弹簧模型专题

弹簧模型专题

1、. 在光滑的水平面上有一质量M = 2kg 的木板A ，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P 处有一大小忽略不计质量m = 2kg 的滑块B 。木板上Q 处的左侧粗糙，右侧光滑。且PQ 间距离L = 2m ，如图所示。某时刻木板A 以υA = 1m/s的速度向左滑行，同时滑块B 以υB = 5m/s的速度向右滑行，当滑块B 与P 处

3

相距 4 时，二者刚好处于相对静止状态，

若在二者共同运动方向的前方有一障碍

物，木板A 与它碰后以原速率反弹（碰后

立即撤去该障碍物）。求B 与A 的粗糙面之间的动摩擦因数μ和滑块B 最终停在木板A 上的位置。（g 取10m/s2）

2、如图所示，在倾角为θ的固定的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ．它们的质量都为m ，弹簧的劲度系数为k , C为一固定挡板。系统处于静止状态，开始时各段绳都处于伸直状态。现在挂钩上挂一物体P ，并从静止状态释放，已知它恰好使物体B 离开固定档板C ， 但不继续上升（设斜面足够长和足够高）。求：

（1）物体P 的质量多大？

（2）物块B 刚要离开固定档板C 时，物块A 的加速度 多大？

3、在赛车场上，为了安全起见，在车道外围一定距离处一般都放有废旧的轮胎组成的围栏。在一次比较测试中，将废旧轮胎改为由弹簧连接的缓冲器，缓冲器与墙之间用轻绳束缚。如图所示，赛车从C 处由静止开始运动，牵引力恒为F ，到达O 点与缓冲器相撞（设相撞时间极短），而后他们一起运动到D 点速度变为零，此时发动机恰好熄灭（即牵引力变为零）。已知赛车与缓冲器的质量均为m ，OD 相距为S ，CO 相距4S ，赛车运动时所受地面摩擦力大小始终为光滑，可无摩擦滑动，在O 点时弹簧无形变。问：

F

，缓冲器的底面6

（1）弹簧的最大弹性势能为多少？

（2）赛车由C 点开始运动到被缓冲器弹回后停止运动，赛车克服摩擦力共做了多少功？

4、如图所示，固定的光滑水平绝缘轨道与竖直放置的光滑绝缘的圆形轨道平滑连接，圆形轨道处于水平向右的匀强电场中，圆形轨道的最低点有A 、B 、C 、D 四个小球，已知

m A =m B =m C =m D =0. 3kg ，A 球带正电，电量为q ，其余小球均不带电．

电场强度E =，

圆形轨道半径为R =0.2m．小球C 、D 与处于原长的轻弹簧2连接，小球A 、B 中间压缩一轻且短的弹簧，轻弹簧与A 、B 均不连接，由静止释放A 、B 后，A 恰能做完整的圆周运动．B 被弹开后与C 小球碰撞且粘连在一起，设碰撞时间极短． g 取10m/s，求：

2

(1) A 球刚离开弹簧时，速度为多少 (2) 弹簧2最大弹性势能．

E

5、如图所示，光滑水平面MN 上放两相同小物块A 、B ，左端挡板处有一弹射装置P ，右端N 处与水平传送带理想连接，传送带水平部分长度L=8m，沿逆时针方向以恒定速度v=6m/s匀速转动。物块A 、B （大小不计）与传送带间的动摩擦因数μ=0. 2。物块A 、B 质量m A =mB =1kg。开始时A 、B 静止，A 、B 间有一压缩轻质弹簧处于锁定状态，贮有弹性势能E p =16J。现解除弹簧锁定，弹开A 、B ，同时迅速撤走弹簧。求： （1）（5分）物块B 沿传送带向右滑动的最远距离； （2）（5分）物块B 滑回水平面MN 的速度； v 'B

（3）（7分）若物体B 返回水平面MN 后与被弹射装置P 弹回的A 在水平面上相碰，

且A 、B 碰后互换速度，则弹射装置P 必须给A 做多少功才能让AB 碰后B 能从Q 端滑出。

6．如图所示，在绝缘光滑水平桌面上的左侧固定挡板P ，小物块A 、B 、C 的质量均为m ，A 、C 带电量为+q，B 不带电，A 、B 两物块由绝缘的轻弹簧相连接，整个装置处在场强为E ，方向水平向左的匀强电场中，开始时A 靠在挡板处（但不粘连）且A 、B 静止，已知弹簧的劲度系数为k ，不计AC 间的库仑力，且AC 带电量保持不变，B 、C 碰后结合在一起成为一个整体（设在整个过程中，A 、B 、C 保持在一条直线上）。（提示：弹簧的弹性势能E P =

12

kx ，x 为2

形变量）

（1）若在离物块B 的x 远处由静止

释放物块C ，可使物块A 恰好能离开挡板P 。求距离x 为多大？ （2）若保持x 不变，把物块C 的带电

量改为2q ，还是由静止释放C ，则当物块A 刚要离开挡板时，物块B 的速度为多大？

7. 质量M=3.0kg的小车放在光滑的水平面上，物块A 和B 的质量均为m=1.0kg，且均放在小车的光滑水平底板上，物块A 和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图所示，物块A 和B 并排靠放在一起，现用力向右压B ，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功为W=135J。撤去外力，当A 和B 分开后，在A 达到小车底板的最左端位置之前，B 从小车左端抛出，求：

（1）B 与A 分离时，小车的速度是多大？ （2）从撤去外力到B 与A 分离时，A 对B

做了多少功？

（3）假设弹簧伸长到最长时B 已离开小车，A 仍在小车上，求此时弹簧的弹性势能。

8：如图所示，物体B 和物体C 用劲度系数为k 的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上，此时弹簧的势能为E 。这时一个物体A 从物体B 的正上方由静止释放，下落后与物体B 碰撞，碰撞后A 与B 立刻一起向下运动，但A 、B 之间并不粘连。已知物体A 、B 、C 的质量均为M ，重力加速度为g ，忽略空气阻力。求当物体A 从距B 多大的高度自由落下时，才能使物体C 恰好离开水平地面？

9．如图所示, 物块A 的质量为M, 物块B 、C 的质量都是m ，并都可以看做质点，且M

（2）若将物块下方的轻弹簧剪断，求物块A 上升时的最大速度和物块A 上升的最大高度。

10．两个木块质量分别为m 1=0. 20kg ，m 2=0. 55kg 。中间用轻弹簧相连接放在光滑的水平面上，m 1左侧与竖直墙接触，质量为m 0=0. 05kg 的子弹以水平向左的初

速射入m 2中，并立即与m 2具有相同的速度。然后向左压缩弹簧。m 2被弹簧弹回时带动m 1运动。若木块m 1的最大速率为v m =0. 30m /s 。求子弹射入木块m 2前的速度。

11．如图所示，光滑水平面上，质量为m 的小球B 连接着轻弹簧，处于静止状态。质量为2m 的小球A 以大小为v 0的初速度向右运动接着压缩弹簧并使B 运动，过一段时间，A 与弹簧分离。求（1）当弹簧压缩到最短时，弹性势能E P 为多大？（2）若开始时在B 球的右侧固定一块挡板，在A 球与弹簧未分离前使B 球与挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤离。设B 球与挡板的碰撞时间极短，碰后B 球的速度大小不变但方向相反。欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到（1）中势能的2.5倍。必须使B 球在速度多大时与挡板发生碰撞？

1、设M 、m 共同速度为υ，由动量守恒定律得 mυB - MυA = ( M + m )υ υ =

mυB - MυA

= 2m/s M + m

对A ，B 组成的系统，由能量守恒

1 112 2 2 3

MυA + mυB - M + m ) υ= μmg （5分） 2224

代入数据得 μ = 0.6

木板A 与障碍物发生碰撞后以原速率反弹，假设B 向右滑行并与弹簧发生相互作用，当A 、B 再次处于相对静止状态时，两者的共同速度为u ，在此过程中，A 、B 和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒。

由动量守恒定律得 mυ - Mυ = ( M + m )u u = 0 设B 相对A 的路程为s ，由能量守恒得

2 1

( M + m ) υ2 = μmgs 代入数据得 s = m

3 2

L 由于 s > 4 ，所以B 滑过Q 点并与弹簧相互作用，然后相对A 向左滑动到Q 点左边，设离Q 点距离为s 1

1

s 1 = s - 4 L = 0.17m （5分）

2、解：（1）令x 1表示未挂P 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知m A gsin θ=kx1 ① 令x 2表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量，由胡克定律和牛顿定律可知kx 2=mB gsin θ ②

则 x1= x2 =

mg sin θ

g

③

此时A 和P 的速度都为0，A 和P 的位移都为d=x1+x2=

2mg sin θ

④ k

由系统机械能守恒得：m P gd =mgd sin θ 则m P =m sin θ ⑤（5分） （2）此时A 和P 的加速度大小相等，设为a, P的加速度方向向上

对P 物体 ：F －m P g=mP a ⑥ 对A 物体 ：mgsin θ+kx2—F=ma ⑦

sin θ

g ⑧（5分）

1+sin θ

F 12

3、（1）赛车由C 到O ，有 (F -) 4s =mv 0 ① 1分

62

由⑥⑦ 式可得a=

车与缓冲器短时相撞过程根据动量守恒: mv 0=2mv 1 ② 2分

O 到D 过程 Fs -

F 1

s +(2m ) v 12=E p ③ 1分 62

由①②③求得：E p =2. 5Fs 1分

F 12

s =(2m ) v 2 ④ 2分 62F 12

赛车从O 点到停止运动 -s 2=0-mv 2 ⑤ 2分

62

F

车整个过程克服摩擦力做功 W =(4s +2s +s 2) ⑥ 1分

6

13

Fs 1分 由④⑤⑥求得：W =6

4、解：(1) 根据带电小球A

恰能做完整的圆周运动，因qE =，则小球能通过复合场中的

（2）D 到O 过程 E p -

最高点P （如图）设经过轨道上的P 点的速度为v ，由小球A 的重力和电场力的合力提供向心力有：

v 2

F 合=2mg =m …………①

R

在圆周轨道的最低点弹簧将B 、A 两球向左、右弹开，设弹开时A 、B 两球的速度大小分别为v A 、

v B ，由动量守恒有：

mv A =mv B ，即v A =v B …………②

小球A 从圆周轨道的最低点运动到P 的过程中，由动能定理有：

-F 合(R +R cos 60o ) =

1212

mv -mv A …③

22

由①②③求得：v A =v B =

4m /s （6分）

(2)设BC 碰后速度为v 1 , B与C 碰撞动量守恒

mv A =2mv 1得v 1=2m/S …④

BC 整体减速, D 球加速, 当两者速度相等时设为v 2, 弹簧最短, 弹性势能最大

4

2mv 1=3mv 2 得v 2=m/S ……⑤

3

E P m=

1122mv 12-3mv 2=0.4J ……⑥（5分） 22

5、（1）（5分）解除锁定弹开AB 过程中，系统机械能守恒：E p =

由动量守恒有： mA v A =m B v B ②

由①②得： v A =4m/s v B =4m/s

1122

m A v A +m B v B ① 22

B 滑上传送带匀减速运动，当速度减为零时，滑动的距离最远。由动能定理得：

12

-μm B gs m =0-m B v B ③

2

2v B

所以s m ==4m

2μg

（2）（4分）物块B 沿传送带向左返回时，先匀加速运动，物块速度与传送带速度相同时一起匀速运动，物块B 加速到传送带速度v 需要滑动的距离设为s '，

由μm B g s '=

1

m B v 2 ④ 2

v 2

得s '==9m >s m

2μg

说明物块B 滑回水平面MN 的速度没有达到传送带速度， v 'B =（3）（4分）设弹射装置给A 做功为W ，

2μgs m =4m/s

1122

m A v '=m A v A +W ⑤ A 22

''AB 碰后速度互换，B 的速度 v 'B =v A ⑥

B 要滑出平台Q 端，由能量关系有：

又m A =m B

所以，由⑤⑥⑦得W ≥μm B gL -解得 W ≥ 8 J

6．解：（1）由题意可知，弹簧原来处于原长。设C 碰B 前速度为v 0，碰后BC 速度为v 1。 由动能定理有：Eqx =

12'm B v 'B ≥μm B gL . ⑦ 2

12m A v A ⑧ 2

12mv 0 2

由动量守恒有：mv 0=2mv 1

当A 恰好离开挡板时，弹簧对A 的拉力F =kx =Eq

对BC 整体，当A 刚要离开挡板时BC 的速度变为零，从碰后的瞬间开始到弹簧伸长x 0的过程中，由能量守恒定律有：

112 ⨯2mv 12=kx 0+E q x 022

3Eq

由上可得：x =

k

（3） 由第一问的分析可知：当物块C 的带电量变为2q 时，对应的v 02=

2v 0v 12=2v 1

11212⨯2mv 02=kx 0+2Eqx 0+⋅2mv 2 222

解得 v =Eq

1 2mk

7．答案：（1）当弹簧第一次恢复原长时，B 与A 恰好分离，由：

动量守恒定律：2mv 1=Mv2

1122

W =2⨯mv 1+Mv 2

22能量守恒定律：

解得：v 1=9m/s，v 2=6m/s

（2）根据动能定理，从撤去外力至B 与A 分离时，A 对B 做的功为：

W BA =

12

mv 1=40. 5J 2

（3）B 与A 分离后其水平速度v 1=9m/s保持不变，弹簧最长时，A 与小车速度相同，设为v 3，

由：

动量守恒定律：

Mv 2-mv 1=(m +M ) v 3

1122

mv 1+(m +M ) v 3+E p 22 解得：E p =84.4J

W =

能量守恒：

8．解：设物体A 从距B 的高度H 处自由落下，A 与B 碰撞前的速度为v 1，由机械能守恒定律得：

v 1=2gH

设A 、B 碰撞后共同速度为v 2，则由动量守恒定律得

Mv 1＝2Mv 2 解得

v 2=

gH

2

当C 刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为x=Mg/k，由于对称性，所以弹簧的弹性势能仍为E 。当弹簧恢复原长时A 、B 分离，设此时A 、B 的速度为v 3，则对A 、B 一起运动的过程中

1122

2Mv ＋2Mgx =2Mv +E 32由机械能守恒得： 22

从A 、B 分离后到物体C 刚好离开地面的过程中，物体B 和弹簧组成的系统机械能守恒，

12mv 3=E +Mgx 2

H =

由以上式得

8Mg 2E

+k Mg