高中立体几何新课教案

第1章 立体几何初步

§1.1.1 空间几何体得结构

重难点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征；柱、锥、台、

球的结构特征的概括．

考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生

活中简单物体的结构．

棱柱的结构特点：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共

边的都互相平行，由这些面说围成的几何体叫做棱柱。

棱锥的结构特点：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所

围成的几何体叫做棱锥。

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱

体。

圆锥，棱台，圆台

经典例题：如图, 长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm ，一只蚂

蚁从A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．

当堂练习：

1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（ ）

A ． 六棱锥 B ． 六棱台 C ． 六棱柱 D ． 非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体

2下列说法中，正确的是（ ）

A ． 棱柱的侧面可以是三角形 B ． 由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的

展开图

C ． 正方体的各条棱都相等 D ．棱柱的各条棱都相等

3．一个骰子由1~6六个数字组成, 请你根据图中三种状态所显示的数字, 推出“？”处的数字

是（ ）

A ． 6 B ． 3 C ． 1 D ． 2

4．有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是（ ）

A ．棱柱 B ． 棱锥 C ． 棱台 D ．可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱

柱或棱锥

5．构成多面体的面最少是（ ）

A ．三个 B ． 四个 C ． 五个 D ． 六个

6． 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（ ）

A ． 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台

B ． 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台

C ． 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台

D ． 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台

7． 甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形, 其余

各面都是三角形的几何体是棱锥”. 这两种说法（ ）

A ．甲正确乙不正确 B ．甲不正确乙正确 C ．甲正确乙正确 D ．不正确乙不正确

8．圆锥的侧面展开图是（ ）

A ．三角形 B ． 长方形 C ． D ．形

9．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（ ）

A ．圆锥 B ．圆柱 C ．圆台 D ．上均不正确

10．下列说法中正确的是（ ）

A ．半圆可以分割成若干个扇形 B ．面是八边形的棱柱共有8个面

C ．直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台D ．截面是圆的几何体，不是圆柱，

就是圆锥

11．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（ ）

A ．圆锥 B ．圆柱 C ． 球体 D ． 以上都可能

12．A 、B 为球面上相异两点, 则通过A 、B 可作球的大圆有（ ）

A ．一个 B ．无穷多个 C ．零个 D ．一个或无穷多个

13．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是

（ ）

A ． B ． C ． D ．

14．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________， 另一个

是 ．

15. 如右图, 四面体P-ABC 中, PA=PB=PC=2, ∠APB=∠BPC=∠APC=300. 一只蚂蚁

从A 点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A 点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．

16．如右图将直角梯形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的

几何体是由简单几何体是___________________．

17．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的

侧面到相对顶点G 的最短距离是_______________．

18．只有3个面的几何体能构成多面体吗？4面体的棱台吗？棱台至少几个面．

19．棱柱的特点是：(1)两个底面是全等的多边形，(2)多边形的对应边互相平行，(3)棱柱的

侧面都是平行四边形．

反过来，若一个几何体，具备上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定

义吗？

20．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？

21．(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂

直于底边的腰所在直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围

成的几何体，三个图形之间的什么联系？

(2)一个含有300的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以底边上的

高所在直线为轴旋转1800得到什么几何体？旋转3600又如何？

§1.1.2 空间几何体的三视图和直观图

重难点：理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视

图并能根据三视图判断空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积

公式的推理过程．

三视图包含正视图，测试图和俯视图。

考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视

图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；

②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形

的不同表示形式；

③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格

要求）；

④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．

经典例题：右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：

（1）这个几何体是什么体？

（2）如果面A 在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？

（3）如果面F 在前面，从左面看是面B ，那么哪一个面会在上面？

（4）从右边看是面C ，面D 在后面，那么哪一个面会在上面？

当堂练习：

1．下列投影是中心投影的是（ ）

A ． 三视图 B ． 人的视觉 C ． 斜二测画法 D ．人在中午太阳光下的投影

2．下列投影是平行投影的是（ ）

A ． 俯视图 B ． 路灯底下一个变长的身影

C ． 将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上 D ． 以一只白炽灯为光源的皮影

3．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（ ）

A ． 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 球体

4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（ ）

A ． 球和圆柱 B ． 圆柱和圆锥 C ． 正方体的圆柱 D ． 球和正方体

5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（ ）

A ． 四边形 B ． 三角形 C ． 圆 D ．椭圆

6．如果用

表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那

么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（ ）

A ． B ． C ． D ．

7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ ）

A ．平行且相等 B ． 平行但不相等 C ．相等但不平行 D ． 既不平行也不相等

8．下列说法中正确的是（ ）

A ． 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B ． 梯形的直观图可能是平

行四边形 C ． 矩形的直观图可能是梯形 D ． 正方形的直观图可能是平行四边形

9．如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（ ）

A ． 直角梯形 B ．等腰梯形 C ． 不可能是梯形 D ．平行四边形

10．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）

2

A ． 3 B ． 2 C ． 6 D ．. 32

11．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积是原三角形面积的

（ ）

12

A ．2倍 B ．2倍 C ．2倍 D ．2倍

12．如右图，直观图所表示的平面图形是（ ）

A ． 正三角形 B ． 锐角三角形 C ． 钝角三角形 D ． 直角三角形

13．如右图，用斜二测画法作∆ABC 水平放置的直观图形得∆A1B1C1，其中A1B1=B1C1，

A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在∆ABC 中，下列四个结论中正确的是（ ）

A ．AB=BC=AC B ． AD ⊥BC C ． AC>AD>AB>BC

D ． AC>AD>AB=BC

14．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________，

俯视图与左视图的宽度应_________．

15．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有

___________________(写出两个几何体即可) ．

16．一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四

边形的面积是________________．

17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a , 那么原图多边形面积是_____________．

18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块

的个数，请画出它的主视图和左视图．

19．画出如图的三视图(单位:mm)．

20．已知斜二测画法得得的直观图∆A/B/C/是正三角形, 画出原三角形的图形．

21．如下图, 如果把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如何可以找到坐标为(

的点P 在直观图中的位置

P/ ?

a , b )

§1.1.3柱、锥、台、球的表面积和体积

考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些

简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用．

重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和

体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用．

（r '+r+r'l +rl ）台的表面积公式：S =π

1V =h (s s ') 3棱台的和圆台的体积公式：

经典例题：在三棱柱ABC —DEF 中，已知AD 到面BCFE 的距离为h ，平行四边形BCFE

的面积为S ．

求：三棱柱的体积V ．

当堂练习：

1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C1，

绳子的最短长度是（ ）

A

B

C

D

2．若球的半径为R ，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ）

A ．8R2 B ． 9R2 C ．10R2 D ．12R2

3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最

短距离是（ ）

222 A ． 10cm B ． 52cm C ． 5+1cm D

4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ）

A ．2倍 B ． 4倍 C ． 8倍 D ．16倍

5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）

43

A ．1倍 B ．2倍 C ．15倍 D ．14倍

6．正方体的全面积是a2, 它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）

πa 2πa 2

A ．3 B ．2 C ． D ．

7．两个球的表面积之差为48π, 它们的大圆周长之和为12π, 这两个球的半径之差为（ ）

A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 1

8．已知正方体的棱长为a ，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余

部分的体积是（ ）

12511

A ．2a3 B ．3a3 C ．6a3 D ．12a3

9. 正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱

锥，使B ，C ，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ）

1152

A ．8 B ．24 C ．24 D ．48

10. 棱锥V-ABC 的中截面是∆A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC 的体积之比

是（ ）

A ．1：2 B ． 1：4 C ．1：6 D ．1：8

11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ）

A ．1：32 B ．1：24 C ．1：64 D ． 1：256

12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ）

A ．2：3 B ．4：9 C

D

13．棱长为a 的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为

（ ）

πa 3A ． 4πa 3 B ． 4 C

．3a 3 D

．4a 3

14．半径为R 的球的外切圆柱的表面积是______________．

15．E 是边长为2的正方形ABCD 边AD 的中点，将图形沿EB 、EC 折成三棱锥A-BCE （A ，

D 重合）， 则此三棱锥的体积为____________．

16. 直三棱柱ABC -A 'B 'C '的体积是V ，D 、E 分别在A A '、B B '上，线段DE 经过矩形

AB B 'A '的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是________________．

17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋

转一周, 所得旋转体的体积是________________．

18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接

圆柱的全面积有最大值? 最大值是多少?

19．A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC 与球心

O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．

20．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的

全面积S 和体积V ．

21．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a 的正方体， E 、F 分别为棱AA1与CC1的中点，求

四棱锥A1-EBFD1的体积．

第1章 立体几何初步

§1.2点、线、面之间的位置关系

考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和

定理．

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．

◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关

性质与判定．

理解以下判定定理．

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．

理解以下性质定理，并能够证明．

◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就

和交线平行．

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．

◆垂直于同一个平面的两条直线平行．

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

§1.2.1 平面的基本性质

重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图

形语言及符号语言．

经典例题： 如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面.

当堂练习：

1．下面给出四个命题： ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③

一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是

（ ）

A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3

2．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作

（ ）

A ．N ∈a ∈α B ．N ∈a ⊂α C ．N ⊂a ⊂α D ．N ⊂a ∈α

3． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）

A ．0 B ．1 C ．1或4 D ． 无法确定

4． 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）

A ． 四点中必有三点共线 B ． 四点中必有三点不共线

C ．AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行 D ． 直线AB 与CD 必相交

5． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）

A ． 4或6或7个部分 B ． 4或6或7或8个部分 C ． 4或7或8个部分 D ． 6或7

或8个部分

6．下列说法正确的是（ ）

①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点

在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB ⊂α, 则线段AB 延长线上的任何一

点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这

个平面内.

A ． ①②③ B ． ②③④ C ． ③④ D ． ②③

7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）

A ． 1 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．1或 4

8．如果a ⊂α, b ⊂α, ⋂a =A , ⋂b =B , 那么下列关系成立的是（ ）

A ． ⊂α B ． ∉α C ． ⋂α=A D ． ⋂α=B

9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（ ）

A ．7个 B ．6个 C ． 5个 D ．4个

10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ）

A ．两个公共点 B ．三个公共点 C ．四个公共点 D ．两条平行直线

11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（ ）

A ． 1或3个 B ．1或4个 C ．1个、3个或4个 D ． 1个、2个或

4个

12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）

A ．1个 B ．1个或2个 C ．1个或3个 D ．3个

13．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ⋂GH=P，

则点P （ ）

A ．一定在直线BD 上 B ．一定在直线AC 上 C ．在直线AC 或BD 上 D ．不在直线AC 上

也不在直线BD 上

14．设平面α与平面β交于直线 , 直线a ⊂α, 直线b ⊂β, a ⋂b =M , 则M_______ ．

⊂β15．直线AB 、AD ⊂α，直线CB 、CD ，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，

若直线HE ⋂直线FG=M，则点M 必在直线___________上．

16．如图, 在棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 、N 分别

为AA1、C1D1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A1B1交于

点P ，则线段PB1的长为_______________．

17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D 、

C1的平面交于点M ，则BM ：MD1=________________． (16题) (17题)

18．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于

点O ．

求证：B 、D 、O 三点共线．

19．证明梯形是平面图形．

20．已知: 直线a ||b ||c , 且直线 与a, b, c都相交． 求证: 直线a , b , c , 共面．

21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C 交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位

置．

§1.2.2 空间两直线的位置关系

重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理．

空间直线位置关系的分类：从是否共面的角度看，可分为两类，在同一平面内，相交直线和

平行直线，不同在任何一个平面内，异面直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

两条异面直线所成角的定义

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

经典例题：如图，直线a,b 是异面直线，A 、B 、C 为直线a 上三点,D 、E 、F 是直线b 上三

点，A 、B 、

C 、D 、E 分别为AD 、DB 、BE 、EC 、CF ' ' ' ' ' 求证：（1）∠A B C =∠C D E ；

（2）A 、B 、C 、D 、E 共面．

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

当堂练习：

1．若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是（ ）

A ．相交、平行或异面 B ．相交或平行 C ．异面 D ．平行或异面

2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）

A ．异面 B ． 相交 C ．平行 D ．异面或相交

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ ）

A ．3条 B ． 4条 C ． 6条 D ． 8条

4．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）

A ． 一定是异面直线 B ．一定是相交直线

C ． 不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线

5．下面命题中，正确结论有（ ）

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．

A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ．4个

6．下列命题中正确命题的个数是（ ）

两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行；

平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；

过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE, 则∠BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角;

④ 四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.

A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3

7．已知异面直线a,b 分别在α, β内，面α β=c，则直线c （ ）

A ．一定与a,b 中的两条都相交 B ．至少与a,b 中的一条都相交

C ．至多与a,b 中的一条都相交 D ．至少与a,b 中的一条都平行

8．两条异面直线所成的角指的是（ ）

①两条相交直线所成的角; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐角或直角; ④ 两条直线既不平行又不相交, 无法成角．

A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

9．空间四边形ABCD 中, AB、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R , 且PQ=2 , QR=, PR=3 ,那么异面直线AC 和BD 所成的角是（ ）

A ． 900 B ． 600 C ． 450 D ．300

10．直线a 与直线b 、c 所成的角都相等, 则b 、c 的位置关系是（ ）

A ．平行 B ．相交 C ． 异面 D ． 以上都可能

11．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 的长分别为6和4，它们所成的角为900，则四边形两组对边中点的距离等于（ ）

A ．

B ． C ． 5 D ． 以上都不对

12．如图，ABCD —A1B1C1D1是正方体，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是所在棱的中点， 则下列结论正确的是（ ） A ．GH 和MN 是平行直线；GH 和EF 是相交直线 A B ．GH 和MN 是平行直线；MN 和EF 是相交直线

C ．GH 和MN 是相交直线；GH 和EF 是异面直线 D ．GH 和EF 是异面直线；MN 和EF 也是异面直线 13．点A 是等边三角形BCD 所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a, E、F 分别在AB 、CD 上，

AE CF ==λ(λ>0) EB FD 且，设f (λ) =αλ+βλ，αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 1所成的角，则（ ）

f (λ) 在(0, +∞) 上是增函数 B ． f (λ) 在(0, +∞) 上是增函数

C ． f (λ) 在(0, 1) 上是增函数，在(1, +∞) 上是减函数 D ． f (λ) 在(0, +∞) 上是常数

14．直线a 、b 不在平面α内，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是_______________________．

15．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH 的形状是___________________．

16．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=

, BD=2, AC=2, 且AD ⊥BC , 则异面直线AC 和BD 所成的角为__________________．

17．已知a ,b是一对异面直线，且a ,b成700角, 则在过P 点的直线中与a ,b所成的角都为700的直线有____________条．

18．已知AC 的长为定值，D ∉平面ABC ，点M 、N 分别是∆DAB 和∆DBC 的重心． 求证: 无论B 、D 如何变换位置, 线段MN 的长必为定值．

19．M 、N 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，(1)求MN 与AD 所成的角；(2)求MN 与CD 1所成的角．

20．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm,BD=14cm，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN=7cm ，

求异面直线AC 与BD 所成的角．

21．在共点O 的三条不共面直线a 、b 、c 上，在点O 的同侧分别取点A 的A1、B 的B1、C

OA 1OB 1OA 1OC 1=, =OA OB OA OC . 和C1，使得

求证: ∆ABC ∽∆A1B1C1 ．

§1.2.3 直线与平面的位置关系

重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．

直线和平面平行的判定：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

利用定义：如果直线和平面没有交点，说明直线和平面平行。

经典例题：直角∆ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC.

⑴求证：点S 与斜边中点D 的 连线SD ⊥面ABC ；

⑵若直角边BA=BC，求证：BD ⊥面SAC ．

当堂练习：

1．下面命题正确的是 （ ）

A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点

B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点

C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交

D ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行

2．直线b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b||α的是（ ）

A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交

C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交

3．下列命题正确的个数是（ ）

①若直线 上有无数个点不在平面α内, 则 ||α; ②若直线 与平面α平行, 则 与平面α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面α平行, 则 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

A ．0个 B ． 1个 C ． 2个 D ．3个

4．下无命题中正确的是（ ）

①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行.

A ． ① B ． ③ C ． ①③ D ． ①②③

5．直线a,b 是异面直线，A 是不在a,b 上的点，则下列结论成立的是（ ）

A ． 过A 有且只有一个平面平行于a ，b B ． 过A 至少有一个平面平行于a ，b

C ． 过A 有无数个平面平行于a ，b D ． 过A 且平行于a ，b 的平面可能不存在

6． 直线a,b 是异面直线，则下列结论成立的是（ ）

A ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一个平面与a ，b 平行

B ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 相交

C ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 都平行

D ． 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行

7．下面条件中, 能判定直线 ⊥平面α的一个是（ ）

A ． 与平面α内的两条直线垂直 B ． 与平面α内的无数条直线垂直

C ． 与平面α内的某一条直线垂直 D ． 与平面α内的任意一条直线垂直

8．空间四边形ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则AB 与CD 所成的角为（ ）

A ． 300 B ． 450 C ． 600 D ． 900

9．如果直线 与平面α不垂直, 那么在平面α内（ ）

A ． 不存在与 垂直的直线 B ． 存在一条与 垂直的直线

C ． 存在无数条与 垂直的直线 D ． 任意一条都与 垂直

10．定点P 不在∆ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使∆ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有（ ）

A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个

11．∆ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（ ）

A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个

12．下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；②若一条直

线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅当一条直线和平面

内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是（ ）

A ．0 B ． 1 C ． 2 D ． 3

13．如图，在正方形SG1G2G3中，E ，F 分别是G1G2，G2G3的中点，D 是EF 的G 1中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合

于点G ，这样，下列五个结论：（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF. 正确的是（ ）

A ．（1）和（3） B ．（2）和（5）

C ．（1）和（4） D ．（2）和（4）

14．若直线a 与平面α内的无数条直线平行, 则a 与α的关系为_____________．

AM 3F E G 2

15．在空间四边形ABCD 中, M ∈AB , N ∈AD , 若MB =AN

ND , 则MN 与平面BDC 的位置关

系是__________________．

16．∆ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2cm 、3cm 、4cm ,且它们在平面α的同一侧, 则∆ABC 的重心到平面α的距离为________________．

17．若空间一点P 到两两垂直的射线OA 、OB 、OC 的距离分别为a 、b 、c ，则OP 的值为______________．

18．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是∆ABC 和∆ACD 的重心， 求证：（1）BD||平面CMN ；（2）MN||平面ABD ．

N

B D E F

19．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形， A

(1)求证：CD||平面EFGH ；

E (2)求异面直线AB ，CD 所成的角．

D B

20．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN：NB=CP：PD.

求证：（1）AC||平面MNP ，BD||平面MNP ； （2）平面MNP 与平面ACD A ||AC．

E M

D B

21． 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B1H ⊥D1O ，H 为垂足． 求证：B1H ⊥平面AD1C ．

A

§1.2.4 平面与平面的位置关系 A 重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面

的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．

平面与平面平行和相交

平面与平面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这个两个平面平行

平面与平面平行的其他性质：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。夹在两个平行平面间的平行线段相等。经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行。两条直线被三个平面所截，截得的对应线段成比例。

经典例题：如图, 在四面体S-ABC 中, SA⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC, 且分别交AC 、SC 于D 、E. 又SA ＝AB,SB ＝BC. 求以BD 为棱, 以BDE 与BDC 为面的二面角的度数．

1

当堂练习：

1．下列命题中正确的命题是（ ）

①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行;

③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行.

A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和③和④

2． 设直线 ,m, 平面α, β, 下列条件能得出α||β的是（ ）

A ． ⊂α, m ⊂α, 且 ||β, m ||β B ． ⊂α, m ⊂α, 且 ||m

C ． ⊥α, m ⊥β, 且 ||m D ． ||α, m ||β, 且 ||m

3． 命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面． 其中假命题的个数为（ ）

A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．已知a,b 是异面直线，且a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的关系是（ ）

A ． 相交 B ． 重合 C ． 平行 D ． 不能确定

5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（ ）

A ． ①、② B ． ②、④ C ． ①、③ D ． ②、③

6． 设平面α||β，A ∈α, B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在α, β内运动时，那么所有的动点C （ ）

A ． 不共面

B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面

C ． 当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D ． 不论A 、B 如何移动，都共面

7．α, β是两个相交平面，a ⊂α, b ⊂β,a 与b 之间的距离为d1，α与β之间的距离为d2，则（ ）

A ．d1=d2 B ．d1>d2 C ．d1

8．下列命题正确的是（ ）

A ． 过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的

B ． 过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的

C ． 过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的

D ． 过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的

9．对于直线m 、n 和平面α、β, 下列能判断α⊥β的一个条件是（ ）

A ．m ⊥n , m ||α, n ||β B ．m ⊥n , α⋂β=m , n ⊂α

C ．m ||n , n ⊥β, m ⊂α D ．m ||n , m ⊥α, n ⊥β

10．已知直线l ⊥平面α, 直线m ⊂平面β, 有下面四个命题: ①α//β⇒l ⊥m

②α⊥β⇒l //m ③l //m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α//β其中正确的两个命题是（ ）

A ．①与② B ．③与④ C ．②与④ D ．①与③

11．设α- -β是直二面角，直线a ⊂α, b ⊂β, 且a 不与 垂直，b 不与 垂直，则（ ）

A ． a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ． a 与b 可能垂直也可能平行

C ． a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ． a 与b 不可能垂直，也不可能平行

=β∩γ, //α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有12．如果直线 、m 与平面α、β、γ满足：（ ）

A ．α⊥γ且 ⊥m B ．α⊥γ且m ∥β C ． m ∥β且 ⊥m D ．α∥β且α⊥γ

13．如图, 正方体ABCD —A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1上运动，并且总是保持AP ⊥BD1，则动点P 的轨迹是（ ）

A A ．线段B1C B ．线段BC1

C ．BB1中点与CC1中点连成的线段

D ．BC 中点与B1C1中点连成的线段

114．平面α||平面β, ∆ABC 和∆A/B/C/分别在平面α和平面β内, 若对应顶点的连线共点,

则这两个三角形_______________．

15．夹在两个平行平面间的两条线段AB 、CD 交于点O ，已知AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO 、DO 的长分别为_________________．

16．把直角三角形ABC 沿斜边上的高CD 折成直二面角A-CD-B 后, 互相垂直的平面有______对．

17．α, β, γ是两两垂直的三个平面, 它们交于点O, 空间一点P 到平面α, β, γ的距离分别是2cm , 3cm , 6cm , 则点P 到点O 的距离为__________________．

18．已知a 和b 是两条异面直线，求证过a 而平行于b 的平面α必与过b 而平行于a 的平面β平行．

A

α, β19． 如图，平面α||β，线段AB 分别交于M 、N ，线段AD 分别交α, β于C 、D ，线段BF 分别交α, βF C

于F 、E ，若AM=9，MN=11，NB=15，

S ∆FMC =78．求

∆END 的面积．

20．如图,AB 是圆O 的直径,PA 垂直于圆O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点．

求证:平面PAC 垂直于平面PBC ．

21．如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直．

§1.3. 直线、平面垂直的判定及其性质

知识点一1. 直线和平面垂直定义

如果直线和平面. 直线叫平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面

的垂线；平面互相垂直，记作叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.

2. 直线和平面垂直的判定定理

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：

特征：线线垂直线面垂直

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线. 过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

知识点三、二面角

1. 二面角定义

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法：棱为可

在、面分别为的二面角记作二面角. 有时为了方便，也，将这个二面角记作二面

角

或. 内(棱以外的半平面部分) 分别取

点. 如果棱记作，那么这个二面角记作二面角

2. 二面角的平面角

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.

知识点四、平面与平面垂直的定义与判定

1. 平面与平面垂直定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.

表示方法：平面与垂直，记作.

2. 平面与平面垂直的判定定理

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

符号语言：

图形语言：

特征：线面垂直

面面垂直

知识点五、直线与平面垂直的性质

1. 基本性质

一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：

图形语言：

2. 性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.

符号语言：

图形语言：

知识点六、平面与平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：

图形语言：

【例题解析】

2．如图所示，已知Rt △ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC，点D 为斜边AC 的中点.

(1)求证：SD ⊥平面ABC ；

(2)若AB=BC，求证：BD ⊥平面SAC.

3．如图所示，已知∠BOC 在平面

内，OA 是平面

的斜线，且∠AOB=∠

AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=

，求OA 和平面所成的角.

4．如图所示，在四面体ABCD 中，△ABD 、△ACD 、△BCD 、△ABC

都全等，且

，

，求以BC 为棱，以面BCD 和面BCA 为面的二面角大小.

5．在四面体ABCD 中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示. 求证：平面ABD ⊥平面BCD.

21

6．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． (1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．

基础达标 1. 平面 A.

2. 已知直线a 、b 和平面

，下列推论错误的是( ).

外的一条直线与 B.

内的两条平行直线垂直，那么( ).

相交 D. 与

C. 与的位置关系不确定

A. B.

C.

D.

，则有( ).

D.

3. 若直线a ⊥直线b ，且a ⊥平面 A.

B.

C. 或

4. 若P 是平面外一点，则下列命题正确的是( ). A. 过P 只能作一条直线与平面相交 B. 过P 可作无数条直线与平面垂直 C. 过P 只能作一条直线与平面平行 D. 过P 可作无数条直线与平面平行

5. 设是直二面角，直线，直线，且a 不垂直于，b 不垂直于，

那么( ).

A.a 与b 可能垂直，但不能平行 B.a 与b 可能垂直，也可能平行

22

C.a 与b 不可能垂直，但可能平行 D.a 与b 不可能平行，也不能垂直 6. 设

、

为两个不同的平面，、m 为两条不同的直线，且

，

有如下两

个命题：①若

，则

；②若

，则

届那么( ).

A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题

7. 关于直线m 、n 与平面 ①若 ③若

且且

与，有下列四个命题：

且且

，则

；

，则m ∥n ；②若，则

；④若

，则m ∥n.

其中真命题的序号是( ).

A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③

8. 已知直线m ⊥平面 ①若则

.

A. ③④ B. ①③ C. ②④ D. ①② 9. 下面四个命题：

①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；

②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；

内不共线的三点到平面

的距离相等，则

；

，则

，直线；②若

，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ). ，则m ∥n ；③若m ∥n ，则

；④若

，

③平面

④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题 的个数是( ).

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

10. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面 ①若

，

，则

；②若

、，

、，给出下列三个命题：

，则

；③若

，

23

则.

其中正确的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

11.

已知直线⊥平面

；

③

；④

.

，直线

平面

，有四个命题：①

；②

其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)

12. 长方体

中，MN 在平面

内，MN ⊥BC 于M ，则MN 与

AB 的位置关系是_______.

13. 如图所示，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC，点D 为斜边AC 的中点. (1)求证：SD ⊥平面ABC ；

(2)若AB=BC.求证：BD ⊥面SAC.

24