简明拓扑绝缘体材料词典

序言

从狄拉克(P. A. Dirac)说起

The main object of physical science is not the provision of pictures, but is the formulation of laws governing phenomena and the application of these laws to the discovery of new phenomena.

——Dirac 半年前，笔者开始学习狄拉克的《量子力学原理》(The Principle of Quantum Mechanics)一书, 当读到上面这句话的时候，惊讶又陶醉，以至于在书角写下这句话：I’m deeply attracted to Dirac’s style of searching for physical laws of nature by looking for beautiful mathematical structures. 的确，这种“狄拉克式”的研究风格，不仅使他更能把握住自然规律的本质，做出了划时代的成就，同时也深深地影响了后世的很多物理学家，比如费曼(R. Feynman)、朗道(L. D. Landau)等等。当然，笔者之所以从狄拉克谈起，不只是因为他是我的男神，更重要的是，他和笔者这部词典的内容——拓扑绝缘体(Topological Insulators)密切相关。

1931年，狄拉克在理论上语言自然界中存在磁单极子(magnetic monopole), 这是人类历史上第一次将拓扑(Topology)的概念引入物理学。上世纪80年代整数与分数量子霍尔效应(Quantum Hall Effect )的相继发现翻开了凝聚态物理的新篇章，拓扑序(Topological Order) 的概念使人们对物质世界的理解上升到一个全新的层面。高能物理中反常的研究也广泛深入的使用各种现代几何与拓扑理论。此外，拓扑的概念和方法还渗透到包括超弦、量子引力、孤立子、扭结物理、无序、准晶、液晶等在内的诸多物理领域。而现如今，拓扑绝缘体(Topological Insulators) 研究再次将人们目光聚焦到拓扑物质态。在拓扑绝缘体的研究中，人们又一次惊讶的发现，表面态电子在狄拉克点(Dirac Point) 附近的行为，可以用零质量的狄拉克方程描述，人们又一次从狄拉克的思想中得到了灵感，这种巧合，实在耐人寻味！同时，我们有理由相信，上面提到的例子只不过是个开头，拓扑与物理之间美妙的联姻必定是幸福而长久的。

Figure 1，Dirac’s inspiration in the search for topological insulators

从量子霍尔态到拓扑绝缘体

一直以来，凝聚态物理学的一个中心课题就是寻找不同的物质态（物质相），并对它们进行分类。在上世纪八十年代之前，人们就认识到可以通过Landau的对称性自发破缺的原理来理解不同的量子态1，这是凝聚态物理发展史上的一个里程碑。举例来说，晶体破坏了空间平移对称性；铁磁体破坏了空间旋转对称性；超导体破坏了规范对称性。这些对称性破缺的物质态可以通过序参量来表征，在此基础上建立了Landau-Ginzburg理论。八十年代，整数量子霍尔效应(IQHE)2与分数量子霍尔效应(FQHE)3的相继发现是凝聚态物理史上的又一座里程碑,人们发现量子霍尔态并没有破坏任何的对称性，无法将其纳入到Landau对称性自发破缺的理论框架中来。要想理解量子霍尔态必须引入拓扑序(topological order)4 的概念，相应的，量子霍尔态被称为拓扑相(topological phase)。量子霍尔态由基态的拓扑来标志，换言之，在量子霍尔系统中存在某些特定的量（如霍尔电导、准粒子激发的电荷与统计、基态简并度等），这些量在微弱的扰动（比如杂质、无序、相互作用）下具有不变性，除非体内的能隙关闭发生量子相变。这些拓扑不变量就是量子霍尔态的拓扑序。

量子霍尔态的体内具有能隙，是绝缘体，但与普通绝缘体不同，量子霍尔态具有受拓扑保护的无能隙的边缘态5，即边缘表现出金属性。从这个意义上说，量子霍尔态就是人们认识到的最早的拓扑绝缘体。同时我们注意到，量子霍尔态是二维电子气在低温强磁场下实现的物质态，外磁场的存在意味着时间反演对称性的破坏，所以量子霍尔态是一种时间反演破缺的拓扑绝缘体。

Figure 2 能带示意图（a）导体，（b）普通绝缘体，（c）量子霍尔绝缘体，（d）时间反演不变的拓扑绝缘

体。对于拓扑绝缘体（c）和（d）在能隙中分别存在手征和螺旋边缘态。

最近几年，备受瞩目的拓扑绝缘体是一种时间反演不变的拓扑绝缘体。它既存在于二维系统也存在与三维系统，其中自旋-轨道耦合(spin-orbit coupling)起着关键的作用。自旋-轨道耦合是一种相对论效应，可以从电子的相对论性运动方程，即狄拉克方程中导出，它是一种时间反演不变的相互作用。二维时间反演不变的拓扑绝缘体又称为：量子自旋霍尔态，与量子霍尔态的手征边缘模式(chiral edge mode)不同的是，量子自旋霍尔态的边缘模1

26 Anderson P. W. Basic Notions Of Condensed Matter Physics Westview Press, (1997) K. v. Klitzing, G. Dorda and M. Pepper, New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance, Phys. Rev. Lett. 45, 494(1980) 3 D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard, Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit, Phys. Rev. Lett. 48, 1599(1982) 4 X. G. Wen, Topological orders in rigid states, Int. J. Mod. Phys. B 4,239(1990) 5 A. M. Chang, Chiral Luttinger liquids at the fractional quantum Hall edge, Rev. Mod. Phys, 75, 1449(2003) 6

J. E. Moore, Topological insulators: The next generation, Nature Phys. 5, 378(2009)

式被称为螺旋边缘模式(helical edge mode),它由互为时间反演的两支手型边缘模式组成，构成了一对时间反演共轭对，如Figure 2 (d) 所示。三维时间反演不变的拓扑绝缘体具有受拓扑保护的无能隙的表面态(surface state), 这些表面态在实验上可以通过角分辨光电子能谱(ARPES)观测到。总之，拓扑绝缘体是一类新奇的拓扑态材料。由于自旋-轨道耦合作用，在体能隙中存在受拓扑保护的边缘态（二维情况）或表面态（三维情况），且非常稳定，不受到杂质（非磁性）和表面无序的影响。自旋-轨道耦合与量子霍尔效应中的外磁场起着类似的作用，但自旋-轨道耦合作用不破坏系统地时间反演对称性。

Figure 3 三维拓扑绝缘体的表面态示意图(A)和能带(B) 7

关于本词典

笔者写这部词典的初衷，用八个字概括，就是“心中有话，不吐不快。”笔者大二开始接触拓扑态，到现在已一年有余，在这个过程中，经历过无数次的迷惑、惊奇、陶醉以及痴迷。从这个意义上讲，这部词典更是我这段时间关于拓扑态的理解和心得。同时本词典也绝不仅仅是简简单单的名词解释，更加注重各个概念之间的联系和整体的结构。某种程度上讲，这也是笔者对拓扑态的一个认知过程，也更着重于自己的独特理解。

所以，笔者会按照自身的学习过程，并结合拓扑态这个方向的发展历史，以量子霍尔效应为切入点，同时揭示各个效应之间的联系，在此基础上，开始简述拓扑绝缘体理论。这个过程中我会把握住该学科发展的几个关键点，并对其进行通俗易懂的唯象解释，尽量避免复杂的公式推导，以期能使读者对该领域有一个整体的把握和理解。由于笔者才疏学浅，成文仓促，错误之处，在所难免，祈请诸位专家和广大读者批评指正。

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X. L. Qi and S. C. Zhang, The quantum spin Hall effect and topological insulators, Phys. Today 63,33(2010)

正文

量子霍尔态

 霍尔效应(HALL EFFECT)8：1897年，美国科学家霍尔发现，当置于磁场中的固体导体有

电流通过时，导体内的电荷载子受到洛伦兹力而偏向一边，继而产生电压。该电压与电流的比值称为霍尔电阻