教学设计:集合与函数概念
第一章 集合与函数概念 章末复习课
知识概览
对点讲练
分类讨论思想在集合中的应用
分类讨论思想是高中的重要数学思想之一,分类讨论思想在与集合概念的结合问题上,主要是以集合作为一个载体,与集合中元素结合加以考查,解决此类问题关键是要深刻理解集合概念,结合集合中元素的特征解决问题.
1.由集合的互异性决定分类
【例1】 设A ={-4,2a -1,a 2},B ={9,a -5,1-a},已知A ∩B ={9},则实数a =________.
分析 由A ∩B ={9}知集合A 与B 中均含有9这个元素,从而分类讨论得到
不同的a 的值,注意集合中元素互异性的检验.
答案 -3
解析 由A ∩B ={9},得2a -1=9,或a 2=9,
解得a =5,3,-3.
当a =5时,A ={-4,9,25},B ={9,0,-4},
A ∩B ={9,-4},与A ∩B ={9}矛盾;
当a =3时,a -5=-2,1-a =-2,B 中元素重复,舍去;
当a =-3时,A ={-4,-7,9},B ={9,-8,4},满足题设.
∴a =-3.
规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用,同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用.
(2)本题在解题过程中易出现的错误:①分类讨论过于复杂;②不进行检验,导致出现增根;③分类讨论之后没有进行总结.
变式迁移1 全集S ={2,3,a 2+2a -3},A ={|2a+11|,2},∁S A ={5},求实
数a 的值.
解 因为∁S A ={5},由补集的定义知,5∈S ,但5∉A.
从而a 2+2a -3=5,解得a =2或a =-4.
当a =2时,|2a+11|=15∉S ,不符合题意;
当a =-4时,|2a+11|=3∈S. 故a =-4.
2.由空集引起的讨论
【例2】 已知集合A ={x|-2≤x ≤5},集合B ={x|p+1≤x ≤2p -1},若A ∩B =B ,求实数p 的取值范围.
解 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A ,
(1)当B =∅时,即p +1>2p-1,
故p
(2)当B ≠∅时,又B ⊆A ,借助数轴表示知
⎧p +1≤2p -1
⎨-2≤p +1
⎩2p -1≤5 ,故2≤p ≤3.
由(1)(2)得p ≤3.
规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法.如A ⊆B 即可分两类:(1)A=∅;(2)A≠∅. 而对于A ≠∅又可分两类:①A B ;②A =B. 从而使问题得到解决.需注意A =∅这种情况易被遗漏.解决含待定系数的集合问题时,常常会引起讨论,因而要注意检验是否符合全部条件,合理取舍,谨防增解. 变式迁移2 已知集合A ={x|x2-3x +2=0},集合B ={x|mx-2=0},若B ⊆A ,求由实数m 构成的集合.
解 A ={x|x2-3x +2=0}={1,2}
当m =0时,B =∅,符合B ⊆A ;
222当m ≠0时,B ={x|x=},由B ⊆A 知,=1或2. 即m =2或m =1. m m m
故m 所构成的集合为{0,1,2}.
数形结合思想在函数中的应用
数形结合是本章最重要的数学思想方法,通过画出函数的图象,使我们所要研究的问题更加清晰,有助于提高解题的速度和正确率.
【例3】 设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3) ,
(1)证明f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象;
(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;
(4)求函数的值域.
(1)证明 f(-x) =(-x) 2-2|-x|-1=x 2-2|x|-1=f(x),
即f(-x) =f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)解 当x ≥0时,
f(x)=x 2-2x -1=(x-1) 2-2,
当x
f(x)=x 2+2x -1=(x+1) 2-2,
2⎧ x -1 -2 0≤x ≤3 即f(x)=⎨2⎩ x +1 -2 -3≤x
根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图.
(3)解 函数f(x)的单调区间为
[-3,-1) ,[-1,0) ,[0,1),[1,3].
f(x)在区间[-3,-1) 和[0,1)上为减函数,
在[-1,0) ,[1,3]上为增函数.
(4)解 当x ≥0时,函数f(x)=(x-1) 2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;
当x
规律方法 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图象正确的画出.
变式迁移3 当m 为何值时,方程x 2-4|x|+5=m 有4个互不相等的实数根?
解 令f(x)=x 2-4|x|+5,
2⎧x -4x +5, x ≥0,则f(x)=⎨2⎩x +4x +5, x
那么原问题转化为探求m 为何值时,函数f(x)的图象与直线y =m 有4个交点.作出f(x)的图象,如图所示.由图象可知,当1
等价转化思想的应用
数学问题中,已知条件是结论成立的保证.但有的问题已知条件和结论之间距离比较大,难以解出.因此,如何将已知条件经过转化,逐步向所求结论靠拢,是解题过程中经常要做的工作.变更条件就是利用与原条件等价的条
件去代替,使得原条件中隐含的因素显露出来,使各种关系明朗化,从而缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之间的内在联系,以便应用数学规律、方法将问题解决.
【例4】 对任意x ∈[1,+∞) ,不等式x 2+2x -a>0恒成立.求实数a 的取值范围.
解 方法一 由已知x ∈[1,+∞) ,x 2+2x -a>0恒成立,
即a
令g(x)=x 2+2x ,x ∈[1,+∞) ,
则原问题可转化为a 小于g(x)在[1,+∞) 上的最小值.
∵g(x)=(x+1) 2-1,图象的对称轴为x =-1,
∴函数g(x)在[1,+∞) 上是增函数,
∴x =1时,g(x)取最小值g(1)=3. ∴a
即所求a 的取值范围是(-∞,3) .
方法二 当x ∈[1,+∞) 时,x 2+2x -a>0恒成立,
令f(x)=x 2+2x -a ,x ∈[1,+∞) ,
则有x ∈[1,+∞) 时,f(x)>0恒成立,
f(x)=(x+1) 2-a -1,x ∈[1,+∞) ,
∴f(x)min =f(1)=3-a ,问题转化为3-a>0,
即a
规律方法 本题关键是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,即f(x)>a恒成立⇔f(x)min >a,f(x)
变式迁移4 已知函数f(x)mx 2+mx +1的定义域为R ,求m 的取值范围. 解 f (x ) mx 2+mx +1的定义域为R ,即等价于x ∈R 时,mx 2+mx +1≥0恒成立.
当m =0时,1≥0满足要求,
⎧m >0当m ≠0时,则⎨2⎩Δ=m -4m
综上,m 的取值范围为[0,4).
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是将知识转化为能力的桥梁.在日常学习中,同学们要注意数学思想方法在解题中的运用,要增强运用数学思想方法解决问题的意识,从而迅速找到解题思想或简化解题过程.
课时作业
一、选择题
1.设集合S ={x ||x -2|>3},T ={x |a A .-3-1
答案 A
解析 ∵|x -2|>3,∴x >5或x
∴S ={x |x >5或x
又T ={x |a ⎧a +8>5,∴⎨⎩a 2.若偶函数f (x ) 在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
⎛3⎫⎛3⎫-A .f
⎛3⎫⎛3⎫C .f (2)
答案 D
解析 由f (x ) 是偶函数,
得f (2)=f (-2) ,
又f (x ) 在区间(-∞,-1]上是增函数,
3且-2
⎛3⎫则f (-2) =f (2)
3.如果奇函数f (x ) 在区间[1,5]上是减函数,且最小值为3,那么f (x ) 在区间[-5,-1]上是( )
A .增函数且最小值为3 B.增函数且最大值为3
C .减函数且最小值为-3 D.减函数且最大值为-3 答案 D
解析 当-5≤x ≤-1时1≤-x ≤5,
∴f (-x ) ≥3,即-f (x ) ≥3.
从而f (x ) ≤-3,
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,
故f (x ) 在[-5,-1]是减函数.故选D.
4.定义在区间(-∞,+∞) 的奇函数f (x ) 为增函数,偶函数g (x ) 在区间[0,+∞) 的图象与f (x ) 的图象重合,设a
①f (b ) -f (-a )>g (a ) -g (-b ) ;②f (b ) -f (-a )g (b ) -g (-a ) ;④f (a ) -f (-b )
A .①④ B.②③ C.①③ D.②④ 答案 D
解析 本题采用特值法求解.
不妨取符合题意的函数f (x ) =x 及g (x ) =|x |,进行比较或由g (x ) =⎧f x , x ≥0,⎨⎩f -x , x
f (0)=0,f (a )f (-b )>0得出.
5.已知y =f (x ) 与y =g (x ) 的图象如图所示,则函数F (x ) =f (x ) ·g (x ) 的图象可以是(
)
答案 A
解析 由图象可知函数y =f (x ) 与y =g (x ) 均为奇函数.
f (-x ) =-f (x ) ,g (-x ) =-g (x ) ,F (x ) =f (x ) ·g (x ) =[-f (-x )]·[-g (-x )]=F (-x ) .所以函数F (x ) =f (x ) ·g (x ) 为偶函数.注意到函数y =f (x ) 的图象在y 轴右侧部分先小于0后大于0,而函数y =g (x ) 在右侧部分恒大于0,满足以上条件的只有A.
二、填空题
6.设全集U ={2,3,a 2+2a -3},A ={|2a -1|,2},∁U A ={5},则实数a 的值为________.
答案 2
解析 ∵∁U A ={5},∴5∈U 且5∉A .
∴a 2+2a -3=5,解得a =2或a =-4.
当a =2时,|2a -1|=3≠5且3∈U ,
当a =-4时,|2a -1|=9≠5,但是9∉U .
故a 的值为2.
7.已知f (x ) 在R 上是奇函数,且满足f (x +4) =f (x ) ,当x ∈(0,2)时,f (x ) =2x 2,则f (7)=______.
答案 -2
解析 f (x +4) =f (x ) ,∴f (7)=f (3+4) =f (3)=f (-1+4) =f (-1) =-f (1)=-2×12=-2.
8.有下列四个命题:
|x |①函数f (x ) =y x -1的值域为{y |y ≥0}; |x -2|
③已知集合A ={-1,3},B ={x |ax -1=0,a ∈R},若A ∪B =A ,则a 的取
⎧1⎫⎪⎪⎨⎬; -1,值集合为3⎪⎪⎩⎭
④集合A ={非负实数},B ={实数},对应法则f :“求平方根”,则f 是A
到B 的映射.
写出所有正确命题的序号________.
答案 ②④
|x |解析 函数f (x ) =的定义域为(-∞,2) ∪(2,+∞) ,它关于坐标原|x -2|
点不对称,所以函数f (x ) =
正确;
函数y =x -1的定义域为{x |x ≥1},当x ≥1时,y ≥0,即命题②正确; 因为A ∪B =A ,所以B ⊆A ,若B =∅,满足B ⊆A ,这时a =0;
1若B ≠∅,由B ⊆A ,得a =-1或a =3
因此,满足题设的实数a ⎧1⎫⎪⎪⎨,即命题③不正确. -1,0,的取值集合为3⎪⎪⎩⎭|x |既不是奇函数也不是偶函数,即命题①不|x -2|
依据映射的定义知,命题④正确.
三、解答题
9.设奇函数f (x ) 是定义在(-∞,+∞) 上的增函数,若不等式f (ax +6) +f (2-x 2)
解 由f (ax +6) +f (2-x 2)
得f (ax +6)
∵f (x ) 为奇函数,∴f (ax +6)
又f (x ) 在R 上为增函数,
∴原问题等价于ax +6
即x 2-ax -8>0对x ∈[2,4]都成立.
令g (x ) =x 2-ax -8,问题又转化为:在x ∈[2,4]上,
g (x ) min ⎧2,>0⇔⎨⎩g 2 >0a a ⎧⎪2≤24,或⎨a g ⎪⎩2>0 ⎧a ,2或⎨⎩g 4 >0,
解得a
ax 2+110.设函数f (x ) =(a ,b ,c ∈N) 是奇函数,且f (1)=2,f (2)
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)试研究x
a +14a +1解 (1)由f (1)=2,得2,由f (2)
因为f (x ) 为奇函数,故f (x ) 的定义域关于原点对称.
又⎧c ⎫⎪⎪⎨(显然x |x ∈R 且x ≠-f (x ) 的定义域为b ⎪⎪⎩⎭b ≠0,否则f (x ) 为偶函数) ,所
以-0,则c =0,
于是得f (x ) =+
∴c b a b 1bx a +14a +12,, b 2b 8b -33
故a =b =1,c =0.
1(2)由(1)知f (x ) =x + x
则f (x ) 在[1,+∞) 上单调递增
由于f (x ) 是奇函数,根据奇函数的对称性,可知f (x ) 在(-∞,-1]上是增函数,所以只需讨论f (x ) 在区间(-1,0) 上的增减性即可,
当-1
1⎫x 1-x 211⎛f (x 1) -f (x 2) =x 1+-x 2-=(x 1-x 2) 1-=x x -1) . x 1x 2⎭x 1x 212x 1x 2⎝
显然x 1-x 2
∴f (x 1) -f (x 2)>0,∴f (x ) 在(-1,0) 上为减函数.
综上所述,f (x ) 在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,0) 上是减函数.