程稼夫模拟试题1
竞赛模拟题
1. 如右图所示,平行四边形机械中,O 1A =O 2B =
11
O 1O 2=AB =l ,已知O 1A 以匀角22
速度ω转动,并通过AB 上套筒C 带动CD 杆在铅垂槽内平动。如以O 1A 杆为动参照系,
在图示位置时,O 1A 、O 2B 为铅垂,AB 为水平,C 在AB 之中点,试分析此瞬时套筒上销钉C 点的运动,试求:(1)C 点的牵连速度的大小V e ;(2)C 点的相对速度的大小V r ;(3)C 点的牵连加速度的大小a e ;(4) C 点的相对加速度的大小a r ;(提示:C 点绝对加
速度a a =a e +a r +a c ) (5)C 点的科里奥利加速度的大小a c ;(提示:a c =2ω⨯v r )
贤哥做对了145问
2. 如右图所示,水平面内光滑直角槽中有两个质量均为m 的滑块A 和B ,它们由长为L 的
轻刚性杆铰链连接,初始静止,∠OAB =α,今在OA 方向给滑块A 作用一冲量I ,证
明:经过时间t =
2πml
后,A 和B 回到他们的初始状态。又证明:杆中张力在整个运
I sin α
动期间保持常值,并求出它的大小。
贤哥作对了
3. 如右图所示,气枪有一气室V 及直径3mm 的球形钢弹B ,气室中空气的初态为900kP a 、
︒
21C ,当阀门迅速打开时,气室中的气体压力使钢弹飞离枪管,若要求钢弹离开枪管
时有100m/s的速度,问最小容积V 及枪管长度L 应为多少?已知空气C v =0.716kJ/(kg.k),R
空气
=0.287kJ/(kg.k),大气压P b =100kPa ,钢的密度ρ=
7770kg /m 。设枪管内径也为
3
3mm ,光滑不漏气,未发时,气室内经历可逆绝热膨胀。
4. 两条互相垂直的长直导线距离为a ,载有电流I 1、I 2,考虑I 2上的一小段(-l/2,l/2),(l a ) ,
如右图所示。(1)求作用在这段导线上的净力和净力矩;(2)如果导线可绕它们的连线a 自由转到,他们将有怎样的位形?这个位形对应于系统有最大还是最小磁能?
贤哥作对了
5. 如右图所示,一个半径为R 、长为L 的圆柱体(R l ) ,质量为m ,均匀带电,体电荷
+ρ密度为。一个外力矩使圆柱体以恒角加速度β绕竖直轴(Z 轴)逆时针旋转(俯视), 不计边界效应和电磁辐射。(1)求圆柱体内任意点的磁感应强度B ;(2)求圆柱体内任 意点的电场强度E ;(3)为保持圆柱体以恒角加速度β旋转,外力矩为多大?提示:无
介质的长直螺线管内是匀强磁场,磁感强度B =μ0nI ,其中n 为单位长匝数。
贤哥作对了
6. 一实验装置如图所示,一块平面玻璃片上放一滴油,当油滴展开成油膜时,在单色光(波
)垂直入射下,从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹(即从读数显微镜长λ=6000A
中向下观察油膜所形成的干涉条纹)。油的折射率n 1=1.20,玻璃的折射率n 2=1.50。
时,描述所看到的条纹情况,(1) 当油膜中心最高点与玻璃片的上表面相距h =12000A
可看到几条明条纹?明条纹所在处油膜的厚度是多少?中心点的明暗程度如何?
(2) 当油膜继续摊展时,所看到的条纹情况将如何变化?中心点的情况如何变化?
7. 一μ介子原子,包含一带Ze 正电
荷的核和一绕核运动的负μ介子(μ-),μ-带有-e 电荷,质量是电子质量的207倍,按玻尔理论,试计算当Z=1时,该原子:(1)第一玻尔轨道半径;(2)基态的能量;(3)赖曼系第一条普线的波长,与氢原子的赖曼系第一条谱线比较,哪一条谱线波长长?
贤哥做对了
竞赛模拟题答案
1. (1)C 的牵连速度
v e =l (2)C 的相对速度
v r =l (3)C 的牵连加速度大小
a e =l (4)C 的相对加速度大小
a r =l (5)C 的科氏加速度大小
a C =l
222
2. 令r =r A -r B ,r =re r ,利用A 、B 的动力学方程 ma A =-(Te r . e x ) e x ; m a e . y e ) y e B =-(T r
联立写得A 相对B 的矢量动力学方程:
ma =-Te r (*)其中a =a A -a B ,T 为杆中张力,由于(i )杆上不变,所以A 相对B
作
圆运动。(ii )方程(*)是:A 相对B 的运动是在有心力作用下的运动,因此质量为m 的滑块A 在相对B 的运动中角动量守恒。A 绕B 的角速度也不变,其值用初始角速度写出:
ω0=
I sin α2π2πml
=,运动周期 T =,这就是题中要证明的t 的表达式。
ml ωI sin α
2
I 2sin 2αA 绕B 作匀速圆周运动,向心力就是杆中张力,它是以个常力,为T =m ω0l =
ml
3. 最小容积 V =0.523⨯10-6m 3 枪管长度 L =0.28m
μ0I 1I 2l 3 e y 4. (1)作用在这段导线上的净力=0,净力矩=-2
24πa
(2)如果流有电流I 2的导线l 2可绕a 转动,则最终l 2将与l 1平行,且l 2、l 1的流向一致。显然这个位置应是对应于磁能有最小值的位置。
5. (1)把加速转动的均匀带电圆柱体,看成无限多个同轴的螺线管,当观察柱体内r →r +∆r 的薄层,r 处的磁感应强度,可以把r →R 的许许多多薄层螺线管产生的磁感应强度之和算
R R R R
B (r ) =e z ∑μ0nI =e z ∑μ0i =e z ∑μ0(gdr ) =e z ∑μ0(ρv ) dr
得,即
r
r
r
r
R 122=e z ∑μ0ρ(ω0+βt ) r . dr =μ0ρ(ω0+βt )(R -r ) e z
2r
(2)本题系统在柱体内的电场有两部分:
(i )柱体所带的体电荷产生的电场。尽管柱体在转动,电荷在运动,但是电荷在空间的分
ρr
布不随时间变化,所以产生的是静电场,柱体内随r 的分布的静电场电场强度为E e =e r
2ε0
(ii )由于磁场随时间变化,所以存在涡旋电场,但由于B (r ) 与时间t 的变化是线性的,所
以涡旋电场不随时间变化,求涡旋电场E c
r
∆B 111
2πrE c =-∑2πrdr =-∑[μ0ρβ(R 2-r 2)].2πrdr =-πμ0ρβ(R 2r 2-r 4)
2240∆t 0
r
123
E c =-μ0ρβ(2R r -r ) e θ
8
总的电场与时间无关,是一个静的电场,这就确定,它不再产生磁场,所以(1)中所求的
ρr 1 23
磁感应强度是对的,总电场为(柱内)E =E e +E c =e r -μ0ρβ(2R r -r ) e θ
2E 08
(3)一则由于上面可求出柱体内的电场和磁场,二则到现阶段对电磁场角动量还不熟悉,
所以还不能写出全空间电磁场角动量定理。
这里换一个角度考虑,系统的机械角动量(圆柱体动量)随时间的变化率等于外界所施的机
dl
械力矩(M 0)和电磁力矩之和,即M 0+M em =
dt 1 2
其中 L =I ωe z =mR ωe z 代入得
2
dl 1 2M 0+M em ==mR β
dt 2
M em =∑r ⨯d f em =∑r ⨯(ρE +ρv ⨯B ) dV
1 ρ2r 12322
其中 =∑r ⨯{[e r -μ0ρβ(2R r -r ) e θ+ρv θ⨯μ0ρ(ω0+βt )(R -r ) e z }
2E 082
=∑r ⨯ρE c dV =ρ0∑r ρE . dV
R 1
M em =e z ∑r ρ(-) μ0ρβ(2R 2r -r 3).2πrldr
80
π
=-μ0βρ2R 6le z
12
1 1 π2226
M 0=mR β-M em =(mR β+μ0βρR l ) e z
2212
外力矩
12π24
=R β(m +μ0ρR l ) e z
26
6. (1)这里是等厚干涉,干涉条纹是一系列同心圆,又由于油的折射率介于空气和玻璃的
折射率之间,故不必考虑半波损失,从而油滴最外层应是明纹,它相当于k=0 估计明纹条数:令2n 1h =k λ(k =1,2,3.....)
k =
2n 1h
λ
=
2⨯1.2⨯12000
=4.8
6000
k 必须为整数,所以k 取为4条,加上最外圈明纹共计有5条明纹。中心点不是明条纹,也不是暗条纹,而是介于明暗条纹之间,各级明纹处的油膜厚度为
k =0, h 0=0
k =1, h 1=
k λ1⨯6000 ==2500A 2n 12⨯1.2
k =2, h 2=5000A k =3, h 3=7500A k =4, h 4=10000A
(2)当油膜继续摊展时,h 不断减少,最外圈明纹半径不断扩大,各圈明纹间的距离也将不断增大,看起来好像是明纹向中心移动,中心点连续发生明暗交替变化,致使明纹圈数不断变少。
7. (1)根据玻尔理论壳可得μ介子原子的核外
μ-介子绕核运动的轨道半径为
1ε0h 2m 2
∝ r m =, n =1,2,3...... 2
m μπm μe Z
ε0h 21
当Z=1,n=1时,第一玻尔轨道半径为r 1==r
πm μe 22070
式中 r 0=0.53⨯10-10m ,为基态氢原子半径 (2)基态(m=1)的能量为 E 1=-当Z=1时,得 E 1=-207E0
式中E 0为氢原子基态能量,即E 0=13.6eV,所以E 1=-207⨯13.6 -2.815⨯103eV (3)查h =6.63⨯10
-34
m μe 4Z 28ε0h
22
∝m μ
J . s , e =1.6⨯10-19C
(E 1) μ=-2.815⨯103eV
2.815⨯103
(E 2) μ=-eV
4
赖曼系第一条谱线波长λμ满足
hc
λμ
=(E 2-E 1) μ
λμ=
hc hc
=
(E 2-E 1) μ3[-(E ) ]
1μ
4
4⨯(6.63⨯10-34) ⨯(3⨯108) -10 ==5.89⨯10A 3-193⨯(2.85⨯10) ⨯(1.60⨯10)
λH =207λμ