空间中的平行.垂直关系

静海一中集体备课周教案

考试要求：用△符号表示考试要求的程度，△越多越重要

知识点归纳：

1、 直线和平面平行的判定定理和性质定理； 2、 平面和平面平行的判定定理和性质定理；

3、 直线和平面垂直的定义、判定定理和性质定理； 4、 面面垂直的判定和性质；

5、 线面角和二面角的平面角的求解； 典型例题

例1、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，O 为AC 与BD 的交点（如图），求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ；（3）A 1O ⊥平面BDF ；（4）平面BDF ⊥平面AA 1C 。

解析：

（1）欲证EG ∥平面BB 1D 1D ，须在平面BB 1D 1D 内找一条与EG 平行的直线，构造辅助平面BEGO ’及辅助直线BO ’，显然BO ’即是。 （2）按线线平行⇒线面平行⇒面面平行的思路，在平面B 1D 1H 内寻找B 1D 1和O ’H 两条关键的相交直线，转化为证明：B 1D 1∥平面BDF ，O ’H ∥平面BDF 。

（1）为证A 1O ⊥平面BDF ，由三垂线定理，易得BD ⊥A 1O ，再寻A 1O 垂直于平面BDF 内的

另一条直线。

猜想A 1O ⊥OF 。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A 1O +OF=A1F ⇒A 1O ⊥OF 。 （4）∵ CC1⊥平面AC

∴ CC1⊥BD 又BD ⊥AC ∴ BD⊥平面AA 1C 又BD ⊂平面BDF ∴ 平面BDF ⊥平面AA 1C

例2、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC, ∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC，M 、N 分别为PC 、PB 的中点 (Ⅰ) 求证：PB ⊥DM;

(Ⅱ) 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。

解析：（I ）因为N 是PB 的中点，PA =PB ，所以AN ⊥PB 。 因为AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ， 从而PB ⊥平面ADMN .

因为DM ⊂平面ADMN ，所以PB ⊥DM .

（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则BG //CD ，

2

2

2

所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等。 因为PB ⊥平面ADMN ，所以∠BGN 是BG 与平面ADMN 所成的角。

在Rt ∆

BGN 中，sin ∠BNG =

BN 。 =

BG 点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间

想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

空间中的平行、垂直关系

一、选择题

1、 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是

A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交、异面都有可能、 改：一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为

2、异面直线a ，b ，a ⊥b ，c 与a 成30，则c 与b 成角范围是

A、[60，90] B、[30，90] C、[60，120] D、[30，120] 3、正方体AC 1中，E 、F 分别是AB 、BB 1的中点，则A 1E 与C 1F 所成的角的余弦值是 A、

22112

B、 C、 D、

2525

（ ）

A ．

6

4

B ．

4

C ．

3

2

D ．

6 2

4、右图是正方体平面展开图，在这个正方体中:

① BM 与ED 平行；

② CN 与BE 是异面直线；

B ③ CN 与BM 成60º角；

④ DM 与BN 垂直. F

以上四个命题中，正确命题的序号是„„„„„„„„„„„„„„（ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④

1

5、在正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B —AD —C 后，BC=AB ，这时二面角B

2—AD —C 大小为

A 、60 B、90 C、45 D、120

改为：已知二面角α-l -β, 点A ∈α, AC ⊥l , C 为垂足，点B ∈β, BD ⊥l , D 为垂足，

若 AB=2，AC=BD=1，则CD=

（A ）2 （B

（C

(D) 1

6、一个山坡面与水平面成60的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB ，甲沿山坡自P 朝垂直于AB 的方向走30m ，同时乙沿水平面自Q 朝垂直于AB 的方向走30m ，P 、Q 都是AB 上的点，若PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为

A 、 20m B、m C、30m D、m

7、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 交BD 于O ，以EF 为棱将正方形折成直二面角如图，则∠BOD=

A 、135 B、120 C、150 D、908、已知直线a , b 和平面α，有以下四个命题：

①若a //α, a //b , 则b //α ②若a ⊂α，a b =A ，则a 与b 异 面③若a //b , b ⊥α, 则a ⊥α ④若a ⊥b , a ⊥α, 则b //α

其中真命题的个数为 （ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

改为：12、已知直线a 、b 、c 和平面α、β, 有下列命题：①若α//β, a //α, 则a //β；②若a ⊥b , a ⊥α, b ⊥β, 则α⊥β；③若α⊥β, a ⊥β, 则a //α；④若a //α, α⊥β, 则a ⊥β. 其中正确的命题是( ).A.①② B.①③ C.②④ D.②

二、填空题：

9、. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若过A 、C 、B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是_________。

10、若PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 是矩形，若PA =3，AB =2，BC =23，则二面角P -BD -A 的正切值为_________。

改为：在 ABC 中，AB =13, AC =12, BC =5, P 是平面ABC 外一点，

PA =PB =PC =

, 则P 到平面ABC 的距离是2

11、在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若

AC =BD =a ，且AC 与BD 所成的角为600，则四边形EFGH 的面积是_________。

12、把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为_________。

三、解答题

13、正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、AF 为折痕，折叠这个正方形，使点B 、C 、D 重合于一点P

，得到一个四

面题，如下图所示。

A D F

E C B

（1）求证：AP ⊥EF ；

A P

F

E

（2）求证：平面APE ⊥平面APF 。

改为：如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

求证：（1）PA ∥平面BDE （4分） （2）平面PAC ⊥平面BDE （6分）

14、如图：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA =90︒，棱AA 1=2，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点。

①求证：平面A 1NC ∥平面BMC 1； ②求异面直线A 1C 与C 1N 所成角的大小；③求直线A 1N 与平面ACC 1A 1所成角的大小。

15、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.

(1)求证：CD ⊥PD ;

(2)求证：EF ∥平面P AD ;

(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？

16、如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC , PA =AB , ∠ABC =60︒, ∠BCA =90︒， 点D ，E 分别在棱PB , PC 上，且DE //BC

（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A -DE -P 为直二面角？并说明理由.

17、. （本小题满分14分）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD , PD =DC , E 是PC 中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。 P

（1）证明：PA //平面EDB ；

（2）证明：PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C -PB -D 的大小。

18、已知四边形ACED 和四边形CBFE 都是矩形，且二面角

A-CE-B 是直二面角，AM 垂直CD 交CE 于M 。 （1）求证：AM ⊥BD

（2）若AD=，BC=1，AC=，求二面角M-AB-C

B

E

A

C

D

改为：(本小题满分

且DE =3 .

12分) 如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒. E 为BB 1的中点，D 点在AB 上（Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥A 1－C DE 的体积.