解三角形几何计算
§2 三角形中的几何计算
思路方法技巧
命题方向 利用正、余弦定理求边长
[例1] 如图所示,在四边形ABCD 中,AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°, 求BC 的长.
[分析] 本题的图形是由两个三角形组成的四边形,在△ABD 中,已知两边和其中一边的对角,用余弦定理可求出BD 的长,在△BCD 中,应用正弦定理可求出BC 的长.
[说明] 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系,再利用正、余弦定理求解. 变式应用1
如图所示,在△ABC 中,
已知BC =15,AB :AC =7;8,sin B =
43
7
, 求BC 边上的高AD 的长.
[分析] 要求高AD 的长,可先求AB 的长,再在Rt △ADB 中,求出AD 的长.
人所缺乏的不是才干而是志向,不是成功的能力而是勤劳的意志。
命题方向 利用正、余弦定理求角度问题
[例2] 在△ABC 中,已知AB =
463,cos ∠ABC =6
6
,AC 边上的中线BD =5, 求sin A 的值. [分析] 要求sin A 的值,需根据“D 是AC 的中点”这个条件,取BC 的中点E ,连结DE ,则DE ∥AB ,所以∠ABE +∠BED =180°, 根据题目中的条件cos ∠ABC =
66, 进而求得cos ∠BED =-6
6
. 又由DE
12AB , 得DE =12×
4626
6=3
. 在△BDE 中,利用余弦定理可求出BE ,从而BC 可求. 再在△ABC 中,利用余弦定理可求出AC ,再利用正弦定理即可求出sin A 的值.
[说明] 运用正、余弦定理解决有关问题时,需根据需要作出辅助线构造三角形,再在三角形中运用定理求解. 变式应用2
在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c . 设a 、b 、c 满足条件b 2
+c 2
-bc =a 2
和c b =1
2
+, 求∠A 和tan B 的值.
与其用泪水悔恨昨天,不如用汗水拼搏今天
课堂巩固训练
一、选择题
1. 在△ABC 中,周长为7.5 cm,且sin A :sin B :sin C =4: 5:6, 下列结论: 7. 若
8. 在△ABC 中,若AB =5,AC =5且cos C =a b c
==,则△ABC 的形状为 . sin A sin B sin C
9
, 则BC = . ①a :b :c=4:5:6 ②a :b :c=2:5:6
③a=2 cm,b=2.5 cm,c=3 cm ④A :B :C=4:5:6
其中成立的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2. 已知△ABC 周长为20,面积为10,A =60°,则BC 边长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3. 在△ABC 中,已知B =45°, c =22, b =
43
3
, 则A 的值是 ( ) A.15° B.75°
C.105° D.75°或15° 4. 在△ABC 中,A =
3, AB =2,S 3△ABC =2
, 则BC 的长为( ) A. 7 B.7 C. 3 D.3
5. 已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是( ) A. (8,10) B.(22,) C. (22,10) D. (,8) 二、填空题
6. 在△ABC 中,a =23, b =6, A =45°,则边c = .
人所缺乏的不是才干而是志向,不是成功的能力而是勤劳的意志。
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与其用泪水悔恨昨天,不如用汗水拼搏今天