第八章 多元函数的微积分测试题
第八章 多元函数微积分测试题
一、填空题
1. 空间直角坐标系中,点M (2,
3,4) 到x 轴的距离为 . 2. 函数z =ln(x +y ) 的定义域为 . 3.
lim
sin xy
(x ,y ) →(0,2) x = .
4. 设z =x 2+xy +y 2,则
∂z
∂x
= .
(1,1)
5. 已知函数z =e xy ,则dz = . 6. 设z =x 2
+sin y ,则
∂2z
∂x ∂y
=. 7. 函数z =(1-x ) 2+(1-y ) 2的驻点是 8. 二重积分
dxdy = . 1≤x 2⎰⎰2+y 2≤4
9. 交换积分次序⎰1
0dy
⎰
y 0
f (x ,y ) dx =.
10. 设I =
⎰⎰
ye xy dxdy , 其中D 由y =ln 2,y =ln 3,x =2,x =4所围成,则I =
D
二、选择题
1. 点M (-3,
-2,1) 关于坐标原点的对称点为 A . (3,
-2,-1) B . (-3,2,-1) C . (3,2,-1) D . (3,2,1) 2. 函数z =
1 -x 2
-y
2
的定义域为A. D ={(x ,y ) x 2+y 2
⎧3. 设函数f (x ,y ) =⎪xy
x 2+y 2≠0⎨x +y 在点(0,
0) 处 ⎪⎩0,
x 2+y 2=0
A. 连续且偏导数存在 B. 连续但偏导数不存在 C. 不连续但偏导数存在 D. 不连续且偏导数不存在 4. 设z =x 2+y ,则
∂z
∂y
= A.1 B. 2x C. 2x +1 D. x 2 5. 设x 2+y 2+z 2-2z =0,则∂z
∂x
= A.
x 1-z B. x x x 2-z C. z -1 D. z -2
26. 设z =sin 2(ax +by ) ,则
∂z ∂x = A. 2a 2cos 2(ax +by ) B. 2ab cos 2(ax +by ) C. 2b 2cos 2(ax +by ) D. 2ab sin 2(ax +by ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
7. 设z =f (x ,y ) ,则
∂z ∂x
= ( )
(x 0,y 0)
A. lim C. lim
∆x →0
f (x 0+∆x ,y 0+∆y ) -f (x 0,y 0) f (x 0+∆x ,y 0) -f (x 0,y 0)
B. lim
∆x →0∆x ∆x
∆y →0
f (x +∆x ,y ) f (x 0,y 0+∆y ) -f (x 0,y 0)
D. lim
∆x →0∆x ∆y
8. 设积分区域D 是x +y ≤1,则
⎰⎰dxdy = ( )
D
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
9. 设f (x ,y ) 是连续函数,而D :x 2+y 2≤1且y >0,则
1
⎰⎰f (
D
x 2+y 2) d x d y
1
= ( )
1
A. πrf (r ) dr B. π
⎰⎰
1
f (r ) dr C. 2πrf (r ) dr D. 2π
⎰⎰f (r ) dr
10. 若函数f (x ,y ) 在点(x 0,y 0) 处有连续的二阶偏导数,记f xx (x 0,y 0) =A ,f xy (x 0,y 0) =B ,f yy (x 0,y 0) =C 且f (x ,y ) 在点(x 0,y 0) 处取得极大值,则 ( ) A. B 2-AC >0,A >0 B. B 2-AC 0 C. B 2-AC >0,A
三、计算题
1. 求下列函数的导数. (1)设z =x 2+2xy +2y 2,求
∂z
∂x
x =1y =-1
,
∂z ∂y
x =1y =-1
.
∂2z
(2)设z =xy +x y ,求.
∂x ∂y
2
3
x
(3)设u =,求du .
y
2.证明恒等式.
(1)证明函数z =ln x 2+y 2满足方程
(2)已知r =x 2+y 2+z 2,证明
∂2z ∂2z
+=0. ∂x 2∂y 2
∂2r ∂2r ∂2r 2
++=. ∂x 2∂y 2∂z 2r
3.(1)设z =u 2+v 2,u =x +y ,v =x -y ,求
(2)设z =sin
y ) 是由方程z 3-3xz +y =0所确定的隐函数,求4.(1)设z =z (x ,
∂z ∂z
和. ∂x ∂y
dz x
,x =e t ,y =t 2,求.
dt y
∂z ∂z
,. ∂x ∂y
dy y
(2)设ln x 2+y 2=,求.
x dx
5.求z =x 3+y 3-3x 2-3y 2的极值.
6. 某厂为促销产品需作两种手段的广告宣传.当广告费分别为x ,y 时,销售量Q =L =
200x 100y
+,若销售产品所得利润x +5x +10
1
Q -(x +y ) ,两种手段的广告费共25(千元) ,问如何分配两种手段的广告费才能使利润最大? 5