概率论与数理统计实验教学案例设计
第１７卷第１期２０１４年１月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｎｏ．１Ｖｏｌ．１７，
，Ｊａｎ．２０１４
：／ＤＯＩ１０．３９６９．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１４．０１．０３２ｊ
概率论与数理统计实验教学案例设计
孙蕾，谷德峰
（）国防科技大学理学院，湖南长沙４１００７３
摘
要 为克服传统数学教学模式局限于理论教学的弊端而倡导实践教学，设计出一个概率论与数理统计实
验教学的案例，将线性回归分析应用于高光谱遥感图像的处理之中．
关键词 数学实验教学；概率论与数理统计；线性回归分析中图分类号 Ｏ２１１；Ｇ６４０
文献标识码 Ａ
（）文章编号 １００８１３９９２０１４０１０１０００４－－－
ＬａｂｏｒａｔｏｒＴｅａｃｈｉｎＤｅｓｉｎｆｏｒＰｒｏｂａｂｉｌｉｔａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｙｇｇｙ
，ＳＵＮＬｅｉＤｅｆｅｎ ＧＵ ｇ
（，Ｎ，ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏＣｈａｎｓｈａ４１００７３，ＰＲＣ） ｙｇｙｇ
：Ａｂｓｔｒａｃｔｏｏｖｅｒｃｏｍｅｔｈｅｄｒａｗｂａｃｋｔｈａｔｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｉｓｃｏｎｆｉｎｅｄｔｏ Ｔ ｇ
，ｉｖｅｎｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎａｎｄｔｏａｄｖｏｃａｔｅｌａｂｏｒａｔｏｒｔｅａｃｈｉｎａｌａｂｏｒａｔｏｒｔｅａｃｈｉｎｃａｓｅｉｓ ｇｇｙｇｙｇ
，ｗｒｏｂａｂｉｌｉｔｆｏｒｔｈｅｏｕｒｓｅｆｎｄｔａｔｉｓｔｉｃｓｈｉｃｈｌｉｅｓｉｎｅａｒｅｒｅｓｓｉｏｎｎａｌｓｉｓｏ ｃ ｏ ｐ ｓ ａ ｌ ｒ ａ ｔｙｐｐｇｙ ａｒｏｃｅｓｓｉｎ．ｈｅｒｓｅｃｔｒａｌｒｅｍｏｔｅｓｅｎｓｉｎｉｍａｅ ｐｇｙｐｐｇｇ
：，，Ｋｅｗｏｒｄｓｒｏｂａｂｉｌｉｔａｔｈｌａｂｏｒａｔｏｒｔｅａｃｈｉｎａｎｄｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｒｅｒｅｓｓｉｏｎｙ ｍ ｐｙｙｇｇ 传统的数学教学模式，遵照“定义→定理→推
１］
，模式组织教学［将此模式用于导→结论→应用”
本科工科数学教学，导致学生在学习中既不知道定义、定理涉及的问题如何产生，又不懂推导出的结论如何应用．所学的知识均是纸上谈兵，考完即忘．
在现代教育理念下，培养高级创性型技术人才“是教育的首要任务．支持学生参与科学研究，强化实践教学环节”已写入我国中长期教育改革和发展），规划纲要（是提高教育改革与发展的２０１０－２０２０重要方向．在本科数学公共基础课中开展实践教学，包括基于客观实际问题传授数学知识、培养数学能力、养成数学意识等教育层次．学生通过实践手段来学习、验证和理解数学，设计问题解决方案，借助计体验解决问题的过程，培养学生算机处理计算问题，
探索数学规律和培养数学从实践中学习数学知识、
能力．培养学生创新思维能力与在数学公共基础课中加强实践教学环节是分不开的．
；收稿日期：修改日期：２０１１０６２１２０１３０４０５－－－－）基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１１０１１８３
，作者简介：孙蕾（女，湖北武汉人，博士，讲师，从事小波分析１９８０－）
：及其应用研究．Ｅｍａｉｌｂａｎｂａｎｂｉｎ１９９９＠１６３．ｃｏｍｇｇｇ，谷德峰（男，辽宁东港人，博士，副教授，从事卫星１９８０－）：导航研究．ｕｄｅｆｅｎ０５＠１Ｅｍａｉｌ６３．ｃｏｍｇｇ
目前数学实践教学的目的是为了扩展知识面，将数学知识应用到实际工程背景中去．以前的数学教学中，教师多将教学重点放在定义和定理上，对数或者介绍较为抽象的学知识的应用前景泛泛而谈，
应用，导致学生听不懂，从而失去学习兴趣．为此，笔者结合近年概率论与数理统计的教学和所从事的科——将线性研课题，给出一个数学实验教学的案例—该案例所回归分析应用于高光谱遥感图像处理中．涉及的工程应用广泛，待解决的问题明确，并且完全能够用普通高校概率论与数理统计课程所学知识解决．对有能力的同学，还可以将该问题扩展到多元线性回归分析及其显著性检验等要求更高的内容，培养他们自己收集阅读资料、独立探索研究问题、设计解决方案解决问题的能力．
１ 问题的提出
数字图像是将图像的亮度和空间位置量化后在计算机上存储、处理和使用的．彩色图像每个像元由红、绿、蓝三个亮度值组成，这三个值反应了该点在红、绿、蓝三个可见光波段的强度，合成起来就能使人眼分辨不同的颜色．而高光谱图像的每个像元由几百个亮度值组成，这些值反应了更高分辨率的波
第１７卷第１期孙蕾，谷德峰：概率论与数理统计实验教学案例设计
１０１
段强度，已经超出了人眼分辨的范围．高光谱遥感图）像由高光谱成像仪（在航天、ＨｅｒｓｅｃｔｒａｌＩｍａｅｒ ｙｐｐｇ航空载体上获得．这种成像仪具有扫描成像和光谱前者实现对地物目标进行空间成像，分光两种功能．
后者完成光谱波段分割．高光谱成像仪可以在几百个、甚至上千个连续光谱波段获取目标图像．各个光组成一个高光谱图像立谱通道的数据堆叠在一起，
方体．从高光谱图像立方体的每个像元均可提取一条连续的光谱曲线，称之为光谱的“指纹效应”高光．谱遥感图像最显著的特征就是光谱分辨能力大幅提精细的光谱分辨率可以反映地物光谱的细微特高，
征．高光谱遥感图像的二维空间域描述了地物的位
２］置信息，可以确定地物在哪里［一维光谱域描述了．
线性回归分析，并检验线性回归的显著性．
２ 线性回归分析
２．１ 一元线性回归模型
设随机变量ｙ与随机变量ｘ之间存在某种相关对ｘ每一确定的值，则ｙ的数学期望μ（关系，ｘ）称为ｙ关于ｘ的回归函数，回归函数是线性的称为一
３］
，元线性回归［其模型为
２
（）ｘ＋ε，０，．１ε～Ｎ（σ）ｙ＝ａ＋ｂ
，（，…，（，）由样本（得到式（中ｘｘｘ１ｙｙｙ１，１）２，２）ｎ，ｎ）
＾而方程参数ａ，ｂ的估计为＾ａ，ｂ，
＾ａ＋ｂｘｙ＝＾
称为ｙ对ｘ的线性回归方程．
，（，…，（根据样本本（ｘｘｘｙｙｙ１，１）２，２）ｎ，ｎ）确
地物的光谱信息，根据光谱曲线可以确定地物是什这种“图谱合一”的特性使得高光谱遥感图像在么．
农业、林业、地质勘探、环境检测等各个领域得到了广泛地应用．
高光谱遥感图像各相邻波段具有相关关系，这种相关关系是指各波段光谱图像在同一空间位置的像素有相似性．由于光谱图像的每个波段图像的像是相同区域地物对各个波段光的反射强度值，素值，
相邻波段的地物反射率是相近的，由此产生了一定的相关性．此外，由于不同波段的图像所涉及的地面目标相同，它们具有相同的空间拓扑结构，因此产生了相关关系．这种相关关系是否是线性的，是否非常的强烈，都是非常引人关注的问题．利用高光谱遥感可以进行高光谱数据的降维、压缩，图像的相关性，
以及数据修复，因此分析高光谱数据相关性非常重以压缩为例，若高光谱遥感图像具有相关关系，要．
并且可以通过回归进行预测，那么，设差分信号Δｎ是离散输入信号ｙｎ和回归方程的预测值ｙ如＾ｎ之差，果ΔΔｎ的值远远小于ｙｎ，ｎ就可以用较少的比特数从而达到压缩的效果．表示，
实验采用美国喷气推进研究室（ＪｅｔＰｒｏｕｌｓｉｏｎ ｐ，ＬａｂｏｒａｔｏｒＪＰＬ）制成的机载可见红外成像光谱仪ｙ（／，ＡｉｒｂｏｒｎｅＶｉｓｉｂｌｅＩｎｆｒａｒｅｄＩｍａｉｎＳｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒ ｇｇｐ ），可获得波长范围在０．ＡＶＩＲＩＳ４～２．４５μｍ之间的２光谱分辨率可达１２４个波段的光谱图像，０ｎｍ．该数据用带符号的１６ｂｉｔ表示一个像素点．
试运用数理统计中的知识，用样本相关系数分析高光谱遥感图像ＬｕｎａｒＬａｋｅ各个相邻波段图像 的相关性大小，对第６１和６２波段的图像进行一元
其中其中解得
＾定＾使得ａ，ｂ，
ｎ
Ｑ（ａ，ｂ）＝
ｉ＝１
］ａ＋ｂｘ）ｙ－（∑［
ｉ
ｉ
２
最小，由二元函数求极值方法，令
＝０，＝０，
ａｂｘ＾＾＾ａ＝ｙｂｘｂ＝，珔－珚，
Ｌｘｘｘ珚＝∑ｘ 珔＝∑ｙｙｉ，ｉ，
ｎｉ＝１ｎｉ＝１
ｎ
ｎ
ｎ
Ｌｘｘ＝
ｎ
ｉ＝１
ｘ－ｘ珚），∑（
ｉ
２
Ｌｘｙ＝
ｉ＝１
（ｘ－ｘ．珚）珔）ｙ－ｙ∑（
ｉ
ｉ
２．２ 回归方程的显著性检验
检验线性假设
２
ｘ＋ε，０， ε～Ｎ（σ）ｙ＝ａ＋ｂ
是否合适，即检验
Ｈ０：ｂ＝０．
采用ｔ检验法来检验回归效果的显著性．
当Ｈ０为真时，应有
＾（），Ｔ＝ｘｎ－２ｘ～ｔσ
＾ｂＬｘＬｙｙｙ２＾，σ＝＝
ｎ－２ｎ－２
ｎ
Ｌｙｙ＝
ｉ＝１
珔）．ｙ－ｙ∑（
ｉ
２
对给出的显著性水平α，得Ｈ０的拒绝域为
）（｜Ｔ｜＞ｔ１－２ｎ－２．
非常接近１，说明它们具有强烈的线性相关性．对这些波段进行一元线性回归分析会取得良好的效果．
分别以第６１和６２波段的点作为横坐标和纵坐
（（６１）６２）
，）（…，标作散点图，点（ｉ＝１，２，ｎ）大致呈ｆｆｉｉ
当假设Ｈ０被拒绝时，认为回归效果是显著的．
３ 高光谱遥感图像的回归模型
首先将工程问题用数学符号表达出来．设高光
）ｊ
谱遥感图像具有Ｌ个波段，随机变量ｆ（表示第ｊ波
直线分布，如图２所示．
段的像素值，对图像进行采样，各波段具有ｎ个像素
（）ｊ…，…，用ｆ表示第ｊ波点，２，Ｌ，ｉ＝１，２，ｎ）ｊ＝１，ｉ（）ｊ
即随机变量ｆ（的观测段第ｉ个像素点的观测值，
值．为了方便以后的讨论，引入记号
ｆ
（）（ｌｋ）Ｌ＝ｆｆ
ｊ
（）ｊ
＝∑ｆｉ，ｎｉ＝１
（）ｌｉ
（ｋ）（．－ｆ－ｆ）ｆｉ
ｎ
ｎ
ｉ＝１
ｆ∑（
第ｌ波段和第ｋ波段的样本相关系数定义为
ｒ，ｌｋ
（）（ｌｋ）Ｌｆｆ
．＝
（）（）（ｌｌｋ）（ｋ）Ｌｆｆｆｆ
（）２
图２ 第６１和６２波段像素散点图
从直观上判断，这两个波段具有强烈的线性相关性．下面通过一元线性回归和显著性检验从理论上来论证其相关性．
设一元线性回归模型为
ｊ
ｆｉ
（＋１）
要分析高光谱遥感图像各相邻波段图像的相关性大…，）小，即计算样本相关系数ｒ２，Ｌ－１ｊ＝１，１（＋ｊ，ｊ，的大小．可以验证｜ｒｒ｜≤１．１｜１｜越接近１＋＋ｊ，ｊｊ，ｊ
（）（＋１）
特别当｜ｒ＝１ｆｊ和ｆｊ的线性关系越明显．１｜＋ｊ，ｊ（）（＋１）
时，ｆｊ和ｆｊ线性相关．
ｊ
＝ａｊ＋ｂｊｆεｉ＋ｉ，２
（）（）（）
对ＡＶ采用的ＩＲＩＳ数据ＬｕｎａｒＬａｋｅ进行实验， （，数据块大小为２宽×高×波段数）５６×２５６×２２４即波段数Ｌ＝２每波段具有ｎ＝２２４，５６×２５６个像），素点．根据公式
（计算结果如图１所示，其中实线２表示高光谱遥感图像各波段间的样本相关系数，虚线的纵坐标值为０．９．
…，，０，ｉ＝１，２，ｎ）εσ） （ｉ～Ｎ（
…，且ε采用最小二乘方法估计模εε１，２，ｎ相互独立．型中的未知参数得
Ｌｊｆｊ，（）ｊ＝ｆ（
）（）ｊｊＬｆｆ
（）（）１＋ｊ＾ｊ＝ｆｂｊｆｊ．－（）（＋１）
（）３
）得将第６１与第６２波段的数据代入公式（３
（１）（１）＾＾ｂ６ａ６９４４８，６７８８．＝０．＝８．
下面通过检验法检验线性回归效果的显著性．提出假设
（１）＾Ｈ０：ｂ６＝０，
当Ｈ０成立时，检验统计量
（１）＾６
（）６１）（６１）～ｔＴ＝ｆ（２５６×２５６－２．ｆ
σ
计算得
（６２）（６２）＝４Ｌ．３０５３ｅ＋００９，ｆｆ（６１）（６２）＝４Ｌ．５５０８ｅ＋００９，ｆｆ
图１ 高光谱遥感图像样本相关系数分析
２＾８．１５６４，＝８σ＝
ｎ－２
（１）＾６
６１）（６１）＝６Ｔ＝ｆ（．９８３６ｅ＋００３，ｆ
σ
从图１可以看出高光谱遥感图像ＬｕｎａｒＬａｋｅ的 大多数波段的样本相关系数ｒ而且．９大，１都比０＋ｊ，ｊ
（下转第１２２页）
１＋ｎ－２从而有
（），＝－（）（）（）！（）！ｋ！ｋ＋１ｋ＋２ｋ＋１ｋ＋２所以
ｎｋ＝１
），ｎｎｎ＞１－１＜ａ－２（ ｎ＜１＋，＜＜
ａｎ１＋ｎｎ－２－１ 故当ａ＜－２时，所给极数收敛；当ａ≥－２时，所给级数发散．
（例４２００３年第十四届北京市大学生数学竞赛
∑ｋ＝ｋ＋１ｋ＋２＋＋）
…＋－（）＝）！（）！ｎ＋１ｎ＋２
，－（）！２ｎ＋２
从而可得
∞
－＋－＋２３３４）试题）． 求和∑ｋｋ１ｋ２＋＋＋＋ｋ＝１
分析 这类极限和式的计算，往往通过构造幂级数求和或利用定积计算而得．下面我们也用简单因为的初等方法求解．
∞
∑ｋ＝２．ｋ＋１ｋ＋２＋＋ｋ＝１
＝ｋｋ＋１ｋ＋２＋＋＝ｋ＝ｋｋ＋２ｋ＋２ｋ＋１＋＋＝ｋ＝ｋｋ＋２ｋ＋１ｋ＋２
参考文献
［］费定晖．吉米多维奇数学分析习题集题解：第四册［１Ｍ］．
济南：山东科学技术出版社出版，１９９９：２２２．
［］卢兴江．高等数学竞赛教程［杭州：浙江大学出版２Ｍ］．
社，２０１０：２０９．
欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
（上接第１０２页）
若给定显著性水平α＝０．因为０１，
（５）≈ｕｔ６×２５６－２．５８，０．９９５＝２０．９９５２
），α（ｎ－２｜Ｔ｜＞ｔ１－
学实验内容适宜在二年级以后开展，学生具备了高线性代数等数学基础知识，掌握了常用的计等数学、
算机语言（如Ｃ语言）或常用数学软件（如）Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ或Ｍａｔｌａｂ．
（）数学实验教学的内容选材应遵循以下原３
则：难度适中，在工程中应用又十分广泛，复杂的工程背景可以用本科所学的知识解决．
（）年轻教师有更多机会接触到学科最新知识４
和研究动向，要鼓励年轻教员将最新的科研成果和科研心得融入课堂教学实践，吸收学生参与科研，培养学生提出问题和解决问题的能力．
参考文献
［］尚春虹．数学实验教学的探索与实践［］１Ｊ．数学教育学
（）：报，２００２，１１３６６６８．－
［］童庆禧，张兵，郑兰芬．高光谱遥感：原理、技术与应用２
［高等教育出版社，Ｍ］．北京：２００６：１２５．－
［］金治明，李永乐．概率论与数理统计［科学出３Ｍ］．北京：
版社，２００８：２５０２７０．－
因此回归效果显著．理论上的分析与直观观察的结果是一致的，高光谱遥感图像ＬｕｎａｒＬａｋｅ第６１和 ６２波段像素点具有强烈的线性相关性．
４ 思考及总结
本文给出了工科概率论与数理统计实验教学的一个案例，用线性回归来分析高光谱遥感图像的谱工程背景明确，应用意义重要，实现难度适间特征，
中，适于工科类本科概率论与数理统计的实验教学．对大学工科二年级本科生在教学中采用此案例，学生能够以小组为单位，通过计算机语言实现此案例，得到正确结果．
由此案例可得设计数学实验的一些经验．（）设计的数学实验要能够激发学生的学习热１
情，调动学习数学的积极性，在理论联系实际中体会（）具有工程背景的数到学习的乐趣、知识的价值．２