初中数学思想
专题讲座
数学思想方法与初中数学教学
嵇文红 北京市芳星园中学
一、数学思想方法在初中数学教学中的重要性
在《初中数学课程标准》的总体目标中,明确地提出了:“通过义务教育阶段的数学学习,学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分,在数学课程标准中明确地提出来,这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现,也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。
什么是数学思想方法?数学思想是对数学知识和方法本质的认识,是解决数学问题的根本策略,它直接支配着数学的实践活动;数学方法是解决问题的手段和工具,是解决数学问题时的程序、途径,它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征,而数学方法具有实践性的特点,数学问题的解决离不开以数学思想为指导,以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一,数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质,是沟通基础与能力的桥梁。
在初中数学教学中,常见的数学思想有:转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等;常见的数学方法有:待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比法等等。
在初中数学教学中,渗透数学思想方法,可以克服就题论题,死套模式,数学思想方法可以帮助我们加强思路分析,寻求已知和未知的联系,提高分析解决问题的能力,从而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节,因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。
在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题,它们所体现的数学知识和数学方法固然重要,但其蕴涵的数学思想却更显重要,作为初中数学教师,要善于挖掘例题、习题的潜在功能。在初中数学教学中,教师应向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法,才能有效地应用知识,形成能力,从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此,在初中数学教学中,教师必须重视对学生进行数
学思想方法的渗透与培养。
二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用
(一)渗透转化思想,提高学生分析解决问题的能力
所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题,通过转化,归结到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想,它的应用十分广泛,我们在数学学习过程中,常常把复杂的问题转化为简单的问题,把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程,转化是化繁为简,化难为易,化未知为已知的有力手段,是解决问题的一种最基本的思想,对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。
我们对转化思想并不陌生,中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元,都是转化思想的体现。在具体内容上,有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如:初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中,教材是通过“议一议”的形式,使学生在自主探究和合作交流的过程中,经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程,“减去一个数等于加上这个数的相反数”,“除以一个数等于乘以这个数的倒数”,这个地方虽然很简单,但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决,学生一旦掌握了这种解决问题的策略,今后无论遇到多么难、多么复杂的问题,都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决,这符合学生原有认知规律,作为教师,我们不能因为简单而忽视它的教学,实践告诉我们,往往是越简单、越浅显的例子,越能引起学生的认同,所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。
再如北京市义务教育课程改革实验教材数学第13册第4章中《对图形的认识》,它实际上是“空间与图形”的最基本部分。教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的,在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的,在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形,通过对某些几何体的主视图、俯视图、左视图的认识,在平面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念。在授课过程中要特别注意图形的转化思想的渗透,在实际操作中,因为大部分学生在小学时就积累一定的感性处理方法,我们要注意的就是在学生原有知识结构的基础上,将其上升为理论高度,引导学生归纳概括得出一般性的结论:在初中阶段,绝大部分立体图形的问题都可以转化为平面图形的问题,从而使学生真正体会到立体与平面的相互转化思想。
又如在解方程组时,通过消元这个手段,把二元一次方程组转化为一元一次方程去解;在解多边形问题时,又是通过添加辅助线这个手段,把多边形的问题转化为三角形的问题加以解决等等。数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变
量、整体和局部等处处都蕴涵着转化这一辩证思想。因
此,在初中数学教学中,应有意识地渗透转化思想。如
在学习分式方程时,不能只简单介绍分式方程的概念和
解法,教学时,应让学生充分经历整式方程与分式方程
的观察、比较、分析、探索过程,启发学生说出分式方
程的解题基本思想,学生在经历了充分的探索后,自然
认识到:通过把分式方程两边都乘以最简公分母,去掉
分母,就可以把分式方程转化为整式方程,学生感悟到
分式方程与整式方程概念和解法的实质后,会收到一种
居高临下,深入浅出的教学效果。因此,在初中数学教学中,要注重渗透转化思想,可以说转化思想是科学世界观在数学中的体现,是最重要的数学思想之一,不仅可以培养学生的科学意识,而且可以提高学生的观察能力、探索能力和分析解决问题的能力。
(二)渗透数形结合的思想方法,提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力
恩格斯曾说过:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。而“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。“数”是数量关系的体现,而“形”则是空间形式的体现。它们两者既有对立的一面,又有统一的一面。我们在研究数量关系时,有时要借助于图形直观地去研究,而在研究图形时,又常常借助于线段或角的数量关系去探求。数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。因此,数和形是研究数学的两个侧面,利用数形结合,常常可以使所要研究的问题化难为易,使复杂问题简单化、抽象问题具体化。正如著名数学家华罗庚所说的那样:“数无形,少直观,形无数,难入微”,这句话阐明了数形结合思想的重要意义。
在初中代数列方程解应用题教学中,很多例题都采用了图示法进行分析,在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系,找出解决问题的突破口,学生掌握了数形结合这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值,对解决问题更具有指导意义。
又如,计算:1+3=?1+3+5=?1+3+5+7=?1+3+5+7+9=?并根据计算结果,探索规律。 在这道题的教学中,首先应让学生思考:从上面这些算式中你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同),归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程。在探索过程中鼓励学生进行相互合作交流,提供如下的帮助:列出一个点阵,用图形的直观来帮助学生进行猜想。这就是典型的把数量关系问题转化到图形中来完成的题型,充分体现了数形结合思想。
再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索:两圆的位置关系反映到数上有何特征?这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透,这样不仅可以提高学生的迁移思维能力,还可以培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
此外,数学教学中,我们正是借助数形结合的载体——数轴,学习研究了数与点的对应关系,相反数、绝对值的定义,有理数大小比较的法则等,利用数形结合思想大大减少了引进这些概念的难度。数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输,应该落实在课堂教学的学习探索过程中,我在讲“相反数”这节课时,首先提出问题:“在上体育课时,体育李老师请小明和小强分别站在李老师的左右两边(三人在同一条直线上),并与李老师相距1米。你能说出小明、小强与李老师的位置关系有什么相同点和不同点吗?如果李老师所站的位置是数轴的原点,你能把小明、小强所站的位置用数轴上的点A 、B 表示出来吗?它们在数轴上的位置有什么关系?”
让学生动手实践,在数轴上分别确定表示这些数的点。 观察并思考:这些点在位置上有怎样的特征。引导学生归纳总结,形成相反数的概念,在此基础上继续提出问题:若两个数互为相反数,从“数、形”的角度看,它们有什么相同点和不同点呢?学生思考得到:从“数”的角度看:若两个数互为相反数,则只有符号不同。教师强调:只有、两个、互为。从“形”的角度看:相同点是它们到原点的距离相等;不同点是两个点分别在数轴原点的两侧。之后,进一步引导学生观察数轴,是否所有的相反数都成对出现?有特殊的吗?学生通过讨论得出:除0以外,相反数是成对出现的。本节课借助数轴,帮助学生理解相反数的概念,进一步渗透数形结合的思想。教学中,从学生身边的生活实例入手,先从互为相反数的两数在数轴上的特征,即它们分别位于原点的两旁,且与原点距离相等的实例出发,让学生带着问题观察数轴上的点,鼓励学生用自己的语言说出猜想,揭示这两数的几何形象。充分利用计算机课件的直观性帮助学生验证猜想,增强对相反数概念的感性认识,充分利用数轴帮助思考,把一个抽象的相反数的概念,化为直观的几何形象。在这种情况下给出互为相反数的定义:只有符号不同的两个数称互为相反数。特别地规定:0的相反数是0。学生从“数”和“形”两个方面认识相反数概念的本质特征,体会数形结合的思想,显得自然亲切,水到渠成,同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功,初步领略和尝试了它的功用,是一个非常好的渗透背景。
在初中学习函数知识的时候,更是借助于函数的图象来探讨函数的知识,这是数形结
合思想的最生动的应用。下面以北京市义务教育课程改革实验教材数学第16册第15章第6节“一次函数的性质”的教学为例,谈谈教学中的一些设计与感受。
1.教学背景分析
本节课在学生学习了一次函数的概念、一次函数的解析式、一次函数的图象等知识的基础上,重点研究一次函数的性质。一次函数的学习,给出了研究函数的基本模式,对今后研究反比例函数、二次函数等具有重要的示范作用。一次函数的性质是本章知识的核心内容,尤其是探究一次函数性质的过程,对培养学生的观察力、抽象概括能力以及“数形结合”的意识具有促进作用。因此,我确定了本节课的教学重点是:一次函数的性质。
我所任教的初二年级学生对合作探究学习非常感兴趣,敢于大胆发表自己的见解和看法,
通过完成课前布置的作业,学生已掌握一次函数图象的画法,初步感受到一次函数y=kx+b(k ≠0)中k 、b 对函数图象具有一定的影响,这对于本节课的学习很有帮助,但由于学生识图能力、数形结合意识和抽象归纳能力较弱,因此,我确定了本节课的教学难点是:一次函数性质的探索与应用。
根据数学课程标准中关于“一次函数的性质”的教学要求,和对教材、学生的分析,结合我班学生已有的经验和知识基础,我确定了本节课的教学目标:
(1)理解一次函数y=kx+b (k ≠0)的性质(增减性),会用一次函数性质解决简单问题;
(2)经历观察、归纳、探索一次函数性质的过程,体会数形结合的思想方法,提高观察、识图能力;
(3)在合作交流活动中,享受探究发现知识的乐趣,培养学生勇于探索和勤于思考的精神。
2.教学过程的设计
⑴创设情境,导入新课
我用多媒体出示曾经探究过的以地铁5号线为背景的实际问题,得到了路程s (公里)与行驶时间t (小时)之间的函数关系式为:。观察地铁行驶的过程,并结合这个函数的图象,学生很容易发现:距离宋家庄的路程s (公里)随着行驶时间t (小时)的增加而减少。我适时地追问学生:你知道这是为什么吗?本阶段从学生身边
的生活实例入手,激发学生发现问题、探究问题、解决问题的欲望。
⑵合作探究,学习新知
我采用“小组讨论,探索发现→展示交流,总结规律→直观验证,归纳性质→解决问题,反思感悟”的模式,层层深入展开教学。
小组讨论,探索发现
由于学生在课前已经完成了画四组一次函数图象的作业(作业附在后面),首先,我和学生一起订正、修改、完善作业,得到四组正确的函数图象。
接着,我把学生分成小组,围绕作业中的探究思考问题,进行充分地讨论交流,从而发现规律。问题1:每组函数的解析式有什么共同特点?问题2:从每组函数图象中,你发现了哪些规律?
参与学生讨论,对于发现规律的学习小组,给予及时的鼓励表扬,并鼓励他们用简练的语言,归纳概括所发现的规律。
对于没有发现规律的学习小组,从数、形两个角度给予启发引导,帮助他们发现规律。 本阶段通过学生小组讨论,合作交流,引导学生充分经历观察、分析、猜想、发现规律的探索过程,充分渗透数形结合思想。
展示交流,总结规律
在学生分小组进行充分讨论,发现规律的基础上,我请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律,并运用实物投影进行展示交流。针对每个小组的发言,我和学生共同进行修改、补充和完善,总结规律得到:
① k 值相同,b 值变化时,这组直线平行;
② k 值变化,b 值相同时,这组直线经过点(0,b );
③当k >0时,直线呈现出“左低右高”的变化趋势;
当k
本阶段通过学生充分的展示交流活动,培养学生归纳、概括能力,进一步体会数形结合的思想。
直观验证,归纳性质
在学生展示交流,发现规律的基础上,进一步向学生提出两个“想一想”的问题,引导学生进行深层次的思考。
问题1:当一个函数的图象呈现出“左低右高”或“左高右低”的变化趋势时,说明这个函数的自变量增大时,因变量是怎样变化的?
问题2:在k 值的影响下,一次函数因变量的变化有什么规律?可以概括出一次函数什么样的性质?
在学生独立思考后,我引导全班同学进行交流,同时利用几何画板进行直观演示,验证学生发现的规律。
改变k 值,当k >0(或k
观察点P 在运动过程中所经过的点A 、B 、C 、D 、E „ 的横、纵坐标的变化规律。(如图2)
在全班同学进行充分的交流,互相补充、修改和完善的基础上,师生达成共识后,得
出一次函数的性质,并板书一次函数y=kx+b(k ≠0)的性质:
当k >0时,y 随x 的增大而增大;当k
本阶段通过学生深入思考,直观感受,探究发现一次函数性质的活动,培养学生抽象、归纳、概括能力,进一步深入体会数形结合的思想。
解决问题,反思感悟
在归纳得出一次函数的性质后,我问学生:你现在能解决引例中提出的问题吗? 问题:在一次函数中,为什么s 随着t 的增加而减少呢? 学生独立思考,回答问题,在一次函数中,由于-40
关键。
本阶段通过学生小组讨论、展示交流等活动,引导学生经历观察分析、猜想验证、归纳概括一次函数性质的探究过程,得出一次函数的性质,充分感受数形结合的数学思想,发展学生合情推理能力。
⑶应用知识,提高能力
本阶段通过选取由易到难不同层次的练习,从不同的角度(直接应用、逆向应用、变式应用、开放应用),使学生逐步掌握一次函数的性质及简单应用,渗透数形结合的思想,培养学生思维的灵活性、发散性,体验解题策略的多样性。
首先,我安排了第一组练习“比一比,谁最棒!”
① 在一次函数y=3-5x 的图象中,y 随x 的增大而______;
② 在一次函数y =(a +1)x -4的图象中,y 随x 的增大而 ;
③ 在一次函数y =(m -2) x +1的图象中,y 随x 的增大而减小,则m ;_________; ④在一次函数y =(k +3)x -2的图象中,y 随x 的增大而减小,请你写出一个满足上述条件的k 值_________; 2 )图象的性质是解决问题的
⑤在一次函数y =kx +b 中,如果它的图象不经过第一象限,那么k______,b_______。 第①题是一次函数性质的直接应用,目的是使学生熟悉一次函数的性质;
第②题需要先确定a +1﹥0后,再直接应用一次函数的性质解决问题,目的是使学生逐步理解一次函数性质;
第③题是一次函数性质的逆向应用,目的是使学生从不同的角度理解一次函数的性质; 第④题,它是一次函数性质的开放应用,目的是使学生深入、透彻理解一次函数的性质; 第⑤题是“由形想数”,培养学生数形结合的思想。 2
以上题目,采用课堂竞赛的形式组织学生完成,由学生独立思考后进行口答,并说明理由,其他学生补充、修改,我及时给予鼓励评价,并强调在解题中注意用数形结合的思想来思考问题。
本阶段通过“比一比,谁最棒”这个练习,激发学生学习积极性,使学生从不同的角度,逐步理解、掌握一次函数的性质,体会数形结合思想。
接着,安排第二个练习“试一试,你能行!”
在一次函数
关系。 的图象上有两点A 和B ,比较与的大小
此题由学生独立思考解答后,分小组进行讨论,交流不同的解题思路,老师参与学生讨论,及时发现、收集不同的解题方法,并利用投影展示学生不同的解题思路过程,学生可能会有以下方法:
预案1:用一次函数的性质解决;预案2:用函数图象的方法比较;预案3:用代入求值的方法比较。
对于学生中出现的不同解题方法,引导学生共同探究解题方法的优劣,进一步明确正确掌握一次函数y=kx+b(k )的性质是解题的关键。
本阶段通过一题多解,培养学生思维的灵活性、发散性,体验解题策略的多样性,加深巩固掌握一次函数y=kx+b(k )的性质,深入体会数形结合思想。
⑷课堂小结,回顾知识
为了使学生对本节课所学内容有一个整体的感知,向学生提出三个问题:
本节课:我学会了„„我经历了„„我感触最深(最困惑)的是„„
学生在自由讨论、发言补充的过程中,回顾了本节课的学习内容和重点。结合学生的发言,我引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行归纳总结。
①生活中处处有数学,要善于发现问题、解决问题,掌握一次函数y=kx+b(k
性质是解决某些问题的关键。 )的
②“观察、比较、分析、归纳、猜想、验证”是探究解决问题常用的策略;“数形结合”是解决问题常用的数学思想方法。
本阶段通过学生小结,回顾知识,培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力,进一步体会“数形结合”的数学思想方法。
本节课是在学生已经掌握一次函数的概念、图象并自主完成学案的基础上,从学生身边的生活实例入手,通过小组合作交流、展示汇报,经历观察、分析、猜想、归纳、发现一次函数性质的探究过程,通过几何画板的直观演示,增强对一次函数性质的感性认识,体会数形结合的思想。通过选取不同层次的例题和练习,培养学生思维的灵活性、发散性,体会多角度、多策略解决问题的方法,使不同的学生得到不同的发展。
将抽象的数量关系形象化,具有直观性强、易理解、易接受的作用,将直观图形数量化,转化成数学运算,常会降低难度,并可对知识的理解达到更深刻的程度,所以数学教学中,突出数形结合的思想,不仅是提供解决问题的一种手段,而且加深了对数学实质的认识。我们一定要通过课堂的教学、习题的讲解,使学生充分地理解数中有形、形中有数、数形是紧密联系的,从而得到数形之间的对应关系,并引导学生应用数形结合的思想方法学习数学知识、解决数学问题。在数学教学中,突出数形结合思想,有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生实际问题转化为数学问题的能力和迁移思维的能力。
㈢ 渗透分类讨论的思想方法,培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力
分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法,当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时,就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论,从而得出各种情况下的结论,这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。
分类思想已渗透到中学数学的各个方面,如概念的定义、定理的证明、法则的推导等,也渗透到问题的具体解决之中,如含有绝对值符号的代数式的处理、根式的化简、图形的讨论等,这些问题若不分类讨论,就会无从着手或顾此失彼,导致错误的发生。比如,在有关绝对值的概念中,当去掉绝对值符号时,便要把绝对值内的字母分大于0,小于0,等于 0三种情况进行讨论;若已知
或
当
时,,由,=2,得到时,=3,=2,求或的值。在解这道题时,由=3,得到。因此,对于,时,时,的取值,应分四种情况讨论,的值为1;当,的值为5;当,的值为-1;当的值为-5,即的值为5;1;-1;-5。在解这个数学问题时,由于它的结果可能不唯一,因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。在运用分类讨论思想研究问题时,必须做到“不重、不漏”,而且要按照相同的标准进行讨论,只有掌握了分类讨论思想,在解题时才不会出现漏解的情况。
在渗透分类讨论思想的过程中,首要的是分类。教师要培养学生分类的意识,然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现,教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如在研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的;在研究加、减、乘、除四种运算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的;而在初中几何教学中,用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类;在函数教学中将函数图象分为开口方向向上、向下,单调递增、递减来进行研究;在圆的教学中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系进行了分类。从功能上看,这种分类讨论思想可以避免漏解、错解情况的出现,从学生的思维品质上看,分类讨论思想有利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。渗透分类讨论的思想方法,对培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力有积极促进作用。
下面以北京市义务教育课程改革实验教材数学第17册第22章第4节 “圆周角”的教学为例,谈一谈教学中的一些设计与感受。
1.教学背景分析
本节课是在学生掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识的基础上,重点研究圆周角的概念以及圆周角定理,圆周角不仅与圆心角之间关系十分密切,而且在进行角的有关计算、证明角相等、弧相等、弦相等、研究圆内接四边形、判定相似三角形等常见几何问题中具有重要的作用,尤其是利用完全归纳法探索圆周角定理的过程,对培养学生分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律具有促进作用。因此,我确定了本节课的教学重点是:圆周角的概念和圆周角定理。
我所任教的初三年级学生,从知识上看,已掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识,从思维上看,能够比较主动的进行观察、实验、比较、猜想、证明等数学思维活动,这对于本节课的学习很有帮助,但由于圆周角定理的证明,需要分三种情况进行讨论逐一证明,这对于学生较为生疏,很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统,在教学中我力图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理,使学生逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。因此,我确定了本节课的教学难点是:圆周角定理的证明及其应用。
根据数学课程标准中关于“圆周角”的教学要求,和对教材、学生的分析,结合我班学生已有的经验和知识基础,我确定了本节课的教学目标:
⑴ 了解圆周角与圆心角之间的关系,理解圆周角的概念,掌握圆周角定理,能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算;
⑵ 经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理的过程,体会转化、分类讨论的数学思想方法以及从特殊到一般的认识规律;
⑶ 在合作交流活动中,享受自主探究发现知识的乐趣,在几何图形的运动变化中,感受变化美、动态美,培养学生勇于探索和勤于思考的精神。
2.教学过程的设计
⑴创设情境,导入新课
首先从学生已掌握的旧知识出发,提出问题:什么叫圆心角?图1中∠AOB 的特点是什么?有哪些相关的性质?
学生思考后回答,师生共同纠正评价,进一步明确:顶点在圆心的角叫圆心角;在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦也相等。
然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗AB 观看窗内神奇的海底世界的图片,如图2,同学甲站在圆心O 的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ,同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D 和E 。在学生理解题意后,向学生提问:你知道哪位
学生独立思考后回答问题,图(3)(6)(8)中的角是圆周角。及时给予鼓励评价,并由学生总结强调:圆周角的概念中两个特征缺一不可:①顶点在圆上;②两边和圆相交。
顺势引导学生观察图(3)(6)(8)中三个圆周角的位置特征,继续提问:
问题5:圆心与圆周角之间存在几种不同的位置关系?
学生先独立思考,再与同桌交流,借助几何画板,从运动的观点引导学生观察归纳,师生达成共识后明确指出:圆心与圆周角之间存在三种位置关系。圆心在角的一边上;圆心在角的内部;圆心在角的外部。为圆周角定理的分类证明做好铺垫,渗透分类讨论思想。
然后我引导学生探究圆周角的性质
观察实验,测量比较
同学们分成小组,先在学案纸上任意画同一条弧AB 所对的圆心角和圆周角,再用量角器分别度量出这两个角的大小,填入表格中,并比较它们在度数之间有怎样的关系?
参与学生小组活动,对于发现规律的学习小组,给予及时的表扬,并鼓励他们用准确简练的语言,归纳概括提出猜想。
对于没有发现规律的小组,引导学生根据圆心与圆周角不同的位置关系,正确画出图形,渗透分类讨论思想,并测量比较圆心角和圆周角度数之间的关系,帮助他们发现规律。
提出猜想,直观验证
在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论的基础上,请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律,提出猜想:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
适时地利用几何画板进行直观演示,验证学生提出的猜想。
拖动点C ,观察到弧AB 所对的圆周角虽然有无数个,但度量∠AOB 和∠ACB 的度数后,发现:圆周角∠ACB 都等于它所对的圆心角∠AOB 的一半。
拖动点A ,改变弧AB 的大小,观察发现上述规律不变,即∠ACB =∠AOB 。
推理证明,归纳性质
在几何画板直观验证的基础上,让学生分小组进一步对猜想进行推理证明。
积极参与学生小组活动,对于能正确书写推理证明过程的学习小组,给予及时的鼓励表扬,并引导学生反思总结:在证明过程中,你运用了哪些数学思想方法?
对于证明有困难的学习小组,分三步给予启发引导:
第一步:让学生结合图形正确写出已知和求证;
第二步:引导学生分三种情况进行讨论。从第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况开始,利用“三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质”加以证明;
第三步:引导学生把其他两种一般情况“圆心在角的内部或外部”,通过添加直径这条辅助线,转化为第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况来解决。
给予学生足够多的时间,让学生进行充分的讨论证明,然后请小组代表运用实物投影进行展示交流,和学生共同进行修改、补充和完善,并用多媒体课件展示规范的推理证明过程,最后由学生总结概括得到圆周角定理,老师进行板书。
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
已知:在⊙O中,所对的圆周角是∠ACB ,圆心角是∠AOB 。
求证:
证明:① 如图1,圆心
O 在∠ACB 的边上
∵ OC =OB ,∴∠B =∠C
∵∠AOB 是△OBC 中∠COB 的外角,
∴∠AOB = ∠C + ∠B
∴∠AOB = 2∠ACB 即∠ACB =∠
AOB
② 如图2,圆心O 在∠ACB 的内部
作直径CD ,利用(1)的结果,有
∠ACD =∠AOD ,∠BCD =∠BOD
∴∠ACD + ∠BCD =(∠AOD +∠BOD )
即∠ACB =∠
AOB
③ 如图3,圆心O 在∠ACB 的外部
作直径CD ,利用(1)的结果,有
∠ACD =∠
AOD ,∠BCD =∠BOD
∴∠BCD - ∠ACD =(∠BOD -∠AOD )
即∠ACB =∠
AOB 在得到圆周角定理后,请学生结合图形写出推理形式,并由一名同学板演。
符号语言:
∵在⊙o 中,所对的圆周角是∠ACB ,圆心角是∠AOB ,
∴
(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)。
在学生对圆周角定理的文字、图形、符号三种语言已有正确认识的基础上,进一步强调:
①定理的条件:是“一条弧”。
②定理的结论:为角的有关计算、角相等、弧相等、弦相等的有关证明提供了新的方法和依据。
③定理的证明过程:使用完全归纳法进行证明,体现了分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律。
解决问题,反思感悟
在正确理解圆周角定理后,继续问学生:你现在能解决引例中提出的问题吗?
问题:在北京海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB 观看窗内神奇的海底世
界。 如图,同学甲站在圆心O 的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ,同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D 和E 。你知道哪位同学的观赏角度最好吗?
解:因为∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 是所对的圆周角,∠AOB 是所对的圆心角, 所以∠ACB =∠ADB =∠AEB =∠AOB 。
因为的角度越大,观赏角度越佳,
所以站在点O 的位置时观赏角度最好,站在点C 、D 、E 的位置时观赏效果一样。
在解决问题后,引导学生小结,反思感悟到:正确掌握圆周角定理是解决问题的关键。 本阶段通过学生合作交流等活动,探究圆周角的概念和圆周角定理,逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。
⑶应用知识,培养能力
首先,安排了第一组练习:“比一比,谁最棒!”
①如图1,C是⊙o 上的一点,如果∠C=35°, 那么∠AOB = ; ②如图2,AB 、AC 为⊙o 的两条弦,延长CA 到D ,使AD = AB ,如果∠ADB = 30º,那么∠BOC = ;
③如图3,已知A 、C 、B 、D 是⊙O上的点,如果∠AOB = 100°,那么∠ACB = ,∠ADB = ;
④如图4,A 、B 是⊙O上的两点,如果∠AOB =80°, C 是⊙O上不与点A 、B 重合的任一点,那么∠ACB = 。
图1
图
2 图3 图
4
第①题是由圆周角直接求圆心角,第③题是由圆心角直接求圆周角,目的是使学生熟悉掌握圆周角定理;
第②题需要先利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质确定圆周角后,再求出圆心角,目的是使学生进一步掌握圆周角定理;
第④题点C 在劣弧上还是在优弧上不确定,需要分类讨论求解,目的是使学生灵活掌握圆周角定理;
以上题目,采用课堂竞赛的形式组织学生完成,由学生独立思考后进行口答,其他学生补充、修改,我及时给予鼓励评价,本阶段通过“比一比,谁最棒”这个练习,激发学生学习积极性,使学生从不同的角度,逐步理解掌握圆周角定理,体会圆周角定理在计算中的重要应用。
接着,安排了第二组练习:“试一试,你能行!”
已知:如图,A 、B 、D 、E 为⊙o 上的四个点,点E 为DC 延长线上的一点。
求证:①∠BCD +∠A =180°;∠ABC +∠ADC =180°;
②∠BCE =∠A 。
此题先由学生独立思考,写出证明过程后,再分小组讨论交流,我有针对性地进行巡视。
对于言之有理、落笔有据,书写规范的学生给予及时的鼓励表扬,并引导他们用简练的语言,归纳概括圆内接四边形的重要结论。
对于暂时没有发现解题思路的学生,我引导学生通过做半径,构造圆心角,使圆周角与同弧所对的圆心角联系起来,从而解决问题。
在学生小组讨论交流后,我利用投影有针对性地展示收集到
的不同学生的证明过程,并给予评价指导。
然后我进一步向学生提问:你知道圆内接四边形有哪些性质
吗?
在学生充分发言的基础上,师生共同修改完善、归纳总结、
达成共识后得到:
圆内接四边形的对角互补, 一个外角等于它的内对角。
通过这个问题的解决,让学生进一步体会圆周角定理在证明中的重要应用。
最后,我安排了第三组练习:“做一做,夺金牌”
在2008年北京奥运会上,中国选手奋力拼搏,获得100枚奖牌,我校数学兴趣小组也要参加北京市的“OM ”头脑奥林匹克比赛,比赛用的道具都是老师和同学自己动手制作的。一天,小明找到老师,他想在一块圆形纸板上画八个45º的角,组成一个美丽的图案(如图),希望可以提供一种比较简单的做法,你能帮助小明想个好办法吗?
通过这个问题的解决,让学生进一步感受到圆周角定理在实际生活中的广泛应用,从而激发学生的学习积极性。并进一步体会分类讨论思想。
⑷归纳总结,提升认识
为了使学生对本节课有一个整体的感知,教师和学生共同回顾了本节课的学习内容和重点。结合学生发言,引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行反思归纳总结。
①顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
②“观察、实验、比较、分析、归纳、猜想、证明”是探究问题常用的策略;“从特殊到一般”是认识事物常用的数学方法;“分类讨论、转化”是解决问题常用的数学思想。
本节课重点研究圆周角的概念以及圆周角定理。主要采取引导发现、合作探究的教学方法。首先,让学生在实际生活中通过直观感受,抽象概括圆周角的特征,以准确的语言明确揭示圆周角的本质,并对圆周角的概念进行比较、辨析,深化理解圆周角的概念,从而逐步体会圆周角与圆心的三种位置关系,渗透分类讨论思想;然后引导学生经历观察、实验、分析、比较、归纳、猜想、证明探索圆周角定理的过程,并借助几何画板的直观演示,增强学生对圆周角定理的感性认识,体会几何图形运动变化中的不变性;通过分情况证明圆周角定理的过程,体会转化、分类讨论、完全归纳法的数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律;通过选取由易到难不同层次的练习,从不同的角度,使学生熟练掌握圆周角定理,感受圆周角定理在计算、证明以及实际生活中的广泛应用;通过学生小结,回顾知识,培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力,从而进一步体会数学思想方法是解题的灵魂。
在初中数学教学中,通过分类讨论思想的渗透,既能使问题得到解决,又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题,从而培养学生思维的严密性、全面性。掌握分类思想,有助于学生理解知识,整理知识、消化知识和独立获取知识,使学生学会一种分析问题和处理问题的思想方法,从而提高学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。
㈣渗透方程思想,培养学生数学建模能力
方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想,主要是指通过已知和未知的联系,建立起方程或方程组,通过解方程或方程组,求出未知量的值,从而使问题得以解决的思想方法。
运用方程思想求解的题目在中考试题中随处可见,方程思想是指借助解方程来求出未知量的一种解题策略,同时,方程思想也是我们求解有关图形中的线段、角的大小的重要方法。如已知线段AC :AB :BC =3:5:7,且AC +AB =16cm,求线段BC 的长。对于这个题,我们可以设AC =3x ,则AB =5x ,BC =7x ,因为AC +AB =16cm,所以3x +5x =16cm,解得x =2,因此BC =7x =14cm。在初中数学教学中,我们发现教材中大量出现方程思想,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式关系求字母系数的值等。教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发
现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,转化,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。
在初中数学“列方程解决实际问题”的教学中,已经提出不再以题型进行分类,而着重强调对实际问题的数量关系的分析,突出解决问题的策略。我想这样的设计与安排正好就应和了我们对方程思想方法的渗透。我们在授课中可以引导学生借助图表、示意图、线段图来分析题意,寻找已知量和未知量的关系。而它们之间的那个相等关系实际上就是方程模型,只要能把各个量带入方程模型,问题就能得到解决了;另外我认为,方程的思想方法作为一种建模能力,应该体现在学生能自觉的去运用这种方法、手段(模型),这就要求我们能引导学生从身边的实际问题出发自行创设、研究、运用方程。
下面以北京市义务教育课程改革实验教材数学第13册第3章第6节“列一元一次方程解应用题”为例,谈一谈教学中的一些设计与感受。
1.教学背景分析
本节课是在学生掌握了用字母表示数、列代数式表示简单的数量关系、一元一次方程和它的解法等知识的基础上,重点研究列一元一次方程解应用题。一元一次方程是研究初等数学的基本工具之一,列一元一次方程解决某些实际问题是数学的一种基本思想方法。学习列一元一次方程解决简单的实际问题,可以使学生初步体验到:方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型。它是学习列二元一次方程组、分式方程、一元二次方程解应用题的基础,对于培养学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识和能力具有重要的作用。在教学中,要引导学生认真审题,找出题目中的已知数,未知数和相等关系,要注意运用局部的相等关系设未知数,运用能够表示应用题全部含义的相等关系列方程,通过解这个方程求出未知数的值,并注意检验求出的解是否符合问题的实际意义,使学生充分体会把未知转化为已知,渗透数学建模思想。因此我确定本节课的教学重点是:构建数学模型,用列表分析法确定问题中的相等关系,列一元一次方程解决实际问题。
我所任教的初一⑴和初一⑵班学生,从知识上看,已掌握了列代数式表示简单的数量关系、一元一次方程和它的解法等知识,从思维上看,对于身边的实际问题非常感兴趣,能够比较主动的进行观察、分析等数学思维活动,这对于本节课的学习很有帮助,但由于列一元一次方程解应用题,需要把实际问题转化为数学问题,准确地找到问题中的已知数、未知数和相等关系,学生分析问题、解决问题能力和数学应用意识比较薄弱,很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统。在教学中,设置了学生感兴趣并亲身经历的同一情境下的5个实际问题,激发学生探究列一元一次方程解应用题的积极性,采用“列表分析法”,帮助学生
准确找到已知量、未知量和等量关系,逐步渗透数学建模思想、体会转化思想,从而提高学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识和能力。因此我确定本节课的教学难点是:用列表分析法确定问题中的相等关系。
根据数学课程标准中关于“列一元一次方程解应用题”的教学要求,和对教材、学生的分析,结合我们班学生已有的经验和知识基础,确定了本节课的教学目标:
⑴ 能说出列一元一次方程解应用题的基本思路和一般步骤,会用“列表分析法”解决简单的一元一次方程的实际问题;
⑵ 经历把实际问题转化为数学问题,寻找等量关系,列出方程求解的过程,培养学生运用数学知识分析、解决实际问题的意识和能力,渗透数学建模思想、体会转化思想;
⑶ 在合作交流活动中,感受数学来源于生活,体会数学的价值。
2.教学过程的设计
⑴创设情境,复习导入
首先,请同学们展示在课前已完成的“列代数式和解一元一次方程”的作业,我和学生一起订正、修改,补充、完善,得到作业的正确答案。
作业1:列代数式表示下列数量关系。
①长方形的长为x 米,宽比长少25米,则长方形的宽为______米,周长为______米。 ②甲班原有学生30人,从甲班抽调学生x 人,则甲班剩余学生______人,从乙班抽调学生比从甲班抽调学生多1人,则从乙班抽调学生______人。
③初一⑵班植树棵,初一⑴班比初一⑵班植树2倍少10棵,则初一⑴班植树______棵。
④李明原来跑步的平均速度为x 米/分,现在跑步的平均速度每分钟提高了30米,现在跑步的平均速度为______米/分,李明1分20秒跑步的距离为______米。
⑤矿泉水和茶饮料共有40瓶,其中矿泉水x 瓶,则茶饮料为______瓶,若每瓶矿泉水
1.5元,x 瓶矿泉水需元,每瓶茶饮料2元,瓶茶饮料需______元。
作业2:解下列一元一次方程。
① ;②
然后,我用多媒体展示“嫦娥二号探月”的图片。
在同学们观察思考的同时,我引用数学家华罗庚的一段话:“宇宙之大,粒子之微,
火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学”。
指出:一元一次方程是研究数学的基本工具,在实际生活中有着广泛的应用。
本阶段通过复习“列代数式和解一元一次方程”,从学生原有知识结构出发,为学习新知做好铺垫;从学生身边的生活实例入手,激发学生探究新知的欲望。
⑵合作探究,学习新知
本阶段通过对同一情境下5个不同实际问题的探究,学会列表分析数量关系的方法,掌握列一元一次方程解应用题的基本思路和一般步骤,渗透数学建模思想,培养学生运用数学知识分析、解决实际问题的意识和能力。
首先从与我们班学生实际生活密切相关的热点问题入手,用多媒体展示“学校新修建的草坪运动场”的图片,并提出问题1
问题1:为了给学生创造一个优美的校园环境,在2010年暑假期间,芳星园中学修建了一个漂亮的长方形运动场。周长为310米,宽比长少25米,你知道芳星园中学运动场长和宽分别是多少米吗?
问题给出后,我请同学们尝试解答。
预案1:
由于学生在小学阶段掌握了列算式解决实际问题的方法,因而有些学生可能想到用算术方法来解决问题,通过分析数量关系,可以得到足球场长与宽的和为155米,又已知宽比长少25米,那么根据和差关系,可以得到运动场的长为
场的宽为(米)。 (米),运动
算术解法:,,, 。
解:设从初一⑵班抽调了x 人,
则从初一⑴班抽调了人。
根据题意列方程,得 。
解这个方程,得 , 。
答:从初一⑴班抽调了29人,从初一⑵班抽调了28人。
在此基础上,我进一步提出问题:列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么? 学生们分成小组进行充分的讨论、交流,并请代表汇报小组总结的列方程解应用题的方法步骤,师生共同修改、补充、完善,达成共识,我利用投影进行归纳概括:
列一元一次方程解应用题的主要步骤:
“一审,二设,三列,四解,五检,六答”。
①审:认真读题,理解题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的相等关系;
②设:设出未知数,用含有未知数的代数式表示题目中涉及的数量关系;
③列:根据相等关系列出方程;
④解:求出所列方程的解;
⑤检:检验方程的解是否正确,是否符合问题的实际意义;
⑥答:写出答案。
在学生初步掌握了列一元一次方程解应用题的主要方法步骤后,带领学生继续关注身边的实际生活问题,用多媒体展示“芳星园中学运动会上,班级之间展开各种竞赛评比”的图片,在同学们回顾自己在运动会上精彩表现,学习热情充分高涨时,适时地提出问题3。
问题3:在芳星园中学的运动会上,班级之间展开了各种竞赛,同学们积极向宣传组投稿,报导好人好事并为运动员喝彩加油。根据宣传组统计,初一年级两个班共投稿125件,其中初一⑴班投稿数量比初一⑵班投稿数量的2倍少10件,你知道初一年级的两个班各投送宣传稿多少件吗?
对于问题3,请同学们独立思考,并在学案上解答,我及时地进行巡视。
未知数和表示应用题全部含义的相等关系,然后,根据题目给出的相
等关系设出未知数,列出需要的代数式和方程,通过解这个方程求出
未知数的值,注意检验求出的解是否符合问题的实际意义或能够对解
给出恰当的解释。
安排这一环节的目的是:让学生巩固“列表分析法”,进一步明
确列一元一次方程解决实际问题的方法步骤,初步体会建模思想、转
化思想等。
在学生初步体验到:方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型的基础上,我引导学生继续关注体现我们班学生风采的运动会,我用多媒体出示“运动会400米中长跑比赛”的图片,在鼓励同学们奋力拼搏,勇于争先的同时,提出问题4。
问题4:在芳星园中学的运动会上,同学们个个奋力拼搏,勇于争先,考验运动员速度与耐力的是400米中长跑项目。李明同学代表初一(1)班正站在运动场的400米起跑线上,只听发令枪一响,李明同学像离弦的箭一样冲了出去。数学嵇老师估计,在运动会上,李明400米跑步的平均速度比平时训练时每分钟提高了30米。结果李明同学以1分20秒冲过终点,取得了第一名的好成绩,你知道李明400米跑步,平时训练时的平均速度是多少吗?在这次运动会上平均速度又是多少呢?
对于问题4,让学生分小组进行讨论,并把合作探究的解题方法写在学案上。
我进行巡视,对于正确列出一元一次方程进行解答的学习小组,给予及时的表扬,并鼓励他们探究不同的解题方法。
对于列一元一次方程解应用题存在困难的学习小组学生,给与启发引导,帮助他们找出在行程问题中常常涉及几个基本量?这些基本量之间具有怎样的相等关系?
在同学们充分讨论的基础上,请小组代表利用投影进行展示,交流不同的解题思路方法,其他学生补充、完善。对于不同的解题方法,教师及时给予总结比较,达成共识。
解法二:
设李明400米跑步,平时训练时的平均速度为x 米/秒,则运动会上的平均速度为
米/秒。
根据题意列方程,得 。
解这个方程,得,。
答:李明400米跑步,平时训练时平均速度4.5米/秒,运动会上平均速度5米/秒。 在学生进一步理解掌握了列一元一次方程解决实际问题的基础上,我引导学生再次走进他们自己的实际生活中,我用多媒体展示“同学们为运动会购买饮料”的场景,在表扬同学们团结合作、热心为集体服务精神的同时,提出问题5。
问题5:芳星园中学的运动会,不仅展现出同学们的运动风采,也体
现出同学们团结合作为集体服务的精神,下面是初一⑴班班长李欣和生活委员王平在为运动员们购买饮料的场景。
李欣:阿姨,您好!我们想买矿泉水和柚子茶饮料。
售货员:你们好!这两种饮料各买多少瓶呀?
李欣:两种饮料一共买40瓶。
售货员:矿泉水每瓶1.5元,柚子茶饮料每瓶2元。
李欣:我们只有65元班费。
售货员:好的!请拿好矿泉水和柚子茶饮料,再见!
根据题意列方程,得
解这个方程,得 ,
答:购买矿泉水30瓶,茶饮料10瓶
⑶应用知识,培养能力
本阶段通过选取不同层次的练习,从不同的角度,使学生深入理解掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤,提高学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识和能力。
首先,我安排了“比一比,谁最棒!”的变式练习。
下面是初一⑴班班长李欣和生活委员王平在为运动员们购买饮料的场景。
李欣:阿姨,您好!
售货员:你们好!想买点什么呀?
李欣:我只有65元,请帮我安排买30瓶矿泉水,10瓶茶饮料。
售货员:好,每瓶茶饮料比每瓶矿泉水贵0。5元,请拿好矿泉水和茶饮料。
售货员:好的!阿姨,再见!
根据这段对话,你能算出矿泉水和茶饮料的单价各是多少吗?
对于这一环节的变式练习,我先让同学们独立思考,并请一名学生进行口答,我写出简要板书,其他学生补充、修改、完善,我及时给予鼓励评价。
本阶段通过设计变式问题,有效的提高课堂效率,揭示知识之间的联系,使学生进一步理解掌握列一元一次方程解应用题的思路方法和一般步骤,培养学生从不同的角度观察生活,用数学知识解决实际问题的能力。
接着,我安排了“试一试,我能行!”的编题练习。
请同学们根据一元一次方程,设计一道以实际生活为背景的应用题。 对于这一环节的编题练习,我采用小组合作的学习方式,以小组为单位合作设计一个
实际问题,然后在全班进行小组交流。
本阶段设计开放性的问题,目的是使学生开阔思维,充分发挥想象力和创造力。并通过小组合作交流,培养学生的合作意识。
最后,我安排了“做一做,迎挑战! ”的中考链接试题。
列方程解应用题(2010年北京市中考第17题)。
2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5。8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0。6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米。
对于这一环节的中考链接试题,采用反馈检测的学习方式,首先请同学们独立解答,及时的进行巡视,收集学生出现的错例,然后利用多媒体展示中考试题的标准答案,由同桌同学互判试卷,对典型性错例,进行分析、纠正,形成师生之间、生生之间的相互点评、相互提高,最后,把学生反馈检测的试卷收回,以便准确掌握学生对本节课知识掌握、落实的情况。
⑷归纳总结,提升认识
为了使学生对本节课所学内容有一个整体的感知,引导学生小结,学生在自由讨论、发言补充的过程中,回顾了本节课的学习内容和重点。结合学生的发言,引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行反思、归纳、总结。
①列一元一次方程解应用题的一般步骤:
②列一元一次方程解应用题的基本思路方法:
③“一元一次方程”是解决实际问题常用的数学模型。“列表分析法”是解决实际问题的一种有效方法。
④要关注实际生活问题,善于把实际问题转化为数学问题。要增强运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识和能力。
本节课重点研究列一元一次方程解应用题。主要采取引导发现、合作探究的教学方法。通过复习“列代数式和解一元一次方程”,从学生原有知识结构出发,分散了列一元一次方程解应用题的教学难点。通过比较算术方法和方程方法的区别,使学生体会从算术方法到代数方法是数学的进步。本节课充分利用多媒体辅助教学,借助大量图片和视频,设置了学生感兴趣并亲身经历的同一情境下的5个实际问题,激发学生探究积极性,感受数学与实际生活的紧密联系,体会把实际问题转化为数学问题的重要性。本节课采用“列表分析法”,帮助学生准确找到已知量、未知量和等量关系,逐步渗透数学建模思想、转化思想,提高学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识和能力。通过不同层次的例题、练习,层层深入展开教学,通过变式问题,揭示知识之间的联系,培养学生从不同角度观察生活,用数学知识分析解决实际问题的能力。通过设计开放性的问题和不同解题思路方法的展示,培养学生的发散思维能力;通过中考链接反馈检测,加强课堂教学的针对性和实效性。通过小组交流活动,培养了学生的合作意识;通过学生小结,回顾知识,培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力,使不同的学生得到不同的发展提高。
我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。我们经常会提到三种模型,即方程模型、不等式模型、函数模型,实际上就是今天所说的建模的思想,方程是第一个出现的数学基本模型,所以方程思想的领会与否直接关系到数学建模能力的大小。因此,在初中数学中,对学生进行方程思想的渗透,就是对学生进行数学建模能力的培养,这对学生以后的学习都有着深远的影响。
㈤渗透从特殊到一般的数学方法,加强学生创造性思维的形成和创新能力的培养 从特殊到一般的数学思想方法,即先观察一些特殊的事例,然后分析它们共同具有的特征,作出一般的结论的认知规律的方法。《数学课程标准》指出要发展学生的符号感,其中符号感的一个主要表现是要求学生能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号来表示,而列代数式是实现这一目标的具体途径。如用字母表示数,这是中学生学好代数的关键一步,要跨越这一步是有一定的困难的。从算术到代数,思维方式上要产生一个飞跃,有一个从量变到质变的发展过程,学生始终认为“-a 是负数”,“两个数的和大于其中任何一个加数”等,这样就要求我们在教学中要不断渗透从特殊到一般的数学思想方法,不断强化,逐步完成学生从数到式,由普通语言到符号语言,由特殊到一般,由具体到抽象的飞跃。
例如:填表:
方法的教学落在实处,所以说从某种意义上讲,数学思想方法的教学甚至比传授知识更重要。因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益,更使其终生受益。站在“以学生发展为本”的角度上看,在教学中适时适度地渗透数学思想方法,将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处,正适合现在方兴未艾的“素质教育”,其教学潜在价值更是不可估量的。
三、在初中数学教学中渗透数学思想和数学方法的教学原则
㈠ 渗透“方法”,了解“思想”
由于初中学生数学知识比较贫乏,抽象思维能力也较为薄弱,把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体,把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程,一味灌输知识的结论,就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中数学《有理数》这一章中关于“有理数大小的比较”,对它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后,就引出了“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”,“正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数”。而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则,既做到使这一章节的重点突出,难点分散;又向学生渗透了数形结合的思想,学生易于接受。在渗透数学思想、方法的过程中,教师要精心设计、有机结合,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套,和盘托出,脱离实际等错误做法。
㈡ 训练“方法”,理解“思想”
数学思想的内容是相当丰富的,方法也有难有易,因此,必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材,钻研教材,努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素,对这些知识从思想方法的角度作认真分析,按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深,由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时,引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果,从而归纳出一般方法,在得出用a 表示底数,用m 、n 表示指数的一般法则以后,再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中,教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法,对学生养成良好的思维习惯起重要作用。
㈢ 掌握“方法”,运用“思想”。
数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固,数学思想、方法的形
成同样有一个循序渐进的过程,只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外,使学生形成自觉运用数学思想方法的意识,必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”,这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如:运用类比的数学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握。学习一元一次不等式的时候,我们可以和一元一次方程进行类比;在学习分式有关概念、性质时,我们可以和分数有关概念、性质类比。通过多次重复性的演示,使学生真正理解、掌握类比的数学方法。
㈣ 提炼“方法”,完善“思想”。
教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括,让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分,而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决,因此,教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力,这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。
《数学课程标准》中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程,不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。教学中那种只重视讲授表层知识,而不注重渗透数学思想、方法的教学,是不完备的教学,它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握,使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段,难以提高;反之,如果单纯强调数学思想和方法,而忽略表层知识的教学,就会使教学流于形式,成为无源水,无本之木,学生也难以领略深层知识的真谛。因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体。在初中数学教学中,教师应向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。只要我们教师课前精心设计,课上精心组织,充分发挥学生的主体作用,多创设情景,多提供机会,坚持不懈,就能达到我们的教学目标,从而培养学生的数学素质,提高学生的能力,因此,在初中数学教学中,教师必须重视数学思想方法的渗透与培养。