如何填,才能使积最大
78如何填，才能使乘积最大
王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)
已知m+n个数字，如何用这m+n个数字组成一个m 位数M 和一个n 位数N ，使M 与N 的乘积最大？本文予以探讨. 设M =a 1a 2⋅⋅⋅a m ，N =bb 12⋅⋅⋅b n . 其中a i 、b i 是已知的数字.
要使M 与N 的乘积最大，首先使M 与N 都尽可能地大，要M 尽可能地大，必须a 1≥a 2≥⋅⋅⋅≥a m ；要N 尽可能地大，必须b 1≥b 2≥⋅⋅⋅≥b n . 以下假设a 1≥a 2≥⋅⋅⋅≥a m ，b 1≥b 2≥⋅⋅⋅≥b n .
要使乘积MN 最大，必须a 1≥b 2.
证明(反证法) ：假设当a 1
M 'N '-MN = (b 2⨯10m -1+a 2a 3⋅⋅⋅a m ) ⨯(b 1⨯10n -1+a 1⨯10n -2+b 3⋅⋅⋅b n )
- (a 1⨯10m -1+a 2a 3⋅⋅⋅a m )(b 1⨯10n -1+b 2⨯10n -2+b 3⋅⋅⋅b n )
= b 2b 1⨯10m +n -2+b 2⨯b 3⋅⋅⋅b n ⨯10m -1+a 1⨯a 2a 3⋅⋅⋅a m ⨯10n -2
-a 1b 1⨯10m +n -2-a 1⨯b 3⋅⋅⋅b n ⨯10m -1-b 2⨯a 2a 3⋅⋅⋅a m ⨯10n -2
由于a 1
M 'N '-MN =(b 1⨯10m -a 2a 3⋅⋅⋅a m ) ⨯r ⨯10n -2+r ⨯b 2⨯b 3⋅⋅⋅b n ⨯10m -1>0，从而有M 'N '>MN ，这与乘积MN 是最大的相矛盾！这说明“假设a 1
同理：要使乘积MN 最大，必须b 1≥a 2.
依此类推有：a 1≥b 2，a 2≥b 3，a 3≥b 4，⋅⋅⋅；b 1≥a 2，b 2≥a 3，b 3≥a 4，⋅⋅⋅
结论：要使乘积MN 最大，首先使M 与N 第一高位上分别取最大的两个数字；其次使M 与N 第二高位上分别取剩下数字中最大的两个数字；再次使M 与N 第三高位上分别取剩下数字中最大的两个数字；„„
不妨设M ≥N ，那么，m ≥n .
(1)如果m =n ，所给的2n 个数字为a 1≥a 2≥⋅⋅⋅≥a 2n -1≥a 2n ，那么，当M= a 1a 4a 6⋅⋅⋅a 2n ，N=a 2a 3a 5⋅⋅⋅a 2n -1时，乘积MN 最大.
(2)当m >n 时，设m =n +r (r ≥1) ，所给的2n +r 个数字为a 1≥a 2≥⋅⋅⋅≥a 2n -1≥a 2n ≥a 2n +1≥⋅⋅⋅≥a 2n +r ，当M=a 2a 3a 5⋅⋅⋅a 2n -1a 2n +1⋅⋅⋅a 2n +r ，N=a 1a 4a 6⋅⋅⋅a 2n 时，乘积MN 最大.
(1)与(2)的原理是：两个正数a 与b (a ≥b ) 的和一定为A ，当a 与b 的差a -b 最小时，
(a +b ) 2-(a -b ) 2
a 与b 的乘积最大 (注：a ⋅b =，当a 与b 的差a -b 最小时，(a -b ) 2最4
(a +b ) 2-(a -b ) 2A 2-(a -b ) 2
=小，而 a+b=A，这时最大，即a ⋅b 最大). 44
例1：把9、8、7、6、5、4、3、2填到下面的算式中，使算式的乘积最大.
(1)□□□□×□□□□，(2) □□□□□×□□□
解：(1)9642×8753为所求. (2)87532×964为所求.
例2：把7、6、5、4、3填到下面的算式中，使算式的乘积最大.
(1) 1□□×□□□; (2) 8□□×□□□
解: 当一个乘数的最高位数字已经给定，要使这两个乘数的积最大，另一个乘数最高位上应填所给数字中最大的一个.
(1) 首先确定乘数□□□的百位数字应填7，两个乘数十位上的数字分别填6与5，个位上的数字分别填4与3.
由于1□□
(2) 首先确定乘数□□□的百位数字应填7，两个乘数十位上的数字分别填6与5，个位上的数字分别填4与3.
由于8□□>7□□，要使8□□×7□□最大，应使7□□的十位数字尽可能地大取6，那么8□□的十位数字就取5；7□□的个位数字尽可能地大取4，那么8□□的个位数字就取3. 853×764为所求.
例3：把6、5、4、3、2填到下面的算式中，使算式的乘积最大.
(1) 1□□□×7□□，(2) 8□□□□×7□
解：(1)要使乘积1□□□×7□□最大，首先考虑使乘积1□□×7□□最大.
由于1□□
所以，乘积1642×753最大.
(2) 要使乘积8□□□□×7□最大，首先考虑使乘积8□×7□最大.
由于8□>7□，所以7□的个位数字填6,8□的个位数字填5.
所以，乘积85432×76最大.
类似最大值问题的解决方法也可以解决最小值问题, 有兴趣的读者不妨一试.
本文发表于陕西师范大学主办的《中学数学教学参考 初中版》2012年第5期.