信号系统课后习题答案
2-7 试计算下列结果。
(1) t δ( t - 1 )
∞
(2) ⎰-∞t δ(t -1) d t
(3) ⎰0
∞
π
cos(ωt -) δ(t ) d t -3
(4) ⎰0e -3t δ(-t ) d t
解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 )
∞∞
(2) ⎰-∞t δ(t -1) d t =⎰-∞δ(t -1) d t =1
-
0+
(3)
∞ππ1
cos(ωt -) δ(t ) d t =cos(-) δ(t ) d t = ⎰0-⎰0-
332∞
(4) ⎰0
0+
-
e -3t δ(-t ) d t =⎰e -3t δ(t ) d t =⎰δ(t ) d t =1
0-
0-
0+0+
2-5 设有题2-6图示信号f ( t ),对(a)写出f ' ( t )的表达式,对(b)写出f " ( t )
的表达式,并分别画出它们的波形。
题2-6图
解 (a)
1
, 0≤t ≤2
2
f
'
(
t ) = δ( t - 2 ), t = 2
-2δ( t - 4 ), t = 4
(b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )
图p2-6
3-11 试求下列卷积。 (a) δ( t ) * 2
(b) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t )
解 (a) 由δ( t )的特点,故
δ( t ) * 2 = 2
(b) 按定义
ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) = ⎰-∞ε(τ+3) ε(t -τ-5) d τ
考虑到τ t -5时,ε( t -τ - 5 ) = 0,故
t -5
ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =⎰-3d τ=t -2, t >2
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为
ε( t ) * ε( t ) = tε( t )
f 1( t - t 1 ) * f 2( t - t 2 ) = f( t -t 1 -t 2 )
故对本题,有
ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) = ( t + 3 - 5 )ε( t + 3 - 5 ) = ( t - 2 )ε( t - 2 )
两种方法结果一致。
(c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t ) = [t e -t ε( t )]' = ( e-t - t e -t ) ε( t )
3-13 试求下列卷积。 (a) (1-e -2t ) ε(t ) *δ'(t ) *ε(t )
(b) e -3t ε(t ) *d [e -t δ(t )]
d t
∞
解 (a)因为δ'(t ) *ε(t ) =ε'(t ) =δ(t ) ,故
(1-e -2t ) ε(t ) *δ'(t ) *ε(t ) =(1-e -2t ) ε(t ) *δ(t ) =(1-e -2t ) ε(t )
(b)因为e -t δ(t ) =δ(t ) ,故
e -3t ε(t ) *
d -t
[e δ(t )]=e -3t ε(t ) *δ'(t )
d t
=δ(t ) -3e -3t
4-3 试求下列信号的频谱函数。 (1) f (t ) =e -2t
(2) f (t ) =e -at sin ω0t ⋅ε(t ) 原题(a>0)
解 (1)
F (ω) =⎰
∞-∞
f (t ) e -j ωt d t =⎰e 2t e -j ωt d t +⎰e -2t e -j ωt d t
-∞
0∞
(2)
114
+=2
2-j ω2+j ω4+ω∞∞1-j ωt
F (ω) =⎰f (t ) e d t =⎰e -at ⋅(ej ω0t -e -j ω0t )e -j ωt d t -∞02j
1∞j ω0t (-a -j ω) t =⎰[e⋅e -e -j ω0t ⋅e (-a -j ω) t ]dt 2j 0
=
==
⎤1⎡11
-⎢⎥ 2j ⎣(α+j ω) -j ω0(α+j ω) +j ω0⎦2j ω0ω01
⋅=
2j (α+j ω) 2+ω02(α+j ω) 2+ω02
4-10 试求信号f ( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t 的傅里叶变换。
解 因为
1 2πδ(ω)
2cos t 2π[δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] 3cos3t 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ]
故有
F (ω ) = 2π[δ(ω) + δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] + 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ] 5-1 求下列函数的单边拉氏变换。 (1) 2-e -t (2) δ(t ) +e -3t (3) e -2t cos t
∞
解 (1) F (s ) =⎰0(2-e -t ) e -st d t =2-1=s +2
s
s +1
s (s +1)
(2) (3)
F (s ) =⎰[δ(t ) +e -3t ]e -st d t =1+
0-∞
∞
1 s +3
F (s ) =⎰(e-2t cos t ) e -st d t =⎰
1j t
(e+e -j t ) e -2t ⋅e -st d t 002
1⎛11⎫s +2
⎪ = +=2 ⎪2⎝s +2-j s +2+j ⎭(s +2) +1
∞
5-9 用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。
(1) F (s ) =2s +1
s +5s +6
(2) (3) (4)
2s 2+s +2
F (s ) =2
s (s +1)
F (s ) =
1
2
s +3s +2
F (s ) =
4s (s +2) 2F (s ) =
解 (1)
k 1k 2s +1s +1
==+
s 2+5s +6(s +2)(s +3) s +2s +3
k 1=(s +2) F (s ) s =-2=-1 k 2=(s +3) F (s ) s =-3=2
故有
F (s ) =
-12
+ s +2s +3
所以
f (t ) =(-e -2t +2e -3t ) ε(t )
(2) 2s 2+s +2A Bs +C
F (s ) ==+2
2
可得
又 可得
所以
(3)
故有
故
(4) 故
故有
s (s +1) s s +1
A =s F (s ) s =0=2
2s 2+s +2=As 2+A +Bs 2+Cs
B = 0,C = 1
F (s ) =21s
+s 2+1
f (t ) =(2+sin t ) ε(t )
F (s ) =
11
k 1k 2s 2
+3s +2=(s +1)(s +2) =s +1+s +2
k 1=(s +1) F (s ) s =-1=1 k 2=(s +2) F (s ) s =-2=-1
F (s ) =
1s +1+
-1s +2
f (t ) =(e -t -e -2t ) ε(t )
F (s ) =
4
k 1k 11k 12s (s +2)
2=s +(s +2) 2
+s +2 k 1=s F (s ) s =0=1 k 11=(s +2) 2F (s ) s =-2=
4
s =-2 s =-2
k d d s [(s +2) 2F (s =d 412=s =-2
d s (s ) =-1
s =-2
1-12F (s ) =+-
s s +2(s +2) 2
所以
f (t ) =(1-e -2t -2t e -2t ) ε(t )
5-10 求下列象函数的拉氏反变换。(类似) (1) F (s ) =1-e -s (2) (3)
1-e -s
F (s ) =
s +21-e -2s
F (s ) =-s
s (1-e )
解 (1) f (t ) =δ(t ) -δ(t -1) (2) f (t ) =e -2t ε(t ) -e -2(t -1) ε(t -1) (3)
f (t ) =ε(t ) -ε(t -2) +ε(t -1) -ε(t -3) +ε(t -2) -ε(t -5) +
5-13 设某LTI 系统的微分方程为
y ''(t ) +5y '(t ) +6y (t ) =3f (t )
试求其冲激响应和阶跃响应。
解 对方程取拉氏变换,得系统函数
H (s ) =
33
=
s 2+5s +6(s +2)(s +3)
3
(s +2)(s +3)
当f ( t ) = δ( t )时,F ( s ) =1,得
Y (s ) =H (s ) =
从而
h (t ) =3e -2t -3e -3t ,
t ≥0
当f ( t ) = ε( t )时,F (s ) =1,得
s
13Y (s ) =H (s ) =
s s (s +2)(s +3)
0. 5-1. 51=++ s s +2s +3
故得
y (t ) =s (t ) =0. 5-1. 5e -2t +e -3t ,
t ≥0
6-15 试判定下列系统的稳定性。 (1) (2) (3)
H (s ) =
s +1
2
s +8s +6
3s +1
H (s ) =3
s +4s 2-3s +2
2s +4
H (s ) =
(s +1)(s 2+4s +3)
解 (1) 因H ( s )分母多项式各项系数均为正,故稳定。 (2) 因H ( s )分母多项式有负系数,故不稳定。 (3) 因
2s +42s +4
H (s ) == 2
(s +1)(s +4s +3)
(s +1)(s +1)(s +3)
其极点均在左半平面,故系统稳定。
7-1 试画出下列离散信号的图形。 (a) f 1(n ) =(1) n ε(n )
2
(b) (c) (d)
f 2(n ) =ε(2-n )
f 3(n ) =ε(-2-n ) f 4(n ) =2(1-0. 5n ) ε(n )
解 各信号的图形分别如图p7-1所示。
图p7-1
7-2 试画出下列序列的图形。 (a) f 1(n ) =ε(n -2) -ε(n -6)
(b) f 2(n ) =ε(n +2) +ε(-n )
(c) f 3(n ) =n ε(n ) ⋅[ε(n ) -ε(n -5)]
(d) f 4(n ) =δ(n ) +δ(n -1) +2δ(n -2) +2δ(n -3) +δ(n -4)
解 各序列的图形分别如图p7-2所示。
图p7-2
7-4 设有离散系统的差分方程为
y (n ) +4y (n -1) +3y (n -2) =4f (n ) +f (n -1)
试画出其时域模拟图。
解 原方程可以写为
y (n ) =-4y (n -1) -3y (n -2) +4f (n ) +f (n -1)
从而可得时域模拟图p7-4,图中D 为单位延时(位移)器。 D D
D
图p7-4
7-6 设有序列f 1( n )和f 2( n ),如图7-6所示,试用二种方法求二者的卷积。
题7-6图
解 方法一:用“乘法”
2 1.5 1 1 1.5 2
⨯ 1 1 1 1
2 1.5 1 1 1.5 2
2 1.5 1 1 1.5 2 2 1.5 1 1 1.5 2 2 1.5 1 1 1.5 2
2 3.5 4.5 5.5 5 5.5 4.5 3.5 2
即有
f 1(n ) *f 2(n ) ={2, 3. 5, 4. 5, 5. 5, 5, 5. 5, 4. 5, 3. 5, 2}
↑n =0
方法二:用单位序列表示各函数后卷积。因为
f 1(n ) =2δ(n ) +1. 5δ(n -1) +δ(n -2) +δ(n -3) +1. 5δ(n -4) +2δ(n -5) f 2(n ) =δ(n ) +δ(n -1) +δ(n -2) +δ(n -3)
则
f 1(n ) *f 2(n ) =2δ(n ) +3. 5δ(n -1) +4. 5δ(n -2) +5. 5δ(n -3)
+5δ(n -4) +5. 5δ(n -5) +4. 5δ(n -6) +3. 5δ(n -7) +2δ(n -8)
8-1 求下列离散信号的Z 变换,并注明收敛域。 (a) δ( n - 2 ) (b) a -n ε( n )
(c) 0.5n -1ε( n - 1 ) (d) ( 0.5n + 0.25n ) ε( n ) 解 (a) F (z ) =z -2, 0
∞∞
-n -n
(b) F (z ) =∑a ⋅z =∑(az ) -n
n =0
n =0
(c)
F (z ) =∑0. 5n -1⋅z -n
n =1
∞
1z 1
=,z >a 1-(az ) -1z -1
a
∞
1
=∑2⋅() n
2z n =1
==
1z -1
2,z >
1 2
(d)
F (z ) =∑0. 5⋅z
n
n =0
∞
-n
+∑0. 25n ⋅z -n
n =0
∞
=
z z
+,z >0. 5 z -0. 5z -0. 25
解 (a) 因为
8-2 求下列F ( z )的反变换f ( n )。
1-0. 5z -1
(a) F (z ) =3 1(b) (c) (d) (e)
z -1+z -2
48-1
1-2z F (z ) =-1
z +2
2z
F (z ) =
(z -1)(z -2)
3z 2+z
F (z ) =
(z -0. 2)(z +0. 4)
z
F (z ) =
(z -2)(z -1) 2
1+
z 2-0. 5z
F (z ) = 11
(z +)(z +)
24
故
K K F (z ) z -0. 5
==1+2
1111z (z +)(z +) z +z +2424
解得
K 1 = 4,K 2 = -3
进而
F (z ) =
4z 3z
-
11z +z +24
所以 (b)
11
f (n ) =[4(-) n -3(-) n ]ε(n )
24
z -2z 2z 2
F (z ) ==-=-
111+2z 1+2z 1+2z 2(z +) 2(z +) 22
f (n ) =
11n 1
(-) ε(n ) -(-) n -1ε(n -1) 222
所以
(c) 由于
F (z ) =
2z
(z -1)(z -2)
故
K K F (z ) 2
==1+2 z (z -1)(z -2) z -1z -2
解得
K 1 = -2,K 2 =2
进而
F (z ) =
-2z 2z
+ z -1z -2
所以
f (n ) =-2ε(n ) +2(2) n ε(n ) =2(2n -1) ε(n )
(d) 由于 故
3z 2+z
F (z ) =
(z -0. 2)(z +0. 4)
K 1K 2F (z ) 3z +1
==+
z (z -0. 2)(z +0. 4) z -0. 2z +0. 4
解得
8
K 1=,
3
K 2=
1 3
故有
81z z F (z ) =+
z -0. 2z +0. 4
所以
81
f (n ) =[(0. 2) n +(-0. 4) n ]ε(n )
33
(e) 由于
F (z ) =
z
(z -2)(z -1) 2
故
K 1K 11K 12F (z ) 1
==++ 22z z -2(z -1) z -1(z -2)(z -1)
解得
K 1 = 1, K 11 = -1, K 12 = -1
从而有
F (z ) =
z z z
-- 2
z -2(z -1) z -1
故得
f (n ) =(2n -n -1) ε(n )
8-3 试用z 变换的性质求以下序列的z 变换。
(a) f (n ) =(n -3) ε(n -3) (b) f (n ) =ε(n ) -ε(n -N ) 解 (a) 由时延性质,有
F (z ) =
z 1-3
⋅z =
(z -1) 2z 2(z -1) 2
(b)
F (z ) =
z z z
-z -N ⋅=(1-z -N ) z -1z -1z -1
8-10 设有系统方程
y (n ) -0. 2y (n -1) +0. 8y (n -2) =f (n ) +2f (n -1)
试画出其Z 域的模拟框图。
解 在零状态下对方程取z 变换,得
Y (z ) -0. 2z -1Y (z ) +0. 8z -2Y (z ) =F (z ) +2z -1F (z )
即
(1-0. 2z -1+0. 8z -2) Y (z ) =(1+2z -1) F (z )
故有
Y (z ) 1+2z -1
H (z ) ==F (z ) 1-0. 2z -1+0. 8z -2
由此可以画出模拟图如图p8-11所示。
图p8-11
8-13 已知某数字滤波器的差分方程为
y (n ) -0. 7y (n -1) +0. 12y (n -2) =2f (n ) -f (n -1)
(1)求系统函数H ( z );
(2)求单位响应h ( n ) 。
解 (1)在零状态下对方程取z 变换,得
(1-0. 7z -1+0. 12z -2) Y (z ) =2F (z ) -z -1F (z )
故系统函数
2-z -12z 2-z H (z ) ==2 -1-21-0. 7z +0. 12z z -0. 7z +0. 12
(2)由于
2z 2-z 4z 2z H (z ) =2=- z -0. 7z +0. 12z -0. 3z -0. 4
故单位响应
缺2-6、2-9、3-10、4-6、4-18、4-29、4-30、5-3、6-11、8-8