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线性代数方阵的伴随矩阵

10-05

Born To Win

线性代数方阵的伴随矩阵

伴随矩阵A 这个考点在历年真题中经常以客观题的形式出现，占4分。分数有限，难度有限，因而只要掌握好还是很好得分的。下面，跨考教育数学教研室郭静娟老师就对此知识点进行分析和讲解，帮助各位牢固掌握。

矩阵主要从两个方面来进行考查：第一，伴随矩阵A里面的所有元素均是行列式A 中所有元素的代数余子式，更确切的应该是 ，伴随矩阵A里的第i列的元素与行列式A中第i行元素的代数余子式一一对应（i1,2,

公式：AAAAAE.； **n，即要考虑行列式按行（列）展开定理与A

第二，利用伴随矩阵A求解方阵A 的逆矩阵，即A .下面我们通过例题的来A1

了解考研真题对伴随矩阵A的考察.

例1. （2005年，数三）设矩阵A=(aij)33 满足AA，其中A是A的伴随矩阵，*T*

AT为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为

(A) 1. (B) 3. (C) . (D) 33. [ A ]

【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：

AA*A*AAE..

【详解】 由AA及AAAAE，有aijAij,i,j1,2,3，其中Aij为aij的代数余子式，且AATAEA2*T**AA0或A1

23 而Aa11A11a12A12a13A133a110，于是A1，且a11. 故正确选项为(A). 3

例2. （2013年,数一数二数三）设A(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式.Aij为aij的代数余子式，若aijAij0(i,j1,2,3)则|A|________.【答案】-1

【解析】由已知Aijaij0，得Aijaij，即AA T两边取行列式得AAAA T

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又因为AA

2 n1 Born To Win A 2从而AAA0或A-1 由AAAAAE 若A0，则ATA0，与已知A为三阶非零矩阵相矛盾 故A-1

例3. （2009年,数一数二数三）设Ａ、B均为2阶矩阵，A,B分别为A、B的伴随矩阵。TT若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵0

BA的伴随矩阵为（） 0

02B （C）02B03A （D）03B2A 00（A）2A

【答案】B 03B （B）03A

【解析】由于分块矩阵

0BA0A的行列式(1)22|A||B|236，即分块矩 B01阵可逆，根据公式C|C|C，

0BA0A00B0BA0610A110B1|B|B 610A0|A|0

61A2

1B033A02B，故答案为B。 0

文章来源：跨考教育

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