(x,y).由
PAPB
a(a0),得
(xc)2y2(xc)y
2
2
a,
化简得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0.
1a2ac22c(1a2)222
当a1时,化简得xy,整理得 (xc)y();xc0222
a1a11a
2
2
2
当a1时,化简得x0.
1a22ac
c,0)为圆心,2所以当a1时,P点的轨迹是以(2为半径的圆; a1a1
当a1时,P点的轨迹是y轴.
11、已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足PA2PB,则点P的轨迹所包围的面积等于
解:设点P的坐标是(x,y).由PA2PB,得(x2)2y22(x1)2y2,化简得
(x2)2y24,∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为4.