高考数学平面向量基础练习
高考数学平面向量小题基础练习
1.如图e 1,e 2为互相垂直的两个单位向量,则|a +b |=( )
(A
)(B
)(C
)(D
)2.在△ABC 中,已知|AB |=4,|AC |=
1,S ∆ABC =(A )-2(B )2(C )±4(D )±2
3.在∆ABC 中,已知=3,则AD =( )
,则AB ⋅AC 的值为( )
2121
AB -AC (A )+(B )3333
(C )
1212
AB +AC (D )AB -AC 3333
4.已知向量a =(-3 , 4) ,b =(1 , m ) ,若a ⋅(a -b ) =0,则m = ( ) A .
1111
B .-C .7 D .-7
2 2
5.已知a =(3,1),b =(x , -1) ,且a //b ,则x 等于( )
11
B.- C.3 D.-3 33
6.如图,∆AOB 为等腰直角三角形,OA =1,OC 为斜边AB 的高,P 为线段OC 的
A .
中点,则AP ⋅OP =( )
A
C
O
B
A .-1 B.-
111 C.- D.-
428
7.已知向量a , b 满足a =b =2, a +
b =a 与b 夹角的余弦值为(
) A
B.
C.
8.已知a =(sinα,cos α), b =,若a ⊥b ,则tan α的值为( ) (-2,1)A .-2 B.2 C.
11
D.- 22
9.已知向量a =(1,-2), b =(m , -1) ,且a //b ,则实数m 的值为( )
11
A .-2 B.2 C.2 D.2
-
10.在边长为1的等边∆ABC 中,且BD =DC ,2AE =EC D , E 分别在边BC 与AC 上,则AD ⋅BE =( ) A .-
1111
B. - C.- D.- 2346
11.设a =(1,2) ,b =(2,k ) ,若(2a +b ) ⊥a ,则实数k 的值为( ) A .-2 B.-4 C.-6 D.-8 12
=1=2,且a , b 夹角
π
,则2+= 3
A .2 B.4 C.12 D
.13.如图,在正六边形ABCDEF 中,++等于( )
A .0 B.BE C.AD D.CF
14
.已知|a |=b |=4,且a ⊥(2a -b ) ,则a , b 的夹角为( ) A .
ππ2π5π B. C. D. 3636
15.若向量=(3, -4) ,=(6, -3) ,=(2m , m +1) ,若//,则实数m =
331
B.-3 C. D.-
557
π
16.已知向量a =(cosα, 1), b =(2, -sin α) ,若a ⊥b ,则tan(2α-) =
4
11
A .- B.-3 C. D.7
33
A .-
17.如图, 在复平面内, 复数z 1, z 2对应的向量分别是OA , OB , 则复数z 1z 2对应的点位于( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 18.已知向量a =(1,1),b =(2,0),则a +b 等于( ) A .2 B.4 C
.10
19.已知向量=(1, 2),=(1, 0),=(4, -3),若λ为实数,+λ⊥,则λ= A .
)
11
B. C.1 D.2 42
ππ|a |
,a +b 与b 的夹角为,则= 34|b |
20.已知 a、b 为平面向量,若a +b 与a 的夹角为( )
21.设命题p :∀平面向量a 和b ,|a -b ||a |+|b | (D )∃平面向量a 和b ,|a -b |≥|a |+|b |
22.已知向量a =(sin θ, 2),=(1,cos θ)且a ⊥b ,其中θ∈(
π
2
, π) ,则
sin θ-cos θ等于( )
A
23.已知a 是非零向量,b ≠c ,则“a ⋅b =a ⋅c ”是“a ⊥(b -c ) ”成立的 A .充分非必要条件 B.必要非充分条件 C .非充分非必要条件 D.充要条件
24.已知向量a , b 满足a =(2cosθ,2sin θ) ,b =2,且ma +b =0(m ∈R ),则m 的值为( )
A .1 B.±1 C.
11
D.± 22
25.若非零向量a , b 满足a +b =a -b , 则a 与b 的夹角为( ) A. 0 B.45 C.90 D.180
26.已知平面向量=(1, -3) ,=(4, -2) ,λ+与垂直,则λ是( ) A .-1 B .1 C .-2 D .2 27.
∆ABC 中,∠A =90︒, AB =2, AC =1, 设点P , Q 满足
A P =λ
A.
BQ C ⋅CP =-2, 则λ=( ) , A B =-(A λ1Q λ) ∈R . 若A
124
B. C. D.2 333
28.若平面四边形ABCD 满足AB +CD =0,(AB -AD ) ⋅AC =0, 则该四边形一定是( )
A .直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 29
.在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,给出下列结论:
以上结论正确的个数为( )
A .0 B.1 C.2 D.3
30.在△ABC 中,AB +AB ⋅BC
A .锐角三角形 B.直角三角形C .钝角三角形 D.锐角或钝角三角形
31.已知A (1,2) ,B (3,4) ,C (-2,2) ,D (-3,5) ,则向量AB 在向量CD 上的投影为 ( ) A .
2
243 B. C. D. 5555
32.已知向量a ,b 的夹角为45°,且a =
1 ,2a -b =b =( )
A
.
.
.
33.已知向量a =(k ,3) ,b =(1,4) ,c =(2,1) ,且(2a -3b ) ⊥c ,则实数k =( ) A .- 915
B.0 C.3 D.
22
34.如图,点D 是线段BC 的中点,BC =6,且AB +AC =AB -AC ,则AD = ( )
A .6
B..3 D.35.设a , b 是两个非零的平面向量,下列说法正确的是( )
3 2
b =0,则有a +b =a -b ; ①若a ×
②a ⋅b =a b ;
③若存在实数λ,使得a =λb ,则a +b =a +b ;
④若a +b =a -b ,则存在实数λ,使得a =λb . A .①③ B.①④ C.②③ D.②④
36.设x , y ∈R ,向量a =(2,x ), b =(y , -2) ,c =(2,-4) 且a ⊥c , b //c ,则a +b 等于( )
A
..10 37.设x , y ∈R ,向量a =(x , 1) b =,
(y 1, =c ) , -且(⊥, //,则
a +b
=( )
A
38.如图,∆ABC 的外接圆的圆心为O , AB =2, AC =3, BC =7,则AO
⋅BC 等于( )
A .
35
B. C.2 D.3 22
39.在∆ABC 所在平面内有一点P ,如果2PA +PC =AB -PB ,那么∆PBC 与∆ABC 面积之比为 A 、
3112
B、 C、 D、 4233
⎧0≤x ≤2
⎪
40.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎨y ≤2给定,若M(x,y) 为
⎪
⎩x ≤2y
D 上的动点,点A 的坐标为(2, 1) ,则z =⋅的最大值为(A .42 B.32 C.4 D.3
)
参考答案
1.B 【解析】
试题分析:
a =(-2, -3), b =(-4,1), ∴a +b =(-6, -2), a +b =选B.
考点:向量基本运算. 2.
D 【解析】
试题分析:
由题根据三角形面积公式不难得到角A 的正弦值,然后得到其对应的余弦值,结合平面向量数量积运算求得结果.
AC =4AB =1,S ∆ABC =
11
AC AB sin A =∴sin A =∴cos A =±, 222
∴AB ⋅AC =AB ⨯AC ⨯cosA =±2,故选D
考点:平面向量的数量积
3.C 【解析】
3AC -AD )试题分析:根据向量的减法法则,结合题中等式得AC -AB =(化简可得
考点:平面向量的三角形法则 4.C 【解析】
试题分析:a -b =(-4,4-m ) , a ⋅(a -b ) =(-3) ⨯(-4) +4(4-m ) =28-4m =0, m =7. 选C.
考点:向量数量积的坐标运算. 5.D 【解析】
试题分析:a //b ⇔x =-3,故选D . 考点:平面向量共线条件。 6.B 【解析】
试题分析:因为∆AOB 为等腰直角三角形,OA =1,所以,OA =OB =1, OA ⋅OB =0 又因为OC 为斜边AB 的高,所以C 是AB 的中点,所以OC =
11
OA +OB 22
设OP =λOP =
λ
2
OA +
λ
OB ,则AP =OP -OA =(-1) OA +OB 222
2
λλ
22λλ⎛λ⎫⎛λ⎫λ⎛λ⎫⎛λ⎫
所以,AP ⋅OP = (-1) OA +OB ⎪OA +OB ⎪= -1⎪OA + ⎪OB
22⎝2⎭⎝2⎭2⎝2⎭⎝2⎭
2
1⎫11⎫⎛λ⎫λλ1⎛
-= λ-⎪-≥- = -1⎪+ ⎪=
8222⎝2⎭82⎝2⎭⎝2⎭
λ⎛λ
2
所以,AP ⋅OP 的最小值为-
1
,故选B. 8
考点:1、平面向量基本定理;2、平面向量的数量积. 7.B 【解析】
试题分析:设向量
2
2
2
a , b 夹角的余弦值为
θ
,则由
a +
b =a
+b =5⇒a +b +2a ⋅b =
5
⇒7+22⨯cos θ=5⇒cos θ=考点:向量的数量积. 8.C 【解析】
试题分析:因为a ⊥b ,所以-2sin α+cos α=0,因为cos α≠0,所以-2tan α+1=0,解得tan α=
1
,故选C . 2
考点:1、向量垂直的坐标运算;2、同角三角函数的基本关系. 9.C 【解析】
试题分析:由题意得:(1, -2) //(m , -1) ⇒-2m =-1⇒m =考点:向量平行坐标表示 10.A 【解析】
试题分析:由已知D , E 分别在边BC
与AC 上,且BD =DC ,2AE =EC 则D 是BC 的中轴点,E 为AC 的三等分点,以D 为坐标原点,DA 所在直线为y 轴,BC 边所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,
1
,选C . 2
A 11=) 由2A E ,C (,0) ,B (-,0) ,设E (x , y ,
222
E 可C 得:
2(x , y -
112AD =(0, -
,BE =(, =(-x , -
y ) ,解得:x =, y =
,
2263233
1
AD ⋅BE =-
2
考点:平面向量的坐标运算 11.C 【解析】 试
题
分
析
:
因
为
2a +b =(4,4+k ) ,
(2a +b ) ⊥a ⇒4⨯1+2(4+k ) =12+2k =0⇒k =-6
考点:1.平面向量的坐标运算;2.非零向量a ⊥b ⇔a ⋅b =0;3.数量积公式的坐标形式; 12.D 【解析】
试题分析:
⋅=π
3
=1,∴2a +==4+4+4=23,故
答案为D.
考点:平面向量的数量积. 13.A 【解析】
试题分析:由题可知,在正六边形ABCDEF 中,=, +=+=, 因此有++=+=; 考点:向量的运算 14.B
【解析】方法一:由a ⊥(2a -
b 知) ,a (2a -b ) =
2
2a -,
a =b 0故
a b =2
2
a =22
,所
3) =6以cos =
a b ,又因为==2|a |⨯|b |∈[π0, ,所以=
π
6
.故选B .
方法二:如图,作OA =a ,OC =2a ,OB =b ,则BC =2a -
b . 由a ⊥(2a -b ) 可知,OC ⊥BC . 在
Rt ∆OBC
中,O =C 2=||,2OB =3|b |=4.故
cos =cos O =
πOC ,所以=.故选B .
==
6OB 42
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算以及夹角的求解等. 15.B 【解析】
试题分析:由题可知,=-=(-3,-1) ,=(2m , m +1) ,若//,则有
-3(m +1) +2m =0,解得m =-3;
考点:向量坐标的运算 16.D 【解析】
试题分析:由题可知,因为a ⊥b ,于是有2cos α-sin α=0,即tan α=2,则有
tan 2α=
4, =-2
31-tan α
tan 2α-tan
2tan α
4
--1
π=即tan(2α-) ==7;
41+tan 2αtan 1-
43
考点:向量的坐标运算
17.D 【解析】
试题分析:由已知OA =(-2, -1) ,OB =(0, 1) ,所以z 1=-2-i ,z 2=i ,z 1z 2=1-2i ,它所对应的点为(1,-2),在第四象限 考点:复数的运算 18.C 【解析】
π
试题分析:因为a =(1,1),所以a +b =|(1,1)+(2,0)|=|(3,1)|==b =(2,0),
故选C .
考点:平面向量的模. 19.B
【解析】
试题分析:+λ=(1, 2)+(λ, 0)=(1+λ, 2),由于+λ⊥,∴4(1+λ)-2⨯3=0,解得λ=
)
1
,故答案为B. 2
考点:平面向量垂直的应用. 20.D 【解析】
试题分析:设OA =a , OB =b ,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OACB ,则OC =a +b , 由于a +b 与a 的夹角为
ππ
,a +b 与b 的夹角为,所以∠AOC =π, ∠ACO =π,在3434
∆
AOC 4
=
3
6
3
考点:1. 平面向量的夹角;2. 正弦定理; 21.D 【解析】
试题分析:根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题,可知 命题p :∀平面向量a 和
b ,|a -b |
考点:命题的否定. 22.D 【解析】
22
试题分析:由a ⊥b ⇒a ⋅b =0⇒sin θ+2cos θ=0 ,又sin θ+cos θ=1,cos θ
0 ,
解得cos θ= 故选D θ=⇒sin θ-cos θ=
考点:本题考查向量垂直的充要条件,同角三角函数之间的基本关系
点评:解决本题的关键是根据向量垂直的充要条件可得a ⊥b ⇒a ⋅b =0,利用向量的数量积的坐标运算,
得出 sin θ,cos θ 的关系 23.D
【解析】 试
题
分
析
:
由
a 是非零向量,b ≠c ,则由
u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r a ⋅b =a ⋅c ⇒a ⋅b -a ⋅c =0⇒a ⋅b -c =0⇒a ⊥b -c ,
()()
u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r
反之,由a ⊥(b -c )⇒a ⋅b -c =0⇒a ⋅b -a ⋅c =0⇒a ⋅b =a ⋅c ,故选D
()
考点:向量垂直的充要条件 24.B
【解析】若ma +b =0,则b =-ma ,且a =2,故m =1,所以m =±1.
【命题意图】本题考查向量的坐标、向量共线定理等基础知识,意在考查基本运算能力. 25.D 【
解
2
析】
2
对
a +b =a -b
两边平方可得
(a +b )=(a -b )
⇒2a b cos =-2a b , 因为向量a , b 为非零向量, 所以
2a co s =-2b ⇒cos =-1⇒=180, 故选D.
【命题意图】主要考查平面向量的内积与夹角. 26.A 【解析】
试题分析:λa +b =(λ+4, -3λ-2) ,由λ+与垂直得λ+4-3(-3λ-2) =0,
∴λ=-1.
考点:向量垂直的充要条件. 27.A. 【解析】
试题分析:以点A 为坐标原点,以AB 为x 轴的正方向,AC 为y 轴的正方向,建立平面直角坐标系,由题知B (2, 0,) C (0,1), P (2λ,0) ,Q (0,1-λ) ,BQ =(-2,1-λ) ,
CP =(2λ, -1) , ∵BQ ⋅CP =-2,
∴1+3λ=2, 解得λ=
1
,故选A. 3
考点:平面向量的坐标表示及数量积. 28.C 【解析】
试题分析:由AB +CD =0得平面四边形ABCD 是平行四边形,由(AB -AD ) ⋅AC =0得
DB ⋅AC =0,故平行四边形的对角线垂直,则该 四边形一定是菱形.
考点:向量运算. 29.D 【解析】
试题分析:对应① AD 是BC 边上的高,∴⋅-=⋅=0,故正确;对
)
应②取线段
BC
的中点M ,
则
+=2
≥,
=≥,因此正确;对应③,
===∠B ,因此正确,故答案为D .
考点:平面向量数量积的运算. 30.C 【解析】
试题分析:由已知AB ⋅(BC +AB ) =AB ⋅AC
考点:向量、三角形形状的判定 31.B. 【解析】
试题分析:AB =(2, 2) ,
=(-1, 3) =,⋅CD =-2+6=4,向量AB 在向量上的投影等于
→
4=
2,故选B. 5
考点:向量的数量积的定义. 32.C 【解析】 试
题
分
析
:
2
由
2a -b =可得
4a -4a ⋅b +b =
10
22
,即
4-4⨯b 12
b +=1,
b 2. 故选C.
考点:1. 向量的运算.2. 向量的模的运算.
33.C . 【解析】 试
题
分
→→
析
→→
:因为(2a -3b ) ⊥c ,所以
(2a -3b ) ⋅c =2a ⋅c -3b ⋅c =2(2k +3) -3(2+4) =4k -12=0,所以k =3,故应选C .考点:1、向量的坐标运算;2、向量的数量积的应用.
34.C 【解析】
试题分析: |AB +AC =AB -AC |,∴AB ⊥AC ,即△ABC 为直角三角形,AD 为斜边上的中线, 则|AD |=
1
|BC |=3.故选C . 2
考点:平面向量加法模的几何意义. 35.B 【解析】
b =0试题分析:①若a 综a ^b a +b =a -b ,故①正确;②
a ⋅b =a b cos θ≤a b ,故②错误;③若存在实数λ,使得a =λb ,等价于a //b ,
即a 与b 方向相同或相反,而a +b =a +b 表示a 与b 方向相同,故③错;④若
a +b =a -b ,则a 与b 方向相反,故存在实数λ,使得a =λb ,故④正确.
考点:向量的基本性质.
36.B 【解析】
【试题分析】因为a ⊥c , b //c ,所以2⨯2-4x =0,-4y =-4,x =1, y =1,
a +b =
(3,-1) ,故|a +b |=
考点:向量的坐标运算 37.B. 【解析】
试题分析:因为向量a =(x ,1), b =(1, y ), c =(2,-4) 且⊥, //,则有2x -4=0,
-4-2y =0,解得x =2, y =-2,故a +b =(3, 1) ,所以有a +b =,故应选B.
考点:数量积的应用;向量的模的概念;平面向量共线的坐标表示. 38.B . 【解析】
试题分析:取BC 边上的中点为D 点,连接AD . 则
→→→→
⎡→→→⎤1→
⋅=(AD +DO ) ⋅BC =AD ⋅BC +DO ⋅BC =AD ⋅BC =(AB +AC ) ⋅⎢AC -AB ⎥
⎢⎥2
⎣⎦
→
→
→
→
→
→
→
→→
1→2→25
=(AB -AC ) =.故应选B . 22
考点:平面向量的数量积的应用. 39.A 【解析】
试题分析:由2PA +PC =AB -PB ⇒2PA +PC =BP -BA =AP , 所以,
3PA +PC =0⇒PC =-3PA
所以点P 在边AC 上,且是该边的一个四等分点,如图所示,所以∆PBC 与∆ABC 面积之比为
3.
4
考点:平面向量的线性运算. 40.C 【解析】
试题分析:画出可行域, 如图所示:
z =⋅=2x +y ,即y =-2x +z
首先做出直线l 0:y =-2x ,将l 0平行移动,当经过B 点时在y 轴上的截距最大,从而z
最大.
因为B (2, 2) ,故z 的最大值为4. 故选C .
考点:线性规划与数形结合.