13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质
§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
教学目标:掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性,可积性,可微性.
教学内容:一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别;可积性的判别,可微性的判别.
(1) 基本要求:了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性,可积性和可微性的证明.
(2) 较高要求:掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性,可积性和可微性的证明. 教学建议:
(1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性,可积性,可微性的结论.
(2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性,可积性和可微性证明的习题. 教学过程:
主要讨论连续性、可积性、可微性。
定理13.2.1 设函数列{f n (x ) }在(a , x 0) ⋃(x 0, b ) 上一致收敛于f (x ) ,且对∀n ,
x →x 0lim f n (x ) =a n ,则lim a n 、lim f (x ) 均存在,且相等,即 n →∞x →x 0
lim lim f n (x ) =lim lim f n (x ) 。(即在一致收敛的条件下两种极限可换序) n →∞x →x 0x →x 0n →∞
定理13.9(连续性) 若函数列{f n (x ) }在区间I 上一致收敛于f (x ) ,且对∀n ,f n (x ) 在I 上连续,则f (x ) 在I 上也连续。
说明:若各项为连续函数的函数列{f n (x ) }在区间I 上其极限函数不连续,则此函数列
{f n (x ) }在区间I 上不一致收敛。如:x n 在(-1, 1]上。
定理13.10(可积性) 若函数列{f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛,且每一项都连续,则
⎰lim f n (x ) dx =lim ⎰f n (x ) dx 。 a n →∞n →∞a b b {}
注1:该定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序;
注2:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件。如下面的:
例1、 讨论下列函数的连续性与可积性函数
1
1⎧2n α, 0≤x
解:(略)
定理13.11(可微性) 设{f n (x ) }为定义在[a , b ]上的函数列,若x 0∈[a , b ]为{f n (x ) }的收敛点,{f n (x ) }的每一项在[a , b ]上有连续的导数,且{f n '(x ) }在[a , b ]上一致收敛,则 d
dx (lim n →∞f d n (x )) =lim n →∞dx f n (x ) 。
注1:在该定理的条件下可以证明{f n (x ) }在区间[a , b ]上一致收敛;
注2:该定理指出:在一致收敛的条件下,求导运算与极限运算可以交换顺序;
注3:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件。如:
例2、设函数列 f (x ) =1
2n ln(1+n 2x 2) ,n =1, 2, 。
作业:P41~42 1,2,3,4,5,6,7,8.
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下面讨论函数项级数的连续性,逐项求积与逐项求导的性质,它们都可由函数列的相应性质推出。
定理13-12(连续性)若函数项级数∑u n (x ) 在区间[a , b ]上一致收敛,且每一项u n (x ) 都连续,
n =1∞
则其和函数也在区间[a , b ]上连续。
注:在一致收敛的条件下,求和运算与求极限运算可以交换顺序,即
∑(lim u n (x )) =lim (∑u n (x )) 。
n =1x →x 0x →x 0n =1∞∞
定理13-13(逐项求积)若函数项级数∑u n (x ) 在区间[a , b ]上一致收敛,且每一项u n (x ) 都连续,
n =1∞
则
⎰(∑u n (x )) dx =a n =1b ∞∑⎰u n =1a ∞b n (x ) dx 。
注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与积分运算可以交换顺序。
定理13-14(逐项求导)若函数项级数∑u n (x ) 在区间[a , b ]上每一项u n (x ) 都有连续导函数,
n =1∞
'(x ) 在区间[a , b ]上一致收敛,则 x 0∈[a , b ]为函数项级数∑u n (x ) 的收敛点,且∑u n
n =1n =1∞∞
d d ∞
∑(n (x )) =(∑u n (x )) 。 dx n =1n =1dx ∞
注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与求导运算可以交换顺序。
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