因式分解常用方法总结

因式分解常用方法总结

一、分解因式与整式乘法的关系.

因式分解的特点：它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 例： 由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式； 由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过 程正好相反.

二、分解因式常用的方法.

1、找公因式的一般步骤.

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式.

例2：993－99能被100整除吗？还能被那些数整除?

2、公式法：

(1）平方差：a2—b2=（a+b）（a—b）

1

例3：1）25－16x2; 2）9a2－4b2. 3）9（m+n）2－（m－n）2 4）2x3－8x.

（2）完全平方和：（a+b）2=a2+2ab+b2

（3）完全平方差：（a—b）2=a2—2ab+b2

三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

x分解为xx，例4、在多项式x3x2分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。常数项2分解21，

把它们用交叉线来表示： +2 x2

所以x3x2(x1)(x2)

其中qab，pab

例5：用十字相乘法分解因式：

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（1）x7x12 （2）x4x12

22

x

+1

2xpxq=x2(ab)xab(xa)(xb)可以用交叉线来表示： 同样：

xx

+a +b

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（3）x8x12 （4）x11x12

用分组分解法分解因式

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定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如abab没有公因式，又不能直接利用分式法

分解，

但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

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a2b2ab=(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 例6 把下列各式分解因式

（1）aabacbc （2）2ax10ay5bybx （3）m5mmn5n

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（4）3ax4by4ay3bx （5）14a4abb （6）2ax2ay3bx4cy4cx3by

例7 把下列各式分解因式

（1）aabacbc （2）2ax10ay5bybx （3）m5mmn5n

2

2

22

（4）3ax4by4ay3bx （5）14a4abb （6）2ax2ay3bx4cy4cx3by

例8、已知a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值。

例9、已知a，b，c为△ABC的三条边长，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状

2

2

同步测试：

1、已知x2

4xm(x5)(xn)，则m、n的值是（ ）

（A）m5,n1； （B）m5,n1； （C）m5,n1； （D）m5,n1.

2、多项式2xyx2y2

分解因式的正确结果是（ ）

（A）2xy(xy)(xy)； （B）(xy)2

； （C）(xy)2； （D）(xy)2.

3.分解因式－4x2y+2xy2－xy的结果是（）

A.－4（x2+2xy2－xy） B.－xy（－4x+2y－1）

C.－xy（4x－2y+1）

D.－xy（4x－2y）

4、若(x3)(x5)是

x2

pxq的因式，则p为（ ） （A）－15 （B）－2 （C）8 （D）2 5分解因式：

（1）x2

x6 （2）x2

5x6

x2x6 （4）x23x4

6、分解因式：

（1）、2abb2a2

9 （2）、x3＋3x2－4x－12

（3）、x2－bx－a2＋ab （4）、m－m3－mn2＋2m2n

7、已知：a=2999，b=2995，求a2

2abb2

5a5b6的值。

课后作业：

1.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ） A.2 B.4 C.2y2 D.4y2 2.若n 为正整数，（n+11）2-n2 的值总可以被k整除，则k等于（ ） A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数. 3.分解因式： （1） ； （2） ； （3） ；

x410x211 （5）x413x2y236y4 （6）、2abb2a2

9

（7）、x3＋3x2－4x－12 （8）、x2－bx－a2＋ab （9）、m－m3－mn2＋2m2n

（10）x2

3x4 （11）x3

4x2

21x

5、求证：无论x、y为何值，

4x212x9y230y35的值恒为正。

1、6 a(m-n)²-8(n-m)³ 2、5 a²-5b²-3a+3b 3、4xy²-5x²y²-9y² 4、（x²+4x）²-x²-4x-20 5、4x-x²+2x-1 6、 -9 x²+12x-4

7. x-18x²+81 8、4（a+b）²-9(a-b) ² 9 、（a-b）³-4ab(b-a) 10、9 x-4x²+4x-1

填空题：

1、4x²+4x+1=m(x-n) ²,则 m=（ ） n=（ ）

2、分解因式：a –a =

选择题

3、如果4x-3是多项式4 x²+5x+a的一个因式，那么 a等于（ ）

A -6 B 6 C -9 D 9

10 、已知x为任意实数，则多项式x-1- x²的值（ ）

A 一定为负数 B不可能为正数 C一定为正数 D可能为任意实数