Dirichlet积分的计算方法
Dirichlet 积分的计算方法
赵天玉(长江大学 信息与数学学院,湖北 荆州 434023)
[摘要] 著名的Dirichlet 积分在物理学等领域有广泛的应用.本文以积分变换为研究工具,采用数学物理方法,给出了计算Dirichlet 积分的六种方法. [关键词] Dirichlet 积分;Fourier 变换;Laplace 变换;广义函数
The Calculation Method of Dirichlet Integral
ZHAO Tian-yu
(School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou ,434023, China)
Abstract The famous Dirichlet integral is widely used in physics and other fields. In this paper, the integral transform as a research tool, using the methods of mathematical physics, six kinds of calculation methods for Dirichlet integral is given.
Keywords Dirichlet integral ; Fourier transform; Laplace transform; Generalized function
+∞
积分
⎰
sin x π
dx =是著名的Dirichlet 积分,在光学、电磁学、无线电技术x 2
[1]
和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用.因为该积分收敛非绝对收敛,被积
函数的原函数不能用初等函数表示,不能用传统的牛顿-莱布尼茨公式求出该积分值,所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论,寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题.文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法,但这些方法多数不但比较复杂,需要较高的分析技巧,而且需要较广的数学知识.在多年的教学实践中,作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题.本文首先综述了计算Dirichlet 积分的传统经典方法,即含参变量积分法和围道积分法,然后以积分变换和广义函数为研究工具,采用数学物理方法,给出了计算Dirichlet 积分四种新方法.
1 含参变量积分方法
我们知道,含参变量积分
+∞
F (p ) =
-px ⎰e 0
sin x
dx (p >0) (1) x
+∞
=
⎰e
-px
+∞1
⎛1⎫-px
⎰cos xydy ⎪dx =⎰dx ⎰e cos xydy
00⎝0⎭
[基金项目]长江大学精品课程(概率论与数理统计)
+∞
由于e
-px
cos xy ≤e
-px
,积分
-px e ⎰dx 收敛,由Weierstrass M 判别法,含参变量0
+∞
积分
-px -px
在上一致收敛.由于[0,1]e cos xy 在[0,+∞) ⨯[0,1]上连续,e cos xydx ⎰
根据积分顺序交换定理,F (p ) =⎰dy ⎰e
[4]
1+∞
-px
1
cos xydx =⎰
p 1
. dy =arctan 22
p +y p
又由阿贝尔(Abel) 判别法知,积分(1)在p ≥0时一致收敛,根据连续性定理[4],
F (p ) 在p ≥0时连续,故
+∞
⎰
sin x 1π
dx =F (0)=lim +F (p ) =lim +arctan =
p →0p →0x p 2
2 围道积分方法
e iz
设f (z ) =,L 1, L 2分别是实数轴上[-R , -r ]与
z [r , R ]线段,C r , C R 分别是以原点为圆心,以r 与R 为
半径的上半圆周,Γ是如图1所示的积分路径.由Cauchy-Goursat 定理知,⎰f (z ) dz =0,即
Γ
L 1
⎰f (z ) dz +⎰f (z ) dz +⎰f (z ) dz +
C r
L 2
C R
⎰
f (z ) dz =0 (2)
图1 围道积分路径
R
经化简⎰f (z ) dz +⎰f (z ) dz =2i ⎰
L 1
L 2
r
sin x
f (z ) dz =-πi ,dx ,由小圆弧引理[5],lim +⎰r →0x C r
由Jordan 引理[5],lim
+∞
R →+∞
C R
⎰
f (z ) dz =0.在式(2)两边令r →0+, R →+∞,并整理
得:
⎰
sin x π
dx = x 2
3 Fourier变换方法
+∞
⎧sin ω⎪1, t ≤1;
设f (t ) =⎨,则它的Fourier 变换为F [f (t )]=⎰f (t ) e -j ωt dt =2
ω⎪⎩0, t >1. -∞
1
当t
2π
-1
+∞
-∞
⎰
F (ω) e d ω=
j ωt
2
+∞
π
⎰
sin ωcos ωt
ω
d ω,
+∞
特别取t =0得:
⎰
sin ω
ω
d ω=
π
2
.
4 能量积分方法
设f (t ) 在Fourier 变换下的象函数为F (ω) ,则有
+∞
+∞
12
[f (t )]dt =⎰2π-∞
[6]
-∞
+∞
⎰
F (ω) d ω (3)
2
式(3)称为Parseval 等式,其中⎰[f (t )]2dt 称为f (t ) 的能量积分.
-∞
将上文中Fourier 变换方法的f (t ) 和F (ω) 应用在式(3)中,可以得到
+∞
⎰
0+∞
sin 2ω
ω2
d ω=
π
2
+∞
.又由分部积分法,
⎰
sin 2ω
+∞
ω2
d ω=
⎰
sin 2ω
+∞
ω
d ω=⎰
sin u
du ,故 u
⎰
sin u π
du =. u 2
5 Laplace变换方法
+∞
设f (t ) =sin t ,则它的Laplace 变换为L [f (t )]=
∞
⎰
f (t ) e -st dt =
1
s 2+1
又F (s ) .
sin t π
lim =1,⎰F (s ) ds =-arctan s ,由Laplace 变换象函数的积分性质[6],有t →0t 2s
π⎡sin t ⎤L ⎢=F (s ) ds =-arctan s ,特别取s =0得:⎰⎥t 2⎣⎦s
∞+∞
⎰
sin t π
dt =. t 2
6 广义函数方法
单位脉冲函数δ(t ) 也叫狄拉克(Dirac)函数,简称δ-函数,它是一个广义函
数,是弱收敛函数序列的弱极限[6],即对于任何一个无穷次可微的函数f (t ) ,有
+∞
-∞
⎰δ(t ) f (t ) dt =lim
sin ωt
f (t ) dt (ω>0) (4)
ω→+∞⎰πt -∞
+∞
+∞
在式(4)中特别取f (t ) =1,由δ-函数的筛选性质知,左边⎰δ(t ) dt =1,右边
-∞
sin ωt 1sin u 2
积分中作换元变换u =ωt 得:lim ⎰dt =lim ⎰du =
ω→+∞ω→+∞ππt u π-∞-∞
+∞
+∞+∞+∞
⎰
sin u
du .故 u
⎰
sin u π
du =. u 2
参考文献
[1] 梁昌洪.复变函数札记[M ].北京:科学出版社,2011.
[2] 匡继昌.Dirichlet 积分九种解法的思路分析[J ].高等数学研究,2012,15 ( 4) :62~ 66.
[3] 张瑰,张梅. 对Dirichlet 积分的几种简便证明[J ].高等数学研究,2005,8(4):28~29. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析(下册)[M]. 第三版. 北京:高等教育出版社,2001. [5] 姚端正,梁家宝.数学物理方法[M ].第二版. 武汉:武汉大学出版社,1997. [6] 张元林.积分变换[M ].第四版. 北京:高等教育出版社,2003.