二项式定理(一)教案
二项式定理教案(一)
一、教学目标: 1.知识技能:
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广
(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理 2.过程与方法
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式 3.情感、态度、价值观
培养学生自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点
重点:用计数原理分析(ab)3的展开式得到二项式定理。
难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程
(一)提出问题:
引入:二项式定理研究的是(ab)n的展开式。如(ab)2a22abb2, 那么:
(ab)
3
=? (ab)4=? (ab)100=? 更进一步:(ab)n=?
(二)对(ab)2展开式的分析
(ab)(ab)(ab)
2
展开后其项的形式为:a2,ab,b2
考虑b,每个都不取b的情况有1种,即c20 ,则a2前的系数为c20 恰有1个取b的情况有c1种,则ab前的系数为c1 22恰有2个取b的情况有c22 种,则b2前的系数为c22
02122
ac2abc2b 所以 (ab)2a22abb2c2
122233
abc3abc3b 类似地 (ab)3a33a2b3ab2b3c30a3c3
思考:(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)=? 问题:
1).(ab)4展开后各项形式分别是什么?
a
4
a3b a2b2 ab3 b4
2).各项前的系数代表着什么?
各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b的方法种数 3).你能分析说明各项前的系数吗?
每个都不取b的情况有1种,即c40,则a4前的系数为c40 恰有1个取b的情况有c1种,则a3b前的系数为c1 44恰有2个取b的情况有c42 种,则a2b2前的系数为c42 恰有3个取b的情况有c43 种,则ab3前的系数为c43 恰有4个取b的情况有c44种,则b4前的系数为c44
[1**********]则 (ab)4c4ac4abc4abc4abc4b
推广:得二项展开式定理: 一般地,对于nN*有
(ab)cna
r
n
cna
r
0n
cna
n1
1n1
bcnacnb
n
2n2
bcna
23n3
b......
3
nr
b......cnab
n1n
右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式
cna
0r
nr
b
r
:二项展开式的通项,记作Tr1
r
n
cn,cn,cn,......,cn,......,cn
12
: 二项式系数
注1).二项展开式共有n1项,每项前都有二项式系数 2).各项中a的指数从n起依次减小1,到0为此
各项中b的指数从0起依次增加1,到n为此
22rrn1n1n
xcnx...cnx...cnxx 如(1x)n1c1n
四、应用(例题)
五、课堂练习 六、课后作业 七、总结与归纳 八、板书设计