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成都理工大学2014年6月

线性代数试题

说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,I 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分, 共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT |=( A ) A.-8 B.-2 C.2

D.8

2. 设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，

α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 C.6

3 0 -2 0

2 10 5 0

3. 计算行列式=(

0 0 -2 0-2 3 -2 3

B.-6 D.12

A ) A.-180 C.120

B.-120 D.180

4. 设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( B ) A. α1，α2，α3，α4线性无关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示

B. α1，α2，α3，α4线性相关 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 B.3 D.5

5. 若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( C )

A.2 C.4

6. 设A 为3阶方阵，其则| A +2I |=( D ) ，A.0

C.3

D.24

B.2 7. 若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t ) 正交，则t =(

D )

A.-2 C.2

8. 下列矩阵中不是初等矩阵的是( A ) ．．

B.0 D.4

⎛101⎫ ⎪

A. 010⎪ B. 000⎪⎝⎭⎛001⎫

⎪010 ⎪ C. 100⎪⎝⎭⎛100⎫

⎪030 ⎪ D. 001⎪⎝⎭⎛100⎫

⎪010 ⎪ 201⎪⎝⎭

9. 设A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则必有( B )

A.A+B可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA可逆 10. 设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 (

D )

A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示, 但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示, 且表示法惟一 11. 已知2阶行列式

a 1b 1

a 2b 2

=m ,

b 1c 1

b 2c 2

=n , 则

b 1b 2

a 1+c 1a 2+c 2

=（ B ）

A. m-n B. n-m C. m+n D.-（m+n） 12. 设A , B , C均为n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（

D ）

A ）

A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA

13. 设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵, 且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ A.-8 B.-2 C.2 D.8

⎛100⎫⎛100⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛a 113a 12a 13⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

14. 已知A= a 21a 22a 23⎪，B = a 213a 22a 23⎪，P = 030⎪，Q = 310⎪，则B =（ B ）

⎪ ⎪ a a a ⎪ a 3a a ⎪ ⎪ ⎪⎝313233⎭⎝313233⎭⎝001⎭⎝001⎭

A. P A B. AP C. QA D. AQ 15. 已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）

A. 若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B. 若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2

C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0

16. 下列命题中错误的是（ C ） ．．A. 只含有一个零向量的向量组线性相关 C. 由一个非零向量组成的向量组线性相关

B. 由3个2维向量组成的向量组线性相关 D. 两个成比例的向量组成的向量组线性相关

17. 已知向量组α1, α2, α3线性无关，α1, α2, α3，β线性相关，则（ ）

A. α1必能由α2, α3，β线性表出 B. α2必能由α1, α3，β线性表出 C. α3必能由α1, α2，β线性表出

D. β必能由α1, α2, α3线性表出

18. 设A 为m ×n 矩阵，m ≠n , 则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（A. 小于m B. 等于m C. 小于n D. 等于n 19. 设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（A ） A. A T B. A 2 C. A -1 D. A *

D ）

2x 2y 2z

4

20. 设行列式403=1, 则行列式01=（ C ）

3

111111

x y z

A.

2

3

B.1

C.2

8D. 3

-1

21. 设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）=（ B ）

A. A -1B -1C -1 C. C-1A -1B -1

B. C-1B -1A -1 D. A-1C -1B -1

22. 设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）. 如果|A |=2，则|-2A |=

（ D ） A.-32 C.4

B.-4 D.32

23. 设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ B ）

A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关

B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 D. α1，α2，α3一定线性无关

24. 向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ C ）

A.1 C.3

B.2 D.4

25. 设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是

（ D ）

A.1 C.3

B.2 D.4

26. 若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( C ) A.2 B.3 C.4 D.5 27. 设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2I |=( D )

A.0 B.2 C.3 D.24 28. 若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t ) 正交，则t =(

D )

A.-2 B.0 C.2 D.4

29. 设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ）

A. m ≥n C. r （A ）=m

B. Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解 D. Ax =0存在基础解系

⎡4-52⎤⎢⎥

30. 设矩阵A =⎢5-73⎥，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ）

⎢⎣6-94⎥⎦

A. （1，1，1）T C. （1，1，0）T

B. （1，1，3）T D. （1，0，-3）T

3 =

⎡1-11⎤⎢⎥

31. 设矩阵A =⎢13-1⎥的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

⎢1⎥⎣11⎦

（B ）

A.4 C.6

B.5 D.7

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 32. 行列式

0112

的值为__-1____.

⎛12⎫

33. 已知A= 23⎪⎪, 则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为___-1__.

⎝⎭

⎛1⎛11⎫⎛1-3⎫3

⎪⎪34. 设矩阵A= ,P=, 则AP =__ 01⎪ -24⎪ 0⎝⎭⎝⎭⎝0⎫

_______. ⎪⎪-6⎭

35. 设A,B 都是3阶矩阵, 且|A|=2,B=-2I,则|A-1B|=__-4.

36. 已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关, 则数k=___5______⎛1⎫⎛3⎫

⎪ ⎪ 2⎪ 5⎪

37. 已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解, 且α1= ⎪, α1+α3= ⎪,

37 ⎪ ⎪ 4⎪ 9⎪⎝⎭⎝⎭

则该线性方程组的通解是_________.

38. 设2是矩阵A 的一个特征值, 则矩阵3A 必有一个特征值为_________⎛12⎫

39. 与矩阵A= 03⎪⎪相似的对角矩阵为_________.

⎝⎭

⎛6⎛3 -2⎫ ⎪⎡2 1 -1⎤

40. 设A = 0 1⎪, B =⎢，则AB = 0⎥

⎣0 -1 0⎦ 2 4⎪ 4⎝⎭

⎝

41. 设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A

-1

--10-2-5

|= 42. 设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，

1

，1，则| 5A 2

43. 若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=____3_____________.

≠⇔≠44. 行列式

20072009的值为_______-2__________________⎛1-13⎫ ⎪⎛20⎫T ⎪ ⎪0⎪_______________________. 45. 设矩阵A=, B=, 则A B=_____ -2

201⎪ 01⎪

⎝⎭ 6 ⎝⎭1⎪

⎛2 2⎝

⎫⎭

46. 设4维向量α=（3,-1,0,2）T , β=（3,1,-1,4）T ，若向量γ满足2α+γ=3β，则γ=(3,5,-3,8)47. 设A 为n 阶可逆矩阵，且|A |=-

T

1

, 则|A -1|=______-n_____________________.n

48. 设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.

⎧x 1+x 2+x 3=0

49. 齐次线性方程组⎨的基础解系所含解向量的个数为_________1_______.

2x -x +3x =03⎩12⎛1⎫

50. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是-3，则矩阵 A 2⎪必有一个特征值为_____________.⎝3⎭

-1

⎛⎫ 1-2-2⎪ ⎪

51. 设矩阵A= -2x 0⎪的特征值为4，1，-2，则数x=____-2____________________.

⎪ ⎪ -200⎪⎝⎭

52. 设方阵A 满足A -2A +I =0，则（A -2I ）=________. 53. 设n 阶矩阵A 有一个特征值3，则|-3I +A |=__0_____.

3

2

-1

⎛3 -2⎫ ⎪ ⎪⎡2 1 -1⎤

54. 设A = 0 1⎪, B =⎢，则AB =___ 0-10⎪______________. ⎥

⎪⎣0 -1 0⎦ 2 4⎪

4-2-2⎪⎝⎭

⎛65-3⎫

⎝⎭

55. 设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=_____9_________. 56. 三元方程x 1+x2+x3=1的通解是_______________.

57. 设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是___1/3*(1,-2,-2)_____________. 58. 设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，

1

，1，则| 5A -1 |=125______________ 2

59. 若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=___3______________

⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪

60. 设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1= 2⎪，α2= 2⎪且r (A )=2，则Ax =b 的通解是

3⎪ 3⎪⎝⎭⎝⎭

_______________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2 0 0 0 1

0 2 0 0 0

61. 计算5阶行列式D =

0 0 2 0 0 1 0 0 0 2

⎛2 0 0⎫⎛1 0 0⎫⎛1 -4 3⎫ ⎪ ⎪ ⎪

62. 设矩阵X 满足方程 0 -1 0⎪X 0 0 1⎪= 2 0 -1⎪ 求X .

0 0 2⎪ 0 1 0⎪ 1 -2 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎧x 1+x 2-3x 3-x 4=1⎪

63. 求非齐次线性方程组 ⎨3x 1-x 2-3x 3+4x 4=4的通解.

⎪x +5x -9x -8x =0

234⎩1

64. 求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组

.

⎛ 2 -1 2⎫

⎪

65. 已知A = 5 a 3⎪的一个特征向量ξ =（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，并写

-1 b -2⎪⎝⎭

出对应于这个特征值的全部特征向量.

⎛-2 1 1 -2⎫ ⎪

66. 设A = 1 -2 1 a ⎪，试确定a 使r (A )=2.

1 1 -2 2⎪⎝⎭

67. 已知矩阵B =（2，1，3），C =（1，2，3），求（1）A =B T C ；（2）A 2。

T T T

68. 设向量组α1=(2,1,3,1), α2=(1,2,0,1), α3=(-1,1,-3,0) T , α4=(1,1,1,1), 求向量组的秩及一

个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

⎛

1

69. 已知矩阵A = 0

0 ⎝

210

⎫⎛⎫3⎪ -14⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

（2）解矩阵方程AX =B 。 2⎪，B= 25⎪. （1）求A -1；

⎪ ⎪

1-3⎪⎪ 1⎪ ⎪

⎭⎝⎭

⎧x 1+2x 2+3x 3=4

⎪⎪

70. 问a 为何值时，线性方程组⎨2x 2+ax 3=2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其

⎪

⎪2x +2x +3x =6

23⎩1

解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

01201012

. 71. 求行列式D=

2101

0210

⎛0-10⎫⎛-1-20⎫ ⎪ ⎪

72. 设矩阵A= 100⎪, B = 2-10⎪, 求满足矩阵方程XA-B=2I的矩阵X.

001⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭

⎛1⎫⎛1⎫⎛2⎫⎛-2⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

73. 若向量组α1= 1⎪, α2= -1⎪, α3= 6⎪, α4= 0⎪的秩为2, 求k 的值.

1⎪ 3⎪ -k ⎪ -2k ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

23⎫⎛2⎛2⎫ ⎪ ⎪

74. 设矩阵A = 1-10⎪, b = 1⎪.

-121⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭

(1)求A -1;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b 用A 的列向量组线性表出.

75. 已知3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2, 设B=A2+2A-I,求 (1)矩阵A 的行列式及A 的秩.

(2)矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.

76．计算4阶行列式D =

2345

[1**********]8

.

⎡2-31⎤⎢⎥-1

77. 设A =⎢4-52⎥，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A .

⎢⎣5-73⎥⎦

78. 设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.

（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

四、证明题（本大题共1小题，每小题6分，共6分）

79. 已知向量组α1, α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性

无关.

80. 已知3阶矩阵B ≠O ，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解

⎧x 1+2x 2-x 3=0⎪

（1）求λ的值；（2）证明：B =0。 ⎨2x 1-x 2+λx 3=0，

⎪3x +x -x =0

3⎩12