平面向量选择题
一 平面向量的概念及基本运算 【考点阐述】
向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示. 【考试要求】
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
【2010年湖北卷理5文8】.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+AC=m成立,则m=B
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】由++=0知,点M为△ABC的重心,设点D为底边BC的中点,则
1211
=3AD=3·2(+)=3(+),所以有+=m,故m=3,
选B.
=b,【2010年全国Ⅱ卷理8文10】.△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB.若=a,
| a |=1,| b |=1,则=B
12213443
A.3a +3b B.3a +3b C.5a +5b D.5a +5b
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理.
ADCA
CB=2,所以D为AB的三等分【解析】因为CD平分∠ACB,由角平分线定理得DB
222121
点,且=3=3(―),所以=+=3+3=3a +3b.
【2010年陕西卷理11文12】.已知向量a=(2,―1),b=(―1,m),c=(―1,2),若(a+b)∥c,则m= . 【答案】―1
【解析】∵a+b =(1,m―1),c =(―1,2),∴由(a+b)∥c 得1×2―(―1)×(m―1)=0,所以m=―1.
x2
【2010年高考上海市理科13】.如图所示,直线x=2与双曲线Г:4―y2=1的渐近线交于
E1,E2两点,记OE1=e1,OE2=e2,任取双曲线上的点P,若=a e1+b e2(a,b∈R),则a、b满足的一个等式是 .4ab=1
【答案】4ab=1
【2010年高考上海卷文科13】.在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,它的一个焦点坐标为(,0),e1=(2,1),e2=(2,―1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点,若=a e1+b e2(a,b∈R),则a、b满足的一个等式是 4ab=1 .
1
y=±x
2,解析:因为e1=(2,1),e2=(2,―1)是渐进线方向向量,所以双曲线渐近线方程为
x2
-y2=1
又c=5,所以a=2,b=1,双曲线方程为4,=a e1+b e2=(2a+2b,a―b),(2a+2b)2∴-(a-b)2=1
4,化简得4ab=1.
二 平面向量的数量积 【考试要求】
掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
【2010年江西卷文13】.已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影是 . 【答案】1
【解析】考查向量的投影定义,b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值
【湖南卷理4】.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·AC等于D A.―16 B.―8 C.8 D.16
解析一:因为∠C=90°,所以·=0,·=(AC+CB)·AC=AC2+CB·AC=16.
解析二:在上的投影为||,所以·=||2=16.
【2010年北京卷理6】.a、b为非零向量。“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb―a)为一次函数”的B
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:f(x)=(xa+b)·(xb―a)=(a·b)x2+(|b|2―|a|2)x― a·b,如a⊥b,则有a·b=0,如果同时有|a|=| b |,则函数恒为0,不是一次函数,因此不充分,而如果f(x)为一次函数,则a·b=0,因此可得a⊥b,故该条件必要。
【2010年北京卷文4】.若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,则函数f(x)=(xa+b)(·xb―a)是A
A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数 C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数
解析:f(x)=(xa+b)·(xb―a)=(a·b)x2+(|b|2―|a|2)x― a·b,由a⊥b,则a·b=0,f(x)=(|b|2―|a|2)x,故f(x)是一次函数且是奇函数.
【2010年江西卷理13】.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2, a与b的夹角为60°,则|a―b|=
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式, 以及向量三角形法则、余弦定理等知识,如图 a=,b =,a―b=―=,
C
B
A
由余弦定理得:
【2010年重庆卷理2】.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a―b|= B A.0 B
. C. 4 D.8 解析:|2a―b|=
(2a-b)2=4a2-4a⋅b+b2==22
.
【2010年浙江卷文13】.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a―2b),则|2a+b|的值是 .
1,由题意可知a·(a―2b)=0,结合|a|=1,|b|=2,解得a·b=2,所以|2 a+b |2=4a2+4a·b
+ b 2=8+2=10,开方可知答案为,
【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。
【2010年浙江卷理16】.已知两平面向量a,b均为非零向量,且a≠b,| b |=1,a与b―a
23的夹角为120°,则| a |的取值范围是_______.(0,3]
【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力,属中档题.
【解析】如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,AC=1,设∠ACB=θ,由正弦定理得:
AB
=AC
ϕsin60︒, sin
22| a |=|AB|=3sinφ≤3,故| a |∈(0,3].
2
【2010年湖南卷文6】.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b =0,则a与b的夹角为C A.30° B. 60° C.120° D. 150°
11
【解析】(2a+b)·b =2a·b+b·b=0,所以a·b=―2|b| 2,cos﹤a,b﹥=―2,﹤a,b﹥=120°.
【2010年辽宁卷理8文8】.平面上O,A,B三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB的面积等于C
A
B
C
D
S∆OAB
解析
:
111=|a||b|sin=|a||b|a||b|
222
=
【2010年四川卷理5文6】.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|AB+|=|AB―|,则|AM|=C A.8 B.4 C. 2 D.1
解析:由2=16,得|BC|=4 ,|+|=|―|=||=4,而|+|=2||,故||=2.
【2010年天津卷文9理(填空)15】.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,
A
=D 则AC·
A
. B
.2 C
.3 D
B
D
C
=||·【解析】·||cos∠DAC=||cos∠DAC=||sin∠BAC=||sin∠B
=||sin∠B=.
【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有
点难度.
【2010年全国Ⅰ卷理11文11】.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B
的最小值为D 为两切点,那么·
A
B
C
D
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
(x>0)【解析1】如图所示:设PA=PB=x,∠APO=α,则∠APB=2α,
2242
x(x-1)x-x 2222PA∙PB=|PA|⋅|PB|cos2α=x(1-2sinα)=x+1=x+1,令PA∙PB=y,
x4-x2
y=242
x-(1+y)x-y=0,由x2是实数,所以 x+1则,即
∆=[-(1+y)]2-4⨯1⨯(-y)≥0,y2+
6y+1≥0,解得y≤
-3-或y≥-
3+.
(PA∙PB)min=-3+
故
2
θ⎫⎛
PA∙PB=(PA)(PB)cosθ= 1/tan⎪cosθ
2⎭⎝
【解析2】法一: 设∠APB=θ,0
θ⎫⎛θ⎫⎛
1-sin2⎪1-2sin2⎪
2⎭⎝2⎭⋅⎛1-2sin2θ⎫=⎝=⎪ 2⎭⎝sin2sin2
22
θ
x=sin2
法二:换元:
θ
2
,0
,
(
1-x)(1-2x)1
PA∙PB==2x+-3≥3
xx
22
x+y=1,设A(x1,y1),B(x1,-
y1),P(x0,0), 或建系:园的方程为
2PA∙PB=(x1-x0,y1)⋅(x1-x0,-y1)=x12-2x1x0+x0-y12
AO⊥PA⇒(x1,y1)⋅(x1-x0,y1)=0⇒x12-x1x0+y12=0⇒x1x0=1
222PA∙PB=x12-2x1x0+x0-y12=x12-2+x0-(
1-x12)=2x12+x0-3≥3
【2010年山东卷理12文12】.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq―np,下面说法错误的是B
A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2 【解析】若a与b共线,则有a⊙b=mq―np,故A正确;因为b⊙a =pn―qm,而 a⊙b=mq―np,所以有a⊙b≠b⊙a,故选项B错误,故选B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
【2010年重庆卷文3】.若向量a=(3,m),b=(2,―1), a·b=0,则实数m的值为D
33
A.2 B.2 C. 2 D. 6
-
【解析】a·b=6―m=0,所以m =6.
11
【2010年安徽卷理3文3】.设向量a=(1,0),b=(2,2),则下列结论中正确的是C
A.|a|=| b |
2
B.a·b=2 C.a―b与b垂直 D.a∥b
11
解析:a―b=(2,―2),(a―b)·b=0,所以a―b与b垂直.
【2010年福建卷文8】.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x = 4”是“| a |=5”的A A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由x=4得a=(4,3),所以| a |=5;反之,由| a |=5可得x=±4。
【命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识。
【2010年广东卷文5】.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件 (8a-b)·c =30,则x=
A.6 B.5 C.4 D.3 解析:8a-b =(6,3),(8a-b)·c =6×3+3x=30,故x=4.
【2010年全国Ⅰ新课标卷文2】.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于C
881616
--
A.65 B.65 C.65 D.65
a⋅b
cos=4⨯(-5)+3⨯1216
=ab=
5⨯13
解析:由已知得b=(2a+b)―2a=(―5,12),所以
65.
x22
【2010年高考福建卷理科7】.若点O和点F(―2,0)分别是双曲线a―y2=1(a>0)
的取值范围为B 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·
77
[-,+∞)[,+∞)
A
.+∞) B
.[3++∞) C.4 D.4
【解析】因为F(―2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方
x02x02x222
-y0=1(x0≥y0=-1(x0≥333程为―y2=1,设点P(x0,y0),
则有,
解得,
FP=(x0+2,y0)OP=(x0,y0)因为,,所以
O⋅ P
22
2 x0-1=4x0+2x-1
0y2)2P=x+)0(x0+x30(=F00+3x,此二次函数对应的抛物
线的对称轴为
x0=-
3
4,因
为x0≥,所以
当x0=时,·取得最小
值
4
⨯3+-
1=
3+·3
的取值范围是[3++∞),选B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
x2y2
+=13【2010年高考福建卷文科11】.若点O和点F分别为椭圆4的中心和左焦点,点P
的最大值为C 为椭圆上的任意一点,则·
A.2 B.3 C.6 D.8
x02y02x022
+=1y0=3(1-)434,【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有,解得
2FP=(x+1,y)OP=(x,y)OP⋅FP=x(x+1)+y00,00,所以000 =因为·x02x02 3(1-)+x0+3OP⋅FP=x(x+1)+4=400=,此二次函数对应的抛物线的对称轴为
22
+2+3=6
x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值4,选C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
【2010年江苏卷15】.在平面直角坐标系xOy中,点A(―1,―2),B(2,3),C(―2,―1) . (Ⅰ)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
=0,求t的值. (Ⅱ)设实数t满足(―t)·
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力.
(1)(方法一)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则
AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=AB-AC|=
故所求的两条对角线的长分别为
。
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:E为B、C的中点,E(0,1)又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为
BC=
AD=;
(2)由题设知:=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t)。
=0,得:(3+2t,5+t)⋅(-2,-1)=0, 由(AB―t)·
从而5t=-11,所以
t=-
11
5。
AB⋅OC11 2 2=-t=5 |OC|OC =tOC,AB=(3,5),或者:AB·
【2010年上海市春季高考22】.
【2010年高考福建卷文科18】. 设平顶向量am= ( m , 1), bn= ( 2 , n ),其中 m, n {1,2,3,4}.
(I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果;
(II)记“使得am(am-bn)成立的( m,n )”为事件A,求事件A发生的概率。
武山县第三高级中学 91
【2010年高考湖北卷文科20】.已知一条曲线C在y轴右边,C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。
(Ⅰ)求曲线C的方程
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都
有FA FB<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
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