大摆角单摆运动周期的三个公式 (2)
西 物 理 Vol. 24No. 3 2003第24卷 第3期 广GUANGXI W ULI
大摆角单摆运动周期的三个公式
谭志中
(南通师范学院物理系, 江苏 南通 226007)
摘 要: 建构出一类非线性动力学方程的近似处理方法, 对单摆的动力学方程进行了修正, 得到
单摆运动周期的三个新结论。
关键词: 非线性; 单摆; 周期
中图分类号: O314 文献标识码:A 文章编号:1003-7551(2003) 03-0028-03
1
引言
单摆运动问题是一个古老的问题。众所周知, 对于摆长为L , 最大摆角为H 0的单摆作无阻尼运动时, 其受力分析如图1所示。根据转动定理可得到单摆的动力学方程:
g 2=-sin H (1-1) d t 2L
式(1-1) 不是一个简单的微分方程, 而是一个非线性微分方程, 它能产生/混
沌[1][2]0现象。非线性微分方程的解通常比较复杂。当单摆摆角比较小(H 0
时, 各种教材都给出了统一的近似处理方法, 即对式(1) 中取近似值sin H U H 得
22
0H 2=-X d t
其中X 0=
图1
(1-2)
g
。显然式(1-2) 是一个简单的二阶线性微分方程, 由式(1-2) 可以解得单摆的运动学方程L
(简谐运动方程)
H =H 0cos (X 0t +U 0)
时, 其相应的运动周期公式为:
T 0=
=2P
g 0
(1-4) (1-3)
当然, 由于式(1-2) 是一个近似微分方程, 因而式(1-3) 也是一个近似的简谐运动方程, 当H 0
对于摆长为L, 最大摆角为H 0的单摆, 文[3]和文[4]分别从机械能守恒定律的角度和相图关系的角度求出了精确的单摆运动周期公式:
T =
P
P /20
1-sin (H 0/2) #sin (1-5)
式(1-5) 适用于任意摆角情形下的单摆运动, 但这一公式是用椭圆积分表示的, 过于繁杂, 应用时需要查完椭圆积分表, 实用性不强。
本文对非线性微分方程(1-1) 进行了一定的研究, 通过视变量为常量的思维策略, 得到比较理想的大摆角情形下的三个简单、实用、精度较高的单摆运动周期公式。
* 收稿日期:2003-07-10
第3期大摆角单摆运动周期的三个公式
2 主要结论
211 三个周期公式
对于非线性动力学方程(1-1) 的解, 本文另通过视变量为常量的方法, 给出了单摆作无阻尼运动时大摆角单摆运动周期的一个公式及其两个推论。我们得到的结论为
T =
T 0cos (L H 0)
(2-1)
其中L =0. 497, H 0是指摆线偏离平衡位置的最大偏角。
根据单摆周期公式(2-1) 可以得到如下推论
T =
T 0
2
1-L 1H 0
(2-2) (2-3)
24
T =T 0(1+L 1H 0+L 2H 0)
其中L 1=0. 062, L 2=0. 0044。
从第三节的相对误差对比表中将会看到式(2-1) 、(2-2) 、(2-3) 是比较精确的周期公式。212 推导方法
从纯数学的角度推导sin H 的近似值
sin H =2sin (H /2) c os (H /2) U 2@
cos (H /2) =H cos (H /2) U H cos (L H 0) 2
(2-4)
此处将变量cos (H /2) 视为常量cos (L H 0) , 其中H 0是指摆线偏离平衡位置的最大偏角, L 是修正常数。将(2-4) 代入(1-1) 得
222=-X H d t
其中X =
(2-5)
g cos (L H 0)
=X 0c os L H 0, 式(2-5) 即是对动力学方程(1-2) 的修正, 因为式(2-5) 同样是L
一个简单的二阶线性微分方程, 由式(2-5) 很容易解得单摆的周期公式(2-1) , 即
T =
=2P =cos (L H 0)
T 0cos (L H 0)
其中L 是一种修正常数, 修正的方法是将式(2-1) 与标准式(1-5) 在取不同角度时进行比较。本文取修正值为L =0. 497。213 对推论的推导
证明:(根据单摆周期公式2-1进行推导) 根据泰勒级数展开式可得
cos L H =1-取K =
得2
=U 1/2U 2
H ) 241-L 1H cos L H (cos L 1-(L H ) -(L H ) 496
取K =-得2
=(cos L H ) -cos L H
1/2
K
24(L H ) +(L H ) -,,
242
(2-6)
U 1+
24
(L H ) 2+(L H ) 4=1+L 1H +L 2H 496
(2-7)
根据上述近似条件下的泰勒级数展开式, 由(2-6) 与(2-1) 即可推出式(2-2) , 由(2-7) 与(2-1) 即
西 物 理 Vol. 24No. 3 2003第24卷 第3期 广GUANGXI W ULI 可推出式(2-3) 。在式(2-6) 和式(2-7) 中, 由于L =0. 497, 则得到一级近似值L 1=
4
U 01062, 在二级近似的条件下(2-7) 中的H 的系数L 2=
2L =@0. 497244
4L =@0. 4974U 010044。本文研究发现, 当9696
摆角比较大时, 式(2-7) 中的L 2=0. 0044不能忽略, 否则将会产生比较大的误差
3 数值比较
为便于表述, 将周期公式(1-4) 、(1-5) 分别记成T 0、T, 将周期公式(2-1) 、(2-2) 、(2-3) 分别记成T 211、T 212、T 213。
T 0、T 211、T 212、T 213与T 的相对误差对比如表1。 表1
H 0/(b ) 4
[***********]0
T 0/T [***********][***********][***********][1**********]2
T 211/T [***********][***********][***********][1**********]1
T 212/T [***********][***********][***********][1**********]2
T 213/T [***********][***********][***********][1**********]5
表中的数据表明, 由T 0计算得的周期误差较大, 最大相对误差可达10-2~10-1量级, 只有在摆角很
0-3
小时(如对T 0取H 0F 10) 其相对误差不高于10量级, 而由T 211计算得的周期误差在0F H 0F 60b 范围内-4不高于10-4量级, T 212、T 213计算得的周期误差在0F H 量级。T 211、T 212、T 213三个0F 90b 范围内不高于10
单摆周期公式形式简洁, 物理意义明确, 是一种理论上的突破。
4 结语
从本文给出的相对误差对比表可以看出, 本文给出的三个单摆周期公式其精确度比较高, 有一定的实用价值。本文所采用的一种/视变量为常量0的思维策略是一种创新。
经典力学的严格推证是优美的, 各种教材中的题目往往又都可得出严格的解析解, 因而, 教学中常常忽略了近似方法的应用, 而在实际物理问题或工程问题中, 大多数方程是很难、甚至是无法精确地求解的。相比之下, 本文提出的/视变量为常量0的近似处理方法可以使物理图象更直观, 使数学模型更简化。如果把近似方法应用于教学中, 则可以拓宽学生的视野, 提高学生进行科学探究的能力和素质。可见, 不论在教学中还是在研究实际问题时, 在满足精度要求下, 采用/视变量为常量0的近似方法不失为一种值得注意的好方法。
参
考
文
献
[1]常树人, 吕可诚1浅说/混沌0[J]1大学物理, 1999, 9(18) :32-351[2]赵凯华1从单摆到混沌[J]1现代物理知识11993, 8(5) :12-141[3]Mar i on JB Classical Dynamics[M]. New York:Academic Press, 19651181-1821[4]金亚平1单摆周期的相图求法[J]1大学物理, 2000, 10(19) :6-111