数学分析 §5.1导数的概念
第五章 导数与微分
§1 导数的概念
【教学目的】深刻理解导数的概念,能准确表达其定义;明确其实际背景并给出物理、几何解释;能够从定
义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的相互联系和区别;明确导数与单侧导数、可导与连续的关系;能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题;会求曲线上一点处的切线方程;清楚函数极值的概念,并会判断简单函数的极值。
【教学重点】导数的概念,几何意义及可导与连续的关系。 【教学难点】导数的概念。
一、导数的定义
1.引入(背景)
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat )为研究极值问题而引入的,后来英国数学家牛顿(Newton )在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度,德国数学家莱布尼兹(Leibuiz )在研究几何问题曲线切线的斜率问题中,都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来,就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前,先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1直线运动质点的瞬时速度:设一质点作直线变速运动,其运动规律为s =s (t ) ,若t 0为某一确定时
刻,求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于t 0时刻的某一时刻t ,则质点在[t 0, t ]或[t , t 0]时间段的平均速度为:v =
s (t ) -s (t 0)
,
t -t 0s (t ) -s (t 0)
。
t -t 0
当t 越接近于t 0,平均速度就越接近于t 0时刻的瞬时速度,于是瞬时速度:v =lim
t →t 0
问题2 曲线上一点处切线的斜率:已知曲线方程为y =f (x ) ,求此曲线在点P (x 0, y 0) 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点Q (x , y ) ,则割线PQ 的斜率为:k =tan α=
f (x ) -f (x 0)
,
x -x 0
当Q 越接近于P ,割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率,于是曲线在点P 处的斜率: k =lim
x →x 0
f (x ) -f (x 0)
.
x -x 0
2.导数的定义
以上两个问题的实际意义虽然不同,但从数学角度来看,都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数y =f (x ) 在x 0的某邻域内有定义,若极限lim
x →x 0
f (x ) -f (x 0)
存在,则称函数f 在点x 0
x -x 0
处可导,并称该极限为f 在点x 0处的导数,记作f ' (x 0) 或
dy
. dx x =x 0
定义1 令∆x =x -x 0,∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ,则上述定义又可表示为: f ' (x 0) =
'
f (x 0+∆x ) -f (x 0) dy ∆y
=lim =lim . ∆x →0∆x →0dx x =x 0∆x ∆x
即函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。 例1 已知函数f (x ) =x 2,求f ' (1).
f (x ) -f (1) x 2-1=lim =lim (x +1) =2; 解 f (1) =lim
x →1x →1x -1x →1x -1
'
f (1+∆x ) -f (1) (1+∆x 2) -1
=lim =lim (∆x +2) =2。 或f (1) =lim
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
'
1⎧2
⎪x sin
例2 已知函数f (x ) =⎨x
⎪⎩0
解 f (0) =lim
x →0
'
x ≠0x =0
,求f ' (0).
f (x ) -f (0) 1
=lim x sin =0. x →0x -0x
例3 已知函数f (x ) =x ,求f ' (0).
解
f (x ) -f (0) f (x ) -f (0) x ⎧1x >0
,∴lim 不存在 ==⎨
x →0x -0x -0x ⎩-1x
故函数f (x ) =x 在点x =0处不可导。
例4 已知函数f (x ) =x ,求f (0).
f (x ) -f (0) x 1
解 lim =lim =lim =+∞,故函数f (x ) =x 在点x =0处不可导。
x →0x →0x x →0x -0x 2
'
二、导数的几何意义
通过对引例2我们已经看到,已知曲线方程y =f (x ) ,若f (x ) 在点x 0可导,那么曲线y =f (x ) 在
点(x 0, f (x 0) )存在切线,并且切线斜率为f ' (x 0) 。
3
注:若曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0) )存在切线,那么f (x ) 在点x 0可导吗?(不一定,如y =x 在0点)。
y=f(x)
f ' 0 f ' >0 f ' =0
切线方程(点斜式):y -y 0=f ' (x 0)(x -x 0) ; 法线方程(点斜式):y -y 0=-
1
(x -x 0) 。 '
f (x 0)
例5 求曲线y =x 3在点P (1, 1) 处切线与法线方程。
dy y -y (1) x 3-1解 =lim =lim =lim (x 2+x +1) =3,
x →1x -1x →1dx x =1x →1x -1
∴ 切线方程:y -1=3(x -1) ,即:3x -y -2=0;
法线方程:y -1=-(x -1) ,即:x +3y -4=0.
13
三、可导与连续的关系
1.定理5.1 若函数f 在点x 0可导,则f 在点x 0连续。 证明 函数f 在点x 0可导,由导数定义知lim ∆y =lim
∆x →0
∆y ∆y ⋅∆x =lim ⋅lim ∆x =f ' (x 0) ⋅0=0,
∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x →0
所以f 在点x 0连续(P69最下式)。 2.若函数f 在点x 0连续,则f 在x 0不一定可导。
如例3中,函数f (x ) =x 在点x 0=0连续,但是不可导。 y
f (x ) =x
0 x
例6 证明函数f (x ) =x 2D (x ) 仅在点x 0=0处可导。 其中D (x ) 为狄利克雷函数:D (x ) =⎨
⎧1当x 为有理数
。
⎩0当x 为无理数
2
证明 当x 0≠0时,由归结原则可得函数f (x ) =x D (x ) 在点x =x 0不连续,所以由定理5.1便知它在
x =x 0处不可导;
当x 0=0时,f (0) =lim
x →0
'
f (x ) -f (0)
=lim xD (x ) =0,说明它在x 0=0处可导; x →0x -0
综上便知函数f (x ) =x D (x ) 仅在点x 0=0处可导。
2
四、单则导数
若只研究函数在某一点x 0右邻域(左邻域)上的变化率,只需讨论导数定义中极限的右极限(左极限),于是我们引入单则导数的概念。 1.定义
定义2 若函数f (x ) 在U +(x 0) 有定义,定义右导数为: f +(x 0) =lim +
x →x 0
'
f (x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)
; =lim +
∆x →0x -x 0∆x
若函数f (x ) 在U -(x 0) 有定义,定义左导数为: f -(x 0) =lim -
x →x 0
'
f (x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0) =lim -. ∆x →0x -x 0∆x
右导数和左导数统称为单则导数。
2.由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系:
定理5.2 函数f (x ) 在点x 0可导,且f ' (x 0) =a ⇔函数f (x ) 在点x 0即左可导又右可导,且 f +' (x 0) =f -' (x 0) =a . 例7 设函数f (x ) =⎨
⎧1-cos x x ≥0
,讨论函数f (x ) 在点x =0处的左、右导数与导数。 x
∆x >0∆x
2
2
1-cos ∆x
f (0+∆x ) -f (0) ⎧⎪
=⎨∆x 解 由于
∆x ⎪1⎩
,
∆x ∆x ⎫⎛
2sin sin ⎪1-cos ∆x 1' =lim ⋅ ⎪⋅∆x =0, =lim +所以f +(0) =lim +
+
∆x →0∆x →0∆x →02 ∆x ⎪∆x ∆x
⎪⎝2⎭1=1. f -(0) =l i m -
∆x →0
'
由定理5.2可知函数在点x =0处不可导。
五、导函数
1.可导函数
若函数f 在区间I 上每一点都可导(对区间端点,仅考虑单侧导数),则称f 为I 上的可导函数。 2.导函数
区间I 上的可导函数f ,对每一x ∈I ,都有一个导数(或单则导数)与之对应,这样定义了一个在I 上
的函数,称之为函数f 在区间I 上的导函数,简称为导数,记作f (x ), y , 即:f (x ) =lim
'
' '
df dy
, , dx dx
∆x →0
f (x +∆x ) -f (x )
, x ∈I (求解时只需将x 看作固定常量即可)。
∆x
例8.求以下函数的导数(以下结果需熟记): (1)常函数f (x ) =C ,(其中C 为常数); (2)三角函数f (x ) =sin x , f (x ) =cos x ; (3)对数函数f (x ) =log a x (a >0, a ≠1, x >0) . 解 (1)(C )=lim
'
∆x →0
f (x +∆x ) 0-0
=lim =0,即:(C )' =0; ∆x →0∆x ∆x
f (x +∆x ) -f (x ) sin(x +∆x ) -sin x
=lim =lim
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
∆x sin
⋅cos(x +∆x ) =cos x , =lim
∆x →0∆x 2
2
(2)(sin x )=lim
'
2cos(x +
∆x ∆x ) sin ∆x
即:(sin x )=cos x ;类似可求出:(cos x )=-sin x .
'
'
(3)(log a x )=lim
'
∆x →0
log a (x +∆x ) -log a x f (x +∆x ) 1∆x =lim =lim ⋅log a (1+) ∆x →0∆x →0∆x ∆x ∆x x
∆x x
1∆x
=lim log a (1+)
∆x →0x x
即:(log a x )=
'
=
1
log a e , x
11log a e , ln x =. x x
六、函数极值
1.极值定义
定义3 若函数f 在点x 0的某邻域U (x 0) 内对一切x ∈U (x 0) 有f (x 0) ≥f (x ) (f (x 0) ≤f (x ) ),则称
函数f 在点x 0取得极大(小)值,称点x 0为极大(小)值点,称f (x 0) 为极大(小)值,极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值。
y
1234
说明:①极值为局部概念,极值与极值点均可以有多个;最值为整体概念,若存在则必唯一; ②极值不可能在一区间端点取得,只能在区间内部取得;最值无此限制;
③若f 在点x 0取得最值,当x 0为区间端点时,则此最值不是极值,但当x 0为区间内部的点时,则此最值一定是极值。 2.费马(Fermat )定理
从图象上可以看到,若点x 0为函数f 的极值点,且点(x 0, f (x 0) )处曲线的切线存在(f 在x 0点可导),那么此切线应平行于x 轴(f ' (x 0) =0)。从而有:
定理5.3 (费马定理) 若点x 0为函数f 的极值点,且f 在x 0点可导,则必有f ' (x 0) =0. 证明 这里以极大值的情形给予证明,对极小值情形类似可证之。
设x 0为函数f 的极大值点,则对一切x ∈U (x 0) 都有f (x 0) ≥f (x ) ,于是, 当x >x 0时:
f (x ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)
≤0;当x
x -x 0x -x 0
由函数极限的保不等式性有: f +(x 0) =lim +
x →x 0
'
f (x ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)
≤0且f -' (x 0) =lim ≥0, -
x →x 0x -x 0x -x 0
又知f ' (x 0) 存在,故由定理5.2便知f ' (x 0) =0。
说明:①稳定点:称满足f ' (x 0) =0的点x 0为函数f 的稳定点(求法:解方程f (x ) =0);
3
②稳定点不一定是极值点(如函数y =x ,点x =0为稳定点但不是极值点);
③极值点不一定是稳定点,只有加上可导条件极值点才是稳定点(如函数f (x ) =x ,点x =0为极值点但不是稳定点)。
y y
y =x y =x 0 x 0 x
3.达布(Darboux
' ' '
定理5.4 (达布定理,导函数的介值定理) 若函数f 在[a , b ]上可导,且f +(a ) ≠f -(b ) ,k 为介于f +(a )
3
与f -' (b ) 之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈(a , b ),使得f ' (ξ) =k .
y
f +' (a ) f -' (b ) 0 x
证明 不妨设+' (a ) >f -' () ,则f -' (b )
引入函数F (x ) =f (x ) -kx , x ∈[a , b ]
f (x ) 在[a , b ]上可导,由定理5.1知f (x ) 在[a , b ]上连续,∴F (x ) 在[a , b ]上连续,
由闭区间上连续函数的最值定理则:存在一点ξ∈[a , b ],使得F (ξ) 为F (x ) 在[a , b ]上的最大值, 欲利用费马定理来证F (ξ) =0,需证以下两个方面: (ⅰ)ξ为F (x ) 在[a , b ]上的极大值,只需证ξ≠a 且ξ≠b ; (ⅱ)F (x ) 在点x =ξ可导;
'
[f (x ) -kx ]-[f (a ) -ka ] F (x ) -F (a )
=lim
x →a x →a +x -a x -a
[f (x ) -f (a ) ]-[k (x -a ) ]=lim f (x ) -f (a ) -lim k =f ' (a ) -k >0 (1)
=lim +
x →a +x →a +x →a +x -a x -a
[f (x ) -kx ]-[f (b ) -kb ] F (x ) -F (b ) '
=lim 同理:F -(b ) =lim
x →b -x →b -x -b x -b
[f (x ) -f (b ) ]-[k (x -b ) ]=lim f (x ) -f (b ) -lim k =f ' (b ) -k
=lim -
x →b -x →b -x →b -x -b x -b
[f (x +∆x ) -k (x +∆x ) ]-[f (x ) -kx ] F (x +∆x ) -F (x ) '
=lim F (x ) =lim
∆x →0∆x →0∆x ∆x [f (x +∆x ) -f (x ) ]-k ∆x =f ' (x ) -k (3)
=lim
∆x →0∆x
F (x ) -F (a )
>0,所以F (x ) >F (a ) ,于(1)式说明:∃U +(a ) ⊂[a , b ],对一切x ∈U +(a ) 都有
x -a
为此:F +(a ) =lim +
'
是a 不是F (x ) 在[a , b ]上的最大值点,即ξ≠a ; (2)式说明:∃U -(b ) ⊂[a , b ],对一切x ∈U -(b ) 都有
是b 不是F (x ) 在[a , b ]上的最大值点,即ξ≠b ;
(3)式说明:对一切x ∈(a , b ),F (x ) 都存在,则对ξ∈(a , b ),F (ξ) 当然存在,且有
'
'
F (x ) -F (b )
F (b ) ,于
x -b
F ' (ξ) =f ' (ξ) -k 。
从而,由费马定理便知F ' (ξ) =f ' (ξ) -k =0,即有f ' (ξ) =k (ξ∈(a , b )).