正项级数收敛性

正项级数收敛性

真正反映思维过程的文章，比八股式论文 要和谐可亲得多，而且对思维训练更有帮 助，可惜，这种文章只能藏在文库中。 ----作者感言

1

ab

n2nlnn

1．a1发散 2．a1收敛 3．a1,b1发散 4．a1,b1收敛



lim[nln

n

an

1]lnng an1

y(nx1)lnn

1yx(1)

nlnn

glnlnnlnn1nlngn

1g1g

1lnalna1nn1

nlnnnlnne

lnaN



1n

lnn1g

an1e

lnaN

1n

lnn

1g

ee



1nlnn

1g



bn

现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，

记录着思维的真实，保持原样挺美的。

a

n1



n

（an0）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加

有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是an0，就足够看成正项级数了。数列an

写成函数形式anf(n)可以拓展解决问题的视野，比如

f(n)的收敛性和

n1





f(x)dx的

a

收敛性，有着极为密切的关系，假定f(x)0很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。当然，如果这两个函数无论走多远，都相距很远，能给我们的帮助就非常有限。不过没有必要为此担心，初等函数中，只要不是周期函数，在足够远的区间里，都可以当作是单调的，也就是说，上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。广义积分可以求原函数，处理手段比级数灵活，借广义积分研究级数收敛性是极为重要的渠道。最原始的级数收敛性，还非得借助广义积分不可。比如p-级数

1

，其实就是通项为幂函数的级数，其收敛性完全清楚，另一个完p

n1n



全清楚的级数是等比级数

a

n1



n

，其实就是通项为指数函数的级数。这是两个最基本的级数。

后面演绎的常见判敛方法，都与这两者有关。比如，常见的比值盼敛，根值判敛，本质上是

用等比级数作参照的。等比级数收敛或发散很快，能判的级数范围并不大。拉贝判敛是以p-级数作参照得出的，由于p-级数收敛或发散比等比级数要慢，因而可判的级数范围要广很多。有没有比p-级数还要迟钝的级数？当然有，如

1

，高斯判敛就是以这个级数

nlnnn1



作参照的。不过，无论哪种极限判别，都有判据为1时无所作为的遗憾。

正项级数的方便之处在于，级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性，准确说，是否有上界，因为其部分和数列是单调递增的。由于这个原因，若anbn，则由bn的部分和有上界，必可得到an的部分和有上界，故收敛是小看大，大的收敛，小的一定收敛。这个命题的等价命题是：发散大看小，小的发散，大的必然发散。这种通过不等式比较两个数列，从而得出收敛性判定，很基础，但不方便，因为不等式的放缩不是件容易的事情。

用极限比较是个不错的主意。因为极限虽然是一个数，但这个数和数列某项以后的无穷项有着很好的大小关联性，而级数收敛性则只与某项以后无穷项有关。

lim

anal，（l0）根据极限定义，有0,N,nN:|nl|

nbbnn

即0,N,nN:(l)bnan(l)bn

如果l0，由于0的任意性，选取使得l为正没有任何问题。若

b

n1



n

发散，

(l)bnan(l)bn的左边不等式说明an，若bn收敛，其右边不等式则说明

n1

n1



a

n1



n

收敛。这个两边夹不等式，确保

a

n1



n

，

b

n1



n

收敛性相同。当l0，这个两边夹不

等式的左边失灵了，因为所有项非正，不过右边不等式仍然可用，即可以由

b

n1



n

收敛判断

a

n1



n

收敛，但无法由

b

n1



n

发散判断

a

n1



n

发散。

这个极限比较判敛，需要知道其中一个的收敛性，当l0时，可以肯定另一个有同样的收敛性，但l0时，只可由

b

n1



n

收敛判断

a

n1



n

收敛，或者由

a

n1



n

发散判断

b

n1



n

发散。

l和l0刚好颠倒。

有时候l不存在，也不是，只要lim

an

l存在，这相当于

nbn

0,N,nN:lbnan(l)bn 故lim

ana

l与limnl判定方法完全一样，但前者有更好的适应性。

nbnbnn

这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便，如何找那个事先知道的级数？

能否通过数列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后两项相比，会有什么消息？还是用极限方法：lim

an1

l，由极限定义，得

nan

an1

l| an

0,N,nN:|

变成 0,N,nN:(l)anan1(l)an 这不会提供任何有效信息，因为任何一边都是未知的。 由极限定义得到0,N,nN:l

an1

l an

先假设l0，适当选取可保l0，不等式取对数： ln(l)lnan1lnanln(l) 再取和：

nN1

ln(l)(lna

nN1

mm

n1

lnan)

nN1

ln(l)

m

即 (mn)ln(l)lnam1lnaN1(mn)ln(l) 故 (mn)ln(l)lnaN1lnam1(mn)ln(l)lnaN1 取指数： aN1(l)(mn)am1aN1(l)(mn)

当m变化时，上面不等式两端都是等比数列，其级数的收敛性完全由公比确定，am的收敛性完全由两端的等比级数确定。由的任意性，若0l1，则可以确保0l,l1。若l1，则可以确保l,l1。故根据0l1和l1，可分别得出散。当l1时，这个方法失效，无从给出判定。当l0时，不等式 aN1(l)(mn)am1aN1(l)(mn) 右半部分还是可用的，而这足够了，选定l1，可以确定

a

n1



n

收敛和发

a

n1



n

收敛。



an1

于是有 liml，若0l1，an收敛，若l1，an发散。l1，不确定。

nan1n1n

在这里lim

an1a

l可以替换成n1l，结论一样。不过适用性更广。知道这个l的实

nanann

质是等比数列的公比是有价值的。这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛

性，能判的范围很有局限性，比如l1的时候，就不灵了。

根值法l和比值法虽然计算上有点区别，但实质仍然是以等比级数作标准判断收

n敛性，因而结论完全一样，不过根据不同表达式采用不同判别法，在计算上会有各自的特点。 当lim

an1a

1时，咋办？一般说来，想比不如相减方便，故limn11可等价写成

nanann

an1aa

0，为了后面表述上的一致性，我们更主要用limlnn0表示limn11。

nnanan1an

limln

n

这样提问，也许能帮我们引向问题的解决：

我们需要什么样的一个函数(x,n)，使得lim(ln

n

an

,n)l，而根据l的范围，便可给an1

出

an的收敛性判定？还是从lim(ln

n1

n



an

,n)l本身寻找答案，其极限定义为 an1

an

,n)l| an1

an

,n)l an1

0,N,nN:|(ln

即 0,N,nN:l(ln

求解(x,n)的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是 (l,n)ln

an

(l,n) an1

即 (l,n)lnanlnan1(l,n) 取和：

nN1m



m

(l,n)

nN1

m



m

(lnanlnan1)

nN1



m

(l,n)

即

nN1

m



(l,n)lnaN1lnam1

nN1

m



(l,n)

lnaN1

m

nN1

m



(l,n)lnam1lnaN1

lnaN1

nN1



(l,n)

e



lnaN1

nN1



m

(l,n)

am1e

m

nN1

(l,n)

显然，

a

n1

n

的收敛性由e

lnaN1

nN1



(l,n)

,e

lnaN1

nN1

(l,n)

的级数收敛性确定。讨论收敛性，

m



常数lnaN1可以不作考虑，于是，只要讨论e

nN1



m

(l,n)

,e

nN1

(l,n)

的级数收敛性即可。

这两个级数只是l,l，我们暂时抹掉这种差异，用l代替这两者，于是，我们关注



e

nN1

(l,n)

m

究竟是什么？可以充当级数收敛性的判定标准？



目前我们只能用等比级数作标准，能用p-级数

1

吗？也就是 p

n1n



e

nN1

(l,n)

m

m



1

（为了左右一致，将p换成l，n换成m） lm

1

ellnm lm



即 e

nN1

(l,n)



于是

nN1

(l,n)llnm

m

考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设



m

N1

(l,n)dnllnm

l m

对m求导，得到 (l,m)于是

all

lnn

nan1n

an

l an1

即 nln

|nln

an

l| an1



anan1

故lim(ln,n)l可选为limnlnl，l为p-级数p的p值，l1，l都nnan1an1n1n



可保持大于1，l1，l同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，

a

n1

n

的收敛性

和p-级数

1

的收敛性判定完全相同，可l1时候，l肯定无法保持为1。故 pnn1



an

limnlnl，当l1时，an收敛，当l1时，an发散，l1，不确定。 nan1n1n1

在limln

n

anaaa

0的情况下，lnnn1，故limnlnnl可换成

nan1an1an1an1

an

1)l an1

limn(

n

除了用p-级数

1

作标准，还可以用别的吗？ p

n1n



可以，柯西选择了级数

nln

n1



1

l

n

m



即 e

nN1

(l,n)



1

ellnlnmlnm l

mlnm

于是

nN1

(l,n)llnlnmlnm

m

考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设



m

N1

(l,n)dnllnlnmlnm

l1



mlnmm

对m求导，得到 (l,m)于是

(

al1l1

)lnn() nlnnnan1nlnnn

an

)lnnl an1

即 (nln

|(nln

an

)lnnl| an1



anan1

故lim(ln其中l为的参数，l1，,n)l可选为lim(nln1)lnnl，lnnan1an1n1nlnn



l都可保持大于1，l1，l同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，an的

n1

收敛性和级数

1

的收敛性判定完全吻合，可l1时候，l肯定无法保持为1。 l

nlnnn1





an

lim(nln1)lnnl，当l1时，an收敛，当l1时，an发散。 nan1n1n1

在limln

n

anaaa

0的情况下，lnnn1，故lim(nlnn1)lnnl可换成

nan1an1an1an1

an

1)1)lnnl an1

lim(n(

n

这是因为 lim(nln

n

an

1)lnnl等价于 an1

a

(nln1)nlnlo

an1ln

(1)

anl11o()an1nlnnnnlnn

ln

ana

n1an1an1

anl111o() an1nlnnnnlnn(n(

an

1)1)lnnlo(1)an1

an

1)1)lnnl an1

lim(n(

n

对于最初知道的比值判敛法，其实也可以按照上面的方式寻找到，即用等比级数准。



l

n1



n

作标

e于是

nN1

(l,n)

m

m

lmemlnl

nN1

(l,n)mlnl

考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设



m

N1

(l,n)dnmlnl

对m求导，得到 (l,m)lnl 于是

ln(l)ln

an

ln(l) an1

即 

an1

l an

|

an

l| an1



anan

故lim(ln,n)l可选为liml，其中l为ln的公比，0l1，l都可保nnaan1n1n1



持大于1，l1，l同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，

a

n1

n

的收敛性和级

数

n

l的收敛性判定完全相同，可l1时候，l肯定无法保持为1。 n1



an1liml，当0l1时，an收敛，当l1时，an发散，l1，不确定。 nan1n1n

根值判敛法虽然也是以等比级数作标准，但似乎不能按上述模式推导出来。