高考数学-三角函数知识点
高考复习—三角函数
一、基础知识
定义1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制:把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数:在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为(x,y ),到原点的距离为r, 则正弦函数sin α=,余弦函数cos α=,正切函数tan α=,余切函数cot α=,
定理1 同角三角函数的基本关系式,
倒数关系:tan α=;
商数关系:tan α=;
乘积关系:tan α×cos α=sinα,cot α×sin α=cosα;
平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα;
(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;
(Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα;
(Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα。
定理3 正弦函数的性质:根据图象可得y=sinx(x ∈R )的性质如下。
单调区间:在区间上为增函数,在区间上为减
函数,最小正周期为2. 奇函数.
有界性:当且仅当x=2kx+时,y 取最大值1,当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。
对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里 k ∈Z.
定理4 余弦函数的性质:根据图象可得y=cosx(x∈R) 的性质。
单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为
2π。奇偶性:偶函数。
对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。
有界性:当且仅当x=2kπ时,y 取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y 取最小值-1。值域为
[-1,
1]。这里k ∈Z.
定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增
函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(k π,0),(k π+,0)均为其对称 中心。
图象
定义域
值域
最值
当时,;当
时,.
当时,
;当
时,.
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数;在
上是减函数.
在上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
定理6 两角和与差的基本关系式:
cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;
tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,
sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,
cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=*sin(α+β)+sin(α-β)+,
cosαsinβ=*sin(α+β)-sin(α-β)+,
cosαcosβ=*cos(α+β)+cos(α-β)+,
sinαsinβ=-*cos(α+β)-cos(α-β)+.
定理8 倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9 半角公式:
sin=, cos=,
tan==
定理10 万能公式:
, ,
定理11 辅助角公式:如果a, b是实数且a2+b20,则取始边在x 轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β,则sin β=,cosβ=,对任意的角α.
asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12 正弦定理:在任意△ABC 中有,其中a, b, c分别是角A ,B ,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。
定理13 余弦定理:在任意△ABC 中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c 分别是角A ,B ,C 的对边。
定理14 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(>0)
的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅) 的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。 例:正弦型函数的图象变换方法如下:
1. 先平移后伸缩
的图象
得的图象
得的图象
得的图象
得的图象.
2. 先伸缩后平移
的图象
得的图象
得的图象
得的图象得的图象.
定理15 三角方程的解集,如果a ∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n ∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k ∈Z}. 如果a ∈R ,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.
定理16 若,则sinx
反三角函数定义:函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).