2015六年级数学上册知识点总结
六年级数学上册知识点总结
(一)长方体和正方体
长方体和正方体的表面积:长方体或正方体6个面的总面积,叫做它们的表面积。 计算公式:
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2或S 表=(a ⨯b +a ⨯c +b ⨯c ) ⨯2 正方体表面积=棱长×棱长×6或S 表=a ⨯a ⨯6=6a 2
注:不足6个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸(无盖)、无盖纸盒等等。 体积(容积)单位进率换算:
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升 长方体和正方体的体积(容积):
物体所占空间的大小叫做它们的体积,容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积。 计算公式:
长方体体积公式=长×宽×高 或 V =a ⨯b ⨯h 正方体体积公式=棱长×棱长×棱长 或 V =a ⨯a ⨯a =a 3 长方体和正方体的体积=底面积×高 或 V =S 底×h
(二)分数乘法
分数与整数相乘及实际问题: 1. 分数与整数相乘:
用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。 注:【任何整数都可以看作为分母是1的分数】 2. 求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算。
3. 解题时可以根据表示几分之几的条件,确定单位1的量,想单位1的几分之几是哪个数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。 分数与分数相乘及连乘:
1. 分数与分数相乘:用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。
2. 分数连乘:通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
3. 一个数与比1小的数相乘,积小于原数;一个数与比1大的数相乘,积大于原数。
倒数的认识:
1. 乘积是1的两个数互为倒数。
2. 求一个数(不为0)的倒数,只要将这个数的分子与分母交换位置。 【整数是分母为1的分数】
3.1的倒数是1,0没有倒数。
4. 假分数的倒数都小于或等于1(或者说不大于1);真分数的倒数都大于1。
(三)分数除法
分数除法:
1. 分数除法计算法则:甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
2. 分数连除或乘除混合计算:可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】
3. 除数大于1,商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。 4. 分数除法的意义:已知一个数的几分之几是多少,求这个数?可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
注:在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少 比的认识:
1. 比的意义:比表示两个数相除的关系。
a
2. 比与分数、除法的关系:a :b =a ÷b =(b ≠0)
b
3. 比值:比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
4. 比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。 5. 最简整数比:比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了1以外没有其它公因数。
6. 化简:运用比的基本性质对比进行化简,方法:先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
注:化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】
7. 按比例分配问题:将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法来计算。
(四)解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是大
1
杯的,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
3
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。 如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装8个,大盒里装了多少个球?小盒呢?
分析:假设6个全是小盒⇒球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个(80-8)÷6=12大盒:12+8=20⇒检验 ⇒小盒:
先假设⇒再比较(与条件不符)⇒进行调整⇒得出结果⇒检验
(五)分数四则混合运算
分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。 分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:a +b =b +a 加法的结合律:(a +b ) +c =a +(b +c ) 乘法的交换律:a ⨯b =b ⨯a 乘法的结合律:(a ⨯b ) ⨯c =a ⨯(b ⨯c ) 乘法的分配律:(a +b ) ⨯c =a ⨯c +b ⨯c 稍复杂的分数乘法实际问题: 1. 甲占(是/相当于)乙的几分之几 甲=乙×几分之几 乙=甲÷几分之几 几分之几=甲÷乙;
2. 甲占(是)总量的几分之几,求乙?
乙=总量-总量×甲占的几分之几=总量×(1-甲占的几分之几) 3. 甲比乙多(增加、上升、提高)几分之几 甲=乙×(1+几分之几) 乙=甲÷(1+几分之几) 几分之几=(甲-乙)÷乙;
4. 乙比甲少(减少、下降、降低)几分之几 乙=甲×(1-几分之几) 甲=乙÷(1-几分之几)
几分之几=(甲-乙)÷甲
(六)百分数
百分数的意义及读写:
1. 百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。 2. 百分数的读写:百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。 注:百分数后面不带单位名称!(常出现在判断题中) 百分数与小数、分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题: 公式:(一个数÷另一个数)×100% 生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷产品总数×100%出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100% 发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%成活率=成活棵数÷种植总棵数×100% 出油率=油的重量÷油料重量×100% 命中率=命中次数÷总次数×100% 及格率=及格人数÷参加考试人数×100% 纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:利息=本金×利率×存期折扣问题:折扣=实际售价÷原售价×100% 列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
1.解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。 2.用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。 3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。
4.灵活运用本单元所学知识,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。
【典型例题】
例1、(列方程解答和倍问题)一根绳子长48米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的60%。甲、乙两绳各长多少米?
分析与解:乙绳长度是甲绳的60%,把甲绳长度看作单位“1”。
等量关系式:甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答:设甲绳长x米,则乙绳长60%x米。
x + 60%x = 48 1.6x = 48 x = 30
60%x = 30 × 60% = 18
答:甲绳长30米,则乙绳长18米。
检验:30 + 18 = 48(米),符合甲、乙两绳共长48米。
18 ÷ 30 = 60%,符合乙绳长度是甲绳的60%。
例2、(列方程解答差倍问题)体育馆内排球的个数是篮球的75%,篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个?
分析与解:排球的个数是篮球的75%,是把篮球个数看作单位“1”。
等量关系式:篮球 – 排球 = 6个
解答:设篮球有x个,则排球有75%x个。
x - 75%x
= 6
0.25x = 6 x = 24
75%x = 24 × 0.75 = 18
答:篮球有24个,排球有18个。 你会自己检验吗?
检验:24 - 18 = 6(个),符合篮球比排球多6个。 18 ÷ 24 = 75%,符合排球的个数是篮球的75%。
点评:在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况下设单位“1”的量为x,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量,最后根据它们的和或差列出方程。
例3、六年级男生比女生少40人,六年级女生人数相当于男生人数的140%,六年级男生有多少人? 错误解法:设:女生有x人,男生就有140%x人。 140%x - x = 40 0.4x = 40 x = 100
140%x = 100 × 1.4 = 140
分析与解:根据“六年级女生人数相当于男生人数的140%”,可以把男生人数看作单位“1”的量,设男生人数为x人,女生人数就是140%x人,再根据“六年级男生比女生少40人”,可以得出数量关系式:“女生人数 – 男生人数 = 40”,根据此数量关系式列出方程。
正确解答:设男生有x人,女生就有140%x人。 140%x - x = 40 0.4x = 40 x = 100
答:男生有100人。
点评:解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要去找分率(百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。
例4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白兔有36只,比灰兔少20%。灰兔有多少只?
分析与解:白兔比灰兔少20%,把灰兔看作单位“1”。
等量关系式:灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答:设灰兔有x只。 x - 20%x = 36
0.8x = 36 x = 45
答:灰兔有45只。
检验:45 – 45 × 20% = 36 或 (45 – 36)÷ 45 = 20%,符合题意。
例5、(列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白兔有48只,比灰兔多20%。灰兔有有多少只?
分析与解:白兔比灰兔多20%,把灰兔看作单位“1”。
等量关系式:灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答:设灰兔有x只。 x + 20%x = 48 1.2x = 48 x = 40
答:灰兔有40只。
检验:40 + 40 × 20% = 48 或 (48 – 40)÷ 40 = 20%,符合题意。
点评:和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看问题求什么,确定用什么方法计算。
例6、(难点突破)某商品如果按现价18元出售,则亏了25%,原来成本是多少元?如果想盈利25%,应按多少元出售该商品?
分析与解:不管是亏25%,还是盈利25%,单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18元亏25%,说明18元比成本少25%,即是成本的(1 - 25%)。盈利25%,说明盈利的是原来成本的25%,实际售价是原来成本的(1 + 25%)。
解答:设原来成本是x元。 x - 25%x = 18 0.75x = 18 x
= 24
24 × (1 + 25%) = 30(元)
答:原来成本是24元,应按30元出售该商品。
点评:通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。
例7、(考点透视)水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的22%,第二次运进1.5吨,两次共运进这批水果的62%,这批水果一共有多少吨?
分析与解:根据题意可以画出下面的线段图:
从图中可以看出:两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5吨,单位“1”的量是这批水果的总吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了62%x吨,第一次运进了22%x吨。
解:设这批水果一共有x吨。 62%x - 22%x = 1.5 40%x = 1.5 x = 3.75
答:这批水果一共有3.75吨。
点评:在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件变得简洁,找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1”的量之后,再去表示其他的量。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。 ①男生人数占女生人数60%。 ②男生人数比女生人数多20%。 ③女生人数比男生人数少25%。 ④加工一批零件,已完成了80%。 ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。 2、根据所给信息,说出数量间的相等关系 ①一条路,已修了全长的60% ②一种彩电,现价比原价降低10% ③松树的棵数比柏树多
3、看图列式。
4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%多1.5,求这个数。 (2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。
二、解决问题: 1、对比练习
(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨? (2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
2、一张课桌比一把椅子贵10元,如椅子单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元? 3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵?
4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元? 5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长多少米?
6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这条绳子长多少米? 7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几? ②计划种茶的公顷数是实际的百分之几? ③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几? ④计划种茶的公顷数比实际少百分之几? 8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵, ,梨树有多少棵?
① 200÷20%②200×20%③200÷(1+20%)④200÷(1-20%)⑤200×(1-20%)⑥200×(1+20%) 【试题答案】 一、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。 把女生人数看作单位“1” ②男生人数比女生人数多20%。 把女生人数看作单位“1” ③女生人数比男生人数少25%。 把男生人数看作单位“1”
④加工一批零件,已完成了80%。 把一批零件看作单位“1” ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。把去年的猪肉单价看作单位“1” 2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60% 全长 × 60% = 已修 ②一种彩电,现价比原价降低10% 原价 × 10% = 降价
原价 ×(1-10%)= 现价
③松树的棵数比柏树多 柏树 × = 松树比柏树多的棵数
柏树 ×(1+)= 松树
3、看图列式。
4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%多1.5,求这个数。 75%x – 30 × 25% = 1.5 x = 12
(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。 75%x – 25%x = 30 x = 60 二、解决问题: 1、对比练习
(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨? 解:设五月份用煤x吨。
x – 25%x = 60 x = 80
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
60 + 60 × 25% = 75(吨)
2、一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元?
解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是60%x元。
x – 60%x = 10 x = 25
25 × 60% = 15(元)或 25 – 10 = 15(元)
答:课桌的单价是25元,椅子的单价是15元。
3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵?
解:设梨树的棵树是x棵,苹果树的棵树是20%x棵。
x + 20%x = 360
x = 300
300 × 20% = 60(棵)或 360 – 300 = 60(棵)
答:梨树的棵树是300棵,苹果树的棵树是60棵。
4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元? 解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是30%x元。
x + 30%x = 78
x = 60
60 × 30% = 18(元)或 78 – 60 = 18(元)
答:课桌的单价是60元,椅子的单价是18元。
5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长多少米?
解:设这条绳子共长x米。
25%x + 35%x = 6
x = 10
答:这条绳子共长10米。
6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这条绳子长多少米?
解:设这条绳子共长x米。
35%x - 25%x = 1
x = 10
答:这条绳子共长10米。
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几? 25 ÷ 20 = 125%
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几? 20 ÷ 25 = 80%
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几? (25 – 20) ÷ 20 = 25%
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几? (25 – 20) ÷ 25 = 20%
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵, ,梨树有多少棵?
1) 200÷20% 苹果树是梨树的20%200×20% 梨树是苹果树的20%
2) 200÷(1+20%) 苹果树比梨树多20%200÷(1-20%) 苹果树比梨树少20%
3) 200×(1-20%) 梨树比苹果树少20%200×(1+20%) 梨树比苹果树多20%