2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
2
3．
（5分）设向量，满足|+|=
，|﹣|=，则•=（ ）
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75
，连续两天为优良的概率是0.6，已
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） 7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
210．（5分）设F为抛物线C：y=3x
的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，
N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x0+[f（x0）]＜m，则m的取值范围是（ ）
222
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
10713．（5分）（x+a）的展开式中，x的系数为15，则a= _________ ．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为
15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．
16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x+y=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 _________ ．
22
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：++…+＜．
18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD
的体积．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
20．（12分）设F1，F2分别是C：
MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
21．（12分）已知函数f（x）=e﹣e﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
x﹣x+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB． 2
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=
六、解答题（共1小题，满分0分）
24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
2
3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（ ）
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
10．（5分）设F为抛物线C：y=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB
2
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与
12．（5分）设函数f（x）=
sin
，若存在f（x）的极值点x0满足x0+[f（x0）]＜m，则m的取值范围是（ ）
2
2
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5分）（x+a）的展开式中，x的系数为15，则a=
10
7
．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．
15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 （﹣1，3）
．
16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x+y=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 [﹣1，1] ． 22
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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1． （Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：++…+＜．
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18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．
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（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
20．（12分）设F1，F2分别是C：MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线
21．（12分）已知函数f（x）=e﹣e﹣2x． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
x﹣x
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】 22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O
相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；
2
（Ⅱ）AD•DE=2PB．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，
]．
（Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．
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六、解答题（共1小题，满分0分） 24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
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参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；maths；静定禅心；qiss；sllwyn；刘长柏；任老师；sxs123；尹伟云（排名不分先后）
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2014年6月23日
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