专题五 概率与统计和统计案例 学生版

专题五 概率与统计和统计案例 热点一 古典概型 1．古典概型的概率

m A 中所含的基本事件数P (A ) ＝n 基本事件总数

2．古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等．

例1 (2016·山东) 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y . 奖励规则如下：

①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

思维升华 求古典概型概率的步骤：

(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件； m (3)利用列举法求出总的基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m ；(4)计算事件A 的概率P (A ) ＝n 跟踪演练1 (1)将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为( ) 111A. C. 18126

1

D. 3

11

(2)已知函数f (x ) 3－bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x ) 在x ＝1处取得最值的概

321111

率是( )A. B. 3618126

热点二 几何概型 1．几何概型的概率公式： P (A ) ＝

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．

例2 (1)在区间[－3，5]上随机取一个实数a , 则是函数f (x ) ＝x 2＋2ax ＋4的零点的概率为( ) 1111A. B. C. D. 3248

1

(2)在区间[0,1]上随机取两个实数a 、b ，则函数f (x ) ＝3＋ax －b 在区间[0,1]上有且只有一个零点的概率为( )

21137A. B. C. D. 8448

思维升华 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

跟踪演练2 (1)在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋2) 与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) 1133A. B. C. 2332

(3)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 边的中点，若在该矩形内随机取一点，则取到的点与O 点的距离大于1的概率为_________．

热点三 互斥事件与对立事件

1．事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生) 的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B ) ＝P (A ) ＋P (B ) ．

2．在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A ) ＝1－P (A ) ．

例3 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖．(1)求中二等奖的概率；(2)求不中奖的概率．

思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生) ，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生) ．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误． 跟踪演练3 (1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是( )

A ．1个白球2个红球B ．2个白球1个红球C ．3个都是红球D ．至少有一个红球

(2) 俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3. 则至少要________个臭皮匠能顶一个诸葛亮

热点四 抽样方法

1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体数较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．

例1 (1)某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，„，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1,2,3，„，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、„„，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是( )A ．13 B ．17C ．19 D ．23

(2)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y ，z ，依次构成等差数列，且4，y ，z ＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．

思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．

跟踪演练1 (1)要考察某公司生产的500克袋装牛奶中三聚氰胺的含量是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，„，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行) [***********][***********][1**********]676(第7行) [***********][***********][1**********]879(第8行) [***********][***********][1**********]954(第9行)

(2)利用分层抽样的方法在学生总数为1200人的年级中抽出20名同学，其中有女生8人，则该年级男生的人数约为________．

热点五 用样本估计总体

频率频率1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示组距组距2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.

3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

例2 (1)在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A ．平均数B ．标准差C ．众数

D ．中位数

(2)若五个数1,2,3,4，a 的平均数为3，则这五个数的标准差是________．答案 (1)B 2

思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、

众数、中位数和方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．

跟踪演练2 (1)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )

A ．117

B ．118 C ．118.5 D．119.5

(2)某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60]元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的学生有30人，则n 的值为( )

A ．100

热点六 统计案例

n

^

^

^

^

i ＝1

B ．1000 C ．90 D ．900

1．线性回归方程方程y ＝b x ＋a 称为线性回归方程，其中b ＝

∑x i y i －n x y

2

∑x i －n i ＝1^^

x

2

a ＝y －b ，(x ，y ) 称为样本点的中心．

n (ad －bc )2

2．随机变量K ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

2

例3 (1)(2015·北京) 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．

(2)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52

名中学生，得到统计数据

如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )

表1

A. 成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量

思维升华 (1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(x ，y ) ，应引起关注．(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K 2求解即可． 跟踪演练3 (1)随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列联表：

单位：人

附表和公式如下：

2

表2

表3

n (ad －bc )2

K ＝n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )根据以上数据可知( )

A ．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关B ．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关 C ．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关D ．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关 (2)设某市现代中学的男生体重y (单位：kg) 与身高x (单位：cm) 具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i ) (i ＝1,2，„，

^

n ) ，且最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.95x －99.88，给定下列结论： ①y 与x 具有正的线性相关关系；

②回归直线过样本点的中心(x ，y ) ；③若该中学某男生身高增加1cm ，则其体重约增加0.95kg ；④若该中学某男生身高为180cm ，则可预测其体重约为71.12kg. 其中正确的结论是________．

专题通关

1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( ) 211A. B. C. 343

2．若A 、B 是互斥事件，P (A ) ＝0.2，P (A ＋B ) ＝0.5，则P (B ) 等于( ) A ．0.3 B ．0.7 C ．0.1 D ．1

3. 如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常) ．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )

1

D. 2

πππ

A ．1－ B. 1 C ．2－

422

4．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( ) A ．p 1

B ．p 2

D. 4

⎧x ＋y 2，

5．设不等式组⎨x －y 2，

⎩y ≥0

所表示的区域为M ，函数y 1－x 的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随

2πππ

机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A. B. D. π4816

6．(2016·江苏) 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具) 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

7．在边长为2的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M 内的点恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M 的面积的估计值为________．

8．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

9．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3) 2＋(c －3) 2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．

10．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． (1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．

11．某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位：万元) 之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出

^

y 与x 的线性回归方程为y ＝8.5x ＋7.5，则表中的m 的值为( )

A.50

12．某校高三学生有3000名，在一次模拟考试中数学成绩X 服从正态分布N (100，σ2) ，已知P (80

，

若学校按分层抽样的方式从中抽取

50份试卷进行分析研究，则应从成绩不低于120分的试卷中抽取( ) A ．10份B ．20份C ．30份

13．以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) ．已知甲组数据的中位数为

15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )

D ．40份

B

A ．2,B ．5,5C ．5,8

14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米) 数据绘制成频率分布直方图，由图中数据可知身高在[120,130)内的学生人数为( )

D ．8,8

A ．2B ．25C ．30

D ．35

15．下列说法中正确的个数为( )

①若样本数据x 1，x 2，„，x n 的平均数x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，„，2x n ＋1的平均数为10； ②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；

③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60. A ．0 B ．1C ．2

16．为了解一批灯泡(共5000只) 的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命(单位：h) 如下表：

根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是________．

17．如图是我市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位：t) 的频率分布直方图的一部分，则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为________．

D ．3

18．某高中学校共有学生1800名，各年级男女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率是0.16.

现用分层抽样的方法，在全校抽取45名学生，则应在高三抽取的学生人数为________．