高二(文)第3周周测周测数学试卷

高二（文）第3周周测周测数学试卷

班别 学号 姓名

一. 选择题：本大题共6小题，每小题10分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

1．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行 则正确的结论是（ ） A．①② B．②③ C ．③④

2

D．①④

2. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 有有理根，那么a , b , c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）

（A ）假设a , b , c 不都是偶数 （B ）假设a , b , c 都不是偶数 （C ）假设a , b , c 至多有一个是偶数 （D ）假设a , b , c 至多有两个是偶数 3．如果f (a +b ) =f (a ) f (b ) 且f (1) =2, 则

f (2) f (4) f (6)

++=( ) ． f (1) f (3) f (5)

A ．

12 5

B ．

'

37 5

C ．6 D ．8

4. 设f 0(x ) =sin x , f 1(x ) =f 0(x ) ，f 2(x ) =f 1' (x ), , f n +1(x ) =f n ' (x ) ，n ∈N ，则f 2007(x ) = A. sin x

B. －sin x

C. cos x

D. －cos x

222

5. 下面的四个不等式：①a +b +c ≥ab +bc +ca ；②a (1-a )≤

1a b

；③+≥2 ；④4b a

(a

2

2

+b 2∙c 2+d 2≥(ac +bd ). 其中不成立的有

)()

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 已知f (x +1) =

2f (x )

, f (1)=1 （x ∈N *），猜想f (x ）的表达式为 B

f (x ) +24212

A. f (x ) =x B. f (x ) = C. f (x ) = D. f (x ) =

2+2x +1x +12x +1

7.(2013陕西,13,5分) 观察下列等式

(1+1)=2×1

2

(2+1)(2+2)=2×1×3

3

(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×5 „„

8. 设平面内有ｎ条直线(n ≥3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用

f (n ) 表示这ｎ条直线交点的个数，则f (4)；

当ｎ＞４时，f (n ) ＝ （用含n 的数学表达式表示）

11⎫

9．(本小题满分10分)(文) 对于两个正数a ，b 有不等式：(a ＋b ) ⎛⎝a b ⎭≥4. (1)证明此不等式．

(2)对此不等式进行类比推广，写出三个正数a 、b 、c 的推广后的不等式并证明之．

10. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

班别 学号 姓名

一. 选择题：本大题共60小题，每小题10分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将答案直接填入下列表格内.

1．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行 则正确的结论是（B ） A ．①② C ．③④

B．②③ D．①④

2

2. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 有有理根，那么a , b , c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（B ）

（A ）假设a , b , c 不都是偶数 （B ）假设a , b , c 都不是偶数 （C ）假设a , b , c 至多有一个是偶数 （D ）假设a , b , c 至多有两个是偶数 3．如果f (a +b ) =f (a ) f (b ) 且f (1) =2, 则

f (2) f (4) f (6)

++=( C ) ． f (1) f (3) f (5)

A ．

12 5

B ．

'

37 5

C ．6 D ．8

4. 设f 0(x ) =sin x , f 1(x ) =f 0(x ) ，f 2(x ) =f 1' (x ), , f n +1(x ) =f n ' (x ) ，n ∈N ，则f 2007(x ) = D A. sin x

B. －sin x

C. cos x

D. －cos x

222

5. 下面的四个不等式：①a +b +c ≥ab +bc +ca ；②a (1-a )≤

1a b

；③+≥2 ；④4b a

(a

2

2

+b 2∙c 2+d 2≥(ac +bd ). 其中不成立的有 A

)()

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 已知f (x +1) =

2f (x )

, f (1)=1 （x ∈N *），猜想f (x ）的表达式为 B

f (x ) +24212

A. f (x ) =x B. f (x ) = C. f (x ) = D. f (x ) =

2+2x +1x +12x +1

7.(2013陕西,13,5分) 观察下列等式

(2+1)(2+2)=2×1×3

3

(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×5 „„

照此规律, 第n 个等式可为 .

n

答案 (n+1)(n+2)„(n+n)=2×1×3ׄ×(2n-1)

8. 设平面内有ｎ条直线(n ≥3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用

2

f (n ) 表示这ｎ条直线交点的个数，则f (4)；

当ｎ＞４时，f (n ) ＝ （用含n 的数学表达式表示） . 解答题

11⎫

9．(本小题满分14分)(文) 对于两个正数a ，b 有不等式：(a ＋b ) ⎛⎝a b ⎭≥4. (1)证明此不等式．

(2)对此不等式进行类比推广，写出三个正数a 、b 、c 的推广后的不等式并证明之．

11b a ＋＝2＋＋[解析] (1)(a ＋b ) ⎛⎝a b a b

≥2＋24.

a b

111⎫

(2)推广后的不等式为(a ＋b ＋c ) ⎛⎝a b c ⎭≥9. 证明如下：

111⎫b c a c a b ＋＝3＋＋＋3＋(a ＋b ＋c ) ⎛＋2＋＝9. ⎝a b c ⎭a a b b c c a b b c a c

(2010·辽宁卷) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

解析：(1)由已知，根据

2

正弦定理得2a ＝(2b ＋c ) b ＋(2c ＋b ) c ，即a ＝b ＋c ＋bc .

由余弦定理得a ＝b ＋c －2bc cos A ， 1

故cos A ＝－2A ＝120°.

2

2

2

2

2

2

(2)由(1)得sin A ＝sin B ＋sin C ＋sin B sin C .

222

1

又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝2因为0°

3. 【2012高考江西文5】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y ）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y ）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y ）的个数为12 …. 则|x|+|y|=20的不同整数解（x ，y ）的个数为A.76 B.80 C.86 D.92 B

10. 在∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：∆ABC 为等边三角形。

证明： A 、B 、C 成等差数列

∴A+C=2B

由A+B+C=1800得：B=600 …………4分

= ∴C O S B

1

a 2+c 2-b 21

= 即：

2ac 2222

b =a +b -a c ① …………8分

又 a 、b 、c 成等比数列

∴b 2=ac ② …………10分

22

由①②得：ac =a +b -ac 即：(a -c ) 2=0 ∴a =c

∴∆ABC 是等腰三角形 ………13分 又 B=600

∴∆ABC 是等边三角形 …………15分

9． (12分) 11.已知a ＞0，求证：9．证明：要证112

a 2－2≥a＋－2.

a a

112

a ＋2a ＋＋2.

a a

12

a ＋2＋4

a

112

a ＋222，只要证

a a

∵a ＞0，故只要证1112222

a 2＋2) 2) ，即a ＋2a a a

112

a ≥2(a，

a a

112

≥a＋2＋＋2(a＋) ＋2，从而只要证a a

111222

只要证4(a2)≥2(a＋2＋2) ， 即a 2.

a a a

12. 已知f (x +1) =

2f (x )

, f (1)=1 （x ∈N *），猜想f (x ）的表达式为

f (x ) +24212

A. f (x ) =x B. f (x ) = C. f (x ) = D. f (x ) =

2+2x +1x +12x +1

二. 解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 13. 证明：2, 3, 5不能为同一等差数列的三项.

14. 在△ABC 中，sin A = sin B +sin C

，判断△ABC 的形状.

cos B +cos C

15. 已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.

16. 已知函数f (x ) =ln(1+x ) -x ，求f (x ) 的最大值.

17. △ABC 三边长a , b , c 的倒数成等差数列，求证：角B

第Ⅱ卷（共50分）

三．填空题. 本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

18. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2+AC 2=BC 2。若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .

19. 从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为 (用数学表达式表示)

20. 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .

21. 设平面内有ｎ条直线(n ≥3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用

f (n ) 表示这ｎ条直线交点的个数，则f (4)；

当ｎ＞４时，f (n ) ＝ （用含n 的数学表达式表示）

四. 解答题. （每题13分，共26分

1⎛1⎫ ⎪22. 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n = a n + 2⎝a n ⎪⎭

（1） 求a 1, a 2, a 3；（2） 由（1）猜想数列{a n }的通项公式；（3） 求S n

23. 自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N ，且x 1＞0. 不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 成正比，这些比例系数依次为正常数

2

+

（Ⅰ）求x n +1与x n 的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a , b , c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

24. 设函数f (x ) =x sin x (x ∈R ) .

（1）证明：f (x +2k π) -f (x ) =2k πsin x , k ∈Z ；

4x 0

（2）设x 0为f (x ) 的一个极值点，证明[f (x 0)]=. 2

1+x 0

2

五. 解答题. （共8分 25. 通过计算可得下列等式：

22-12=2⨯1+1 32-22=2⨯2+1 42-32=2⨯3+1

┅┅

(n +1) 2-n 2=2⨯n +1

将以上各式分别相加得：(n +1) 2-12=2⨯(1+2+3+ +n ) +n 即：1+2+3+ +n =

n (n +1)

2

类比上述求法：请你求出12+22+32+ +n 2的值. 26. 直角三角形的两条直角边的和为a ，求斜边的高的最大值 27. 已知f (x )(x ∈R ) 恒不为0，对于任意x 1, x 2∈R 等式f (x 1)+f (x 2)=2f

⎛x 1+x 2⎫⎛x 1-x 2⎫

⎪⋅f ⎪恒成立. 求证：f (x ) 是偶函数. 22⎝⎭⎝⎭

a +b c

>

1+a +b 1+c

28. 已知ΔABC 的三条边分别为a ，b ，c 求证：

高二数学选修1-2 推理与证明测试题答案（2006.4）

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

二. 解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.

13. 证明：假设2、、5为同一等差数列的三项，则存在整数m,n 满足

=2+md ① 5=2+nd ②

①⨯n-②⨯m 得：n-m=2(n-m) 两边平方得： 3n 2+5m2-2mn=2(n-m)2 左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确。即

2、3、5不能为同一等差数列的三项

sin B +sin C

cos B +cos C

14. ∆ABC 是直角三角形； 因为sinA=

据正、余弦定理得 ：（b+c）(a2-b 2-c 2)=0； 又因为a,b,c 为∆ABC 的三边，所以 b+c≠0 所以 a 2=b2+c2 即∆ABC 为直角三角形.

15. 平行； 提示：连接BD ，因为E ，F 分别为BC ，CD 的中点， EF ∥BD. 16. 提示：用求导的方法可求得f (x ) 的最大值为0

a 2+c 2-b 22ac -b 2b 2b 2b

≥=1-=1-17. 证明：cos B ==1-

2ac 2ac 2ac b (a +c ) a +c a , b , c 为△ABC 三边，∴a +c >b ，∴1-

b

>0∴cos B >0 ∴B

三．填空题. 本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2222

18. S ∆BCD =S ∆ABC +S ∆ACD +S ∆AD B .

19. n +(n +1) +(n +2) +...... +(3n -2) =(2n -1) 2 20. f(2.5)>f(1)>f(3.5) 21. 5； n+1）(n-2)．

四. 解答题. （每题13分，共26 22. （1）a 1=1, a 2=

（2）a n =n -n -1；（3）S n =n . 2-1, a 3=3-2；

1

2

23. 解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为

22cx n , 因此x n +1-x n =ax n -bx n -cx n , n ∈N *.(*) 即x n +1=x n (a -b +1-cx n ), n ∈N *.(**)

（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得 x n (a -b -cx n ) 恒等于0, n ∈N *,所以a -b -cx 1=0. 即x 1=测：当且仅当a >b，且x 1=

a -b

. 因为x 1>0，所以a >b. 猜c

a -b

时，每年年初鱼群的总量保持不变. c

24. 证明：1）f (x +2k π) -f (x ) =（x +2k π）sin(x +2k π)-x sin x

（x +2k π）sin x -x sin x =2k πsin x =

2) f '(x ) =sin x +x cos x

f '(x 0) =sin x 0+x 0cos x 0=0 ① 又sin 2x 0+cos 2x 0=1 ②

x 02x 02x 042222由①②知sin x 0= 所以[f (x 0)]=x 0sin x 0=x 0 =222

1+x 01+x 01+x 0

2

五. 解答题. （共8分. 从下列题中选答1题，多选按所做的前1题记分）

332332

25.[解] 2-1=3⨯1+3⨯1+1 3-2=3⨯2+3⨯2+1

43-33=3⨯32+3⨯3+1 ┅┅

(n +1) 3-n 3=3⨯n 2+3⨯n +1

将以上各式分别相加得：(n +1) -1=3⨯(1+2+3+ +n ) +3⨯(1+2+3 +n ) +n

2222

所以： 1+2+3+ +n =

332222

11+n [(n +1) 3-1-n -3n ] 32

=

1

n (n +1)(2n +1)

6

27. 简证：令x 1=x 2，则有f (0)=1，再令x 1=-x 2=x 即可

28. 证明：设f (x ) =

x

, x ∈(0,+∞) 1+x

设x 1, x 2是(0,+∞) 上的任意两个实数，且x 2>x 1≥0，

f (x 1) -f (x 2) =

x 1x x 1-x 2

-2=

1+x 11+x 2(1+x 1)(1+x 2)

x

在(0,+∞) 上是增函数。 因为x 2>x 1≥0，所以f (x 1) c >0知f (a +b ) >f (c ) 即a +b c

1+a +b >1+c

.

1+x