耐克函数教案
函数y =ax +b
x
(a >0, b >0)
的图象和性质
——复兴高级中学 杨继红
[教学目标]
1、
使学生进一步巩固函数的有关概念,并能利用函数的有关性质
探讨新的问题。 2、
利用数形结合的思想方法培养学生实验、观察、联想、分析、
比较、归纳、猜测等能力及逻辑推理能力,提高学生探究能力。 3、
培养学生从特殊到一般的辨证唯物主义观点和勇于探究的意
志品质,发展学生通过自主探究学习获取新知识的才能。
[教学重点、难点]
对知识的探究、理解和认识是重点,难点是对函数性质的归纳和应用。
[教学方法]
通过启发和引导创设良好的问题环境和讨论氛围,给学生营造积极讨论和思考的空间。
[教学手段]
利用TI83图形计算器辅助教学。
[教学过程] 一. 复习及引入
复习:
函数的性质及函数y
=x +
1x
的性质和图象
(由学生回答其有关性质:定义域、奇偶性、单调性、值域、极值、大致图象) 引入:
请学生思考:讨论函数(1)y 这两个函数的性质与y 例子吗?
由学生归纳出共同的形式y
=ax +
b x
(a >0, b >0)
=x +
1x
=x +
4x
(2)y
=2x +
1x
的性质
的区别与联系,你还能举出这类函数的
二. 新课
1、用TI83图形计算器研究y
=ax +
b x
(a >0, b >0) 的图象变化
教师提出问题:如何赋值,才能较好地比较图象的变化? 经过学生讨论决定:分三种情况进行研究(学生自由分组进行研究) (1) 由y
=x +
1x
,比较y
=ax +
1x
(a >0) 中a 变化时图象如何变
化。 (2) 由y
=x +
1x
,比较y
=x +
b x
(b >0) 中b 变化时图象如何变
化。
(3) 由y
=x +
1x
,比较y
=ax +
b x
(a >0, b >0) 中a , b 变化时图象
如何变化
2、结合图象,师生共同探讨y
=ax +
b x
(a >0, b >0) 的图象变化
以下是某组同学的研究过程:(研究第一种类型) 在TI83图形计算器中输入以下函数:
y 1=x +
1x
, y 2=2x +
1x
, y 3=4x +
1x
,
设定适当的窗口,得出函数图象并比较图象及性质变化(列表比较)
老师:由这组同学的研究结果,谁能形象化地说明这一类型函数的图象是如何变化的?
学生:图象像两个钩子,一正、一反。(其他学生笑)当 a变大而b 不变时,钩子变尖、变窄,钩子顶端向y 轴靠拢,并离x 轴越远。(其他学生鼓掌并笑,气氛热烈)
老师:说得好极了!非常形象!为什么会这样变化,谁能说明理由或证明? 学生甲:因为函数y
=ax +
b x
, (a >0, b >0)
是奇函数,它的图象
关于原点对称,所以钩子一正一反。
老师:很好!谁还能继续说明图象变化的理由?
学生乙:因为函数是奇函数,图象关于y 轴对称,所以我们只需研究x>0时函数的性质。当x>0时,由基本不等式y ≥2所以…
老师:说得很好!继续!这里若a 增大,b=1… 学生丙:当a 增大,b=1时,y ≥2号成立;即x =
1a
a
ab
,
,当且仅当ax
a
=
1x
时,等
时,函数(x>0)的最小值为2。因为a
增大时,函数大于零时的最小值也增大,所以图象离x 轴远了,x
学生丁:我发现函数的增减区间的分界与x>0时取到最小值时的x 有关!如函数
y =2x +
1x
,当x>0时,x =
22
时,函数有最小值2
22
2
;而当
x ∈(0,
22
) 时,函数单调减,当x ∈(, +∞) 时,函数单调增;当
x
b a
b x
,得到x =±
, (
b a
b a
,由钩子的形状即得:单调增区间为
b a , 0)
, (0,
b a ) 。
(-∞, -
)
, +∞) ,单调减区间为(-
(学生互相议论,课堂气氛活跃)
老师:太有意思了!各个小组用TI 验证一下,输入不同的a,b 的值,看看结论是否成立?
经过学生的验证,学生丁得出的结论正确。 老师进一步问:为什么?谁能证明? 由学生在黑板上板书证明: 证明函数y 区间略) 任取x 1, x 2∈(
y 1-y 2=ax 1+
b a b x 1, +∞)
=ax +
b x
(a >0, b >0)
当x ∈(
b a
, +∞)
时为增函数(其他
,且x 1
b x 2
b (x 1-x 2) x 1x 2
ax 1x 2-b x 1x 2
-(ax 2+) =a (x 1-x 2) -=(x 1-x 2)
(x 1-x 2) o , 又x 1, x 2∈(∴ax 1x 2-b >0, ∴y 1-y 2
b a
b a
, +∞), ∴x 1x 2>
y =ax +
b a
, ax 1x 2>b
(a >0, b >0)
。所以函数
b x
当
x ∈(
, +∞) 时为增函数。
老师:由此我们探索并证明了第一种类型函数图象的变化规律,第二种、第三种类型函数图象变化与第一种类似,下面请同学们总结一下函数y
=ax +
b x
(a >0, b >0) 的性质。
由学生总结,教师归纳在黑板上: 函数y
=ax +
b x
(a >0, b >0) 的性质:
(1)奇偶性 :奇函数 (2)定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞)
(3)单调性: 单调增区间为(-∞, -单调减区间为(-
b a
b a ) 。
b a
) , (
b a
, +∞) ,
, 0) , (0,
(4)值域:(-∞, -2(5)大致图象
ab ) ⋃(2ab , +∞)
3、例题及练习:(根据课堂情况可以留做作业) (1) 研究函数y (2) 研究函数y
=x
2
+4x
2x -1
=x -1+
的性质
, (a >o )
x ∈[2, +∞) 的最小值。
(3) 思考:求函数y =x +
a x
四. 小结:
1、研究问题要遵循从特殊到一般的原则
2、注意分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用。
五. 回家作业
1、自主探索函数y
=ax +
b x
当ab
=2x +
>o 12x
2
及ab
2、练习:(1)讨论函数y +1的性质
(2)讨论函数y =
x -2
的性质
时的最值。
x +23)求函数y
=2x +
4x
,当x ∈(0, a ]时(a 为正数)
(