数学公式,整理
整数、有理数、实数
1、整数及带余除法
b ∣a : a除以b 整除。a=bq (b≠0，q 为整数) a/b是整数的充分必要条件是b ≠0，且b ∣a 。 整除具有如下性质： 1. 如果c ∣b, b∣a, 则c ∣a.
2. 如果c ∣b, c∣a. 则对任意整数m ，n 有c ∣(ma+nb). 设a,b 是两个整数，其中b ＞0，则存在整数q ，r 使得
a=bq+r,0≢r
若b>0，则b ∣a 的充分必要条件是带余除法中余数r=0. 2、质数、合数及算数基本定理
一个大于1的整数，如果它的正因素只有1和它本身，称这个数为质数(或素数) 。如果一个大于1的整数，如果它的正因素除了1和它本身，还有其他正因素，则称这个整数为合数(或复合数) 。 除了最小质数2是偶数外，其余质数都是奇数。
任一大于1的整数都能表示成质数的乘积且这样的分解式式唯一的。
a=p1p 2…p n a>1,p1≢p 2≢…≢p n
3、最大公因数和最小公倍数
a,b 的最大公因数记为(a,b).若(a,b)=1,则称为a,b 互质。 a,b 的最小公倍数记为[a,b].
a,b 的所有公倍数就是[a,b]的所有倍数。若a ∣d 且b ∣d, 则[a,b]∣d. [a,b]=
ab
, 特别地，当(a,b)=1时，有[a,b]=ab. (a , b )
若a ∣bc, 且(a,b)=1，则a ∣c.
在三个连续的整数中, 必有一个是3的倍数, 两个连续的整数中, 必有一个是2的倍数. 4. 有理数
整数和分数统称为有理数, 任何一个有理数都可以写为均为整数) ，若(m,n)=1，称5. 实数
对任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，令[x]=x-{x},称[x]是x 的整数部分，{x}是x 的小数部分。
m
为既约分数。 n
m
的形式(n≠0，m,n n
整式、分式
1. 一元多次n 项式
f(x)=an x n +an-1x n-1+…+a1x+a0,n 为非负整数，a 0,a 1,a 2…a n 均为实数,a n ≠0. 若f(x)的所有系数均为0，称为零多项式。零多项式不规定次数记为f(x)≡0 两个多项式的和差积仍是一个多项式，但商不一定是多项式。 g(x)∣f(x)的充要条件是带余除法中余式为0. 2. 余式定理及一次因式与根的关系
用一次多项式x-a 去除多项式f(x),所得的余式是一个常数，这个常数值等于函数值f(a).
a 是f(x)的根(即f(a)=0)的充要条件是(x-a)∣f(x)。 3. 因式分解
(a±b) 2=a2±2ab+b2 (a±b) 3=a3±3a 2b+3ab2±b 3 (a+b)(a-b)=a2-b 2 a 3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a 3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2)
平均值、绝对值
1. 平均数
x +x +x n 1
设x 1x 2…x n 为n 个正数，算数平均值= 12 =
n n
∑X
i =1
n
i
设x 1,x 2…x n 为n 个正实数，几何平均值x g
=
=
x 1+x 2
+x n , 当且仅当x 1=x2=…=xn 时，等号成立(用于解函数
n
最值问题) 。 2. 绝对值
|a|表示数轴上的点a 与原点的距离叫做数a 的绝对值。
⎧a , a >0⎪
|a|=⎨0, a =0
⎪-a , a
两个重要性质： 1.|ab|=|a||b|; |a/b|=|a|/|b| 2.|a|＜|b| 可逆，|b|>|a|
|a|-|b|≢|a+b|≢|a|+|b|，当且仅当ab ≢0时左边等号成立，ab ≣0时右边等号成立。
|a|-|b|≢|a-b|≢|a|+|b|，当且仅当ab ≣0时左边等号成立，ab ≢0时右边等号成立。
(|a+b|表示a-b 与原点的距离，也表示a 与b 之间的距离)
|a|≢m ⇔-m ≢a ≢m
|a|≣m ⇔ a ≣m 或a ≢-m
a 1(1-q n ) |a|=ma=±
m
1-q
|a|
方程与不等式
1. 一元二次方程
一元二次方程ax +bx+c=0的解为
x=2
其中∆=b2-4ac 称为一元二次方程根的判别式
∆
∆=0时，方程有两个相等的实根； ∆>0时，方程有两个不等的实根。
b ⎧
x +x =-⎪⎪12a
2. 韦达定理⎨
⎪x x =c 12⎪a ⎩
一元二次方程ax 2+bx+c=0中系数a,b,c 不全为固定值时，考虑两根的关系既要考虑判别式∆，也要考虑韦达定理。 3. 一元二次不等式
数列
1. 概念
a n 与n 的关系用公式表示就是通项公式。 a n =sn -s n-1, 再带入a1，看是否符合。 2. 等差数列
数列c,c, …c 是公差d=0的等差数列； 等差数列的通项公式a n =a1+(n-1)d; 等差数列的前n 项和公式s n = a,b,c 成等差数列⇔b=
n (a 1+a n )
2
a +c
; 2
若s n 是等差数列的前n 项和，则s n ,s 2n -s n ,s 3n -s 2n …仍成等差数列； 若{an }是等差数列，如果m+n=s+t,则，a m +an =as +at . 3. 等比数列
数列c,c, …c 是公差q=1等比数列; 等比数列的通项公式a n =a1q n-1;
a 1(1-q n )
等比数列的前n 项和公式s n =
1-q a,b,c 成等比数列⇔b 2=ac
若{an }是等比数列，则s n ,s 2n -s n ,s 3n -s 2n …也是等比数列； 若{an }是等比数列, 如果m+n=s+t,则，a m a n =as a t . 三个数成等差数列⇔b=
a +c
, 三个数成等比数列⇒ b2=ac。 2
若b 2=ac且b ≠0⇒a,b,c, 成等比数列。(常考)
应用题
1. 比和比例; 2. 行程问题; 3. 工程问题; 4. 浓度问题;
平面几何与立体几何
一. 三角形
1. 性质
三角形的三条角平分线、三条中线、三条高(或其延长线) 都相交于一点。 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 直角三角形中30o 所对的直角边是斜边的一半。
等腰三角形两底角相等，两腰上的中线相等，两底角平分线相等。 等腰三角形的顶角的平分线与底边的中线、高重合。 等腰三角形是以底边的高所在直线为对称轴的轴对称图形。 2. 全等三角形
两边及其夹角对应相等(边角边) ； 两角及其夹边对应相等(角边角) ； 三边对应相等(边边边) ； 3. 相似三角形 两角对应相等； 三边对应成比例；
两边成比例且夹角相等。
相似三角形对应角相等，对应边、线成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 二、四边形
1. 平行四边形
对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。 2. 矩形
角为直角的平行四边形，对角线平分且相等。 3. 菱形
四边相等的平行四边形，对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 菱形面积=4. 梯形 中位线= 三、圆
连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。 弦到圆心的距离叫作弦心距。
圆心相同，半径不同的两个圆叫作同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫作等圆。
顶点再圆心的角叫圆心角；顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角；直径所对的圆周角为直角。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 不在统一条之间的三个点可以确定一个圆。 面积s=πr 2 周长=2πr. 四、立体几何
1. 长方体
长方体的全面积S 全=2(ab+bc+ca) 长方体的体积V=abc 对角线长
11
(上底+下底) ；面积s=(上底+下底)*高=中位线*高 221
对角线之积。 2
长方体的侧棱垂直于上下底面, 且每一个矩形的侧面也垂直于底面. 当a=b=c时，长方体称为正方体或立方体， 正方体的全面积S 全=6a2 正方体的体积V=a3
正方体的对角线
2. 圆柱体
侧面积S 侧=2πrh; 全面积S 全=2πr(h+r); 体积V=πr 2h;
当h=2r时，圆柱称为等边圆柱，等边圆柱的轴截面是正方形，非等边圆柱的轴截面是矩形。 3. 球体
表面积S=4πr 2； 体积V=
4
πr 3； 3
内接正方体的对角线等于球的直径。
平面解析几何
一、基本公式
1. 两点间的距离
p 1p 2
2. 线段的定比分点坐标
有向直线l 上一点p 将l 上的有向线段p 1p 2分成两条有向线段p 1p 和 p 1p
, 点p 叫作p 1p 2的定比分点。 pp 2, p 1p 和pp 2的长度比记为λ, 即λ=pp 2
则有x=
x 1+λx 2y +λy 2
,y=1; 1+λ1+λ
特别当λ=1时,p 为p 1p 2的中点，此时
x=
x 1+x 2y +y ,y=12 22
3. 过两点的直线斜率公式
设直线l 过点p 1(x1,y 1),p 2(x2,y 2), 则l 的斜率k=
y 2-y 1
(x1≠x 2) ； x 2-x 1
A ; B
若直线方程为Ax+By+C=0(B≠0), 则直线斜率为k=- 4. 点到直线的距离公式
设直线方程为Ax+By+C=0，点p(x0,y 0), 则点p 到直线的距离为
二. 直线方程
一般式: Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
点斜式:已知p(x0,y 0), 和斜率k ，方程为y-y 0=k(x-x0); 两点式:已知直线上的点 p1(x1,y 1),p 2(x2,y 2), 方程为
y -y 1x -x 1
= ; x 2-x 1y 2-y 1
斜截式:已知直线斜率k 和在y 轴上的截距b ，方程为y=kx+b; 截距式：已知在x 上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，方程为三、两条直线的关系
1. 两直线相交，A 1B 2-A 2B 1≠0, 方程组有唯一解，解为两直线交点。 2. 两直线平行，A 1B 2-A 2B 1=0，(斜率k=-
A
), 即斜率相等。 B
x y
+ =1； a b
3. 两直线垂直，A 1A 2+B1B 2=0，若两直线斜率存在k 1k 2=-1. 4. 两条直线的夹角 两条直线的夹角指不大于
ππ
的非负角θ，θ∈[0，]，l1到l2的角指l122
按逆时针绕交点转到与l2重合所转的角ϕ。
tan θ=
k -k A 1B 2-A 2B 1
=21
A 1A 2+B 1B 21+k 1k 2
tan ϕ=
A 1B 2-A 2B 1k 2-k 1
=
A 1A 2+B 1B 21+k 1k 2
两平行直线间的距离
四、圆的方程
标准方程：(x-x0) 2+(y-y0) 2=r2 ;(x0,y 0) 为圆心，r 为半径。 一般方程：x 2+y2+Dx+Ey+F=0,其中系数必须满足D 2+E2-4F >0。
D E 圆心为(-，-) ，半径为
r=.
222
五、直线与圆的关系
直线与圆相交，dr,或方程组无解。
圆上的点到外离圆的直线的最短距离为:圆心到直线的距离-半径
排列与组合
一、基本原理
加法原理：完成一件事有n 类办法。 乘法原理：完成一件事经过n 个步骤。 二、排列
定义：从n 个不同元素中，任取m 个元素(m≢n ), 按照一定的顺序排成一列，所有这些排列的个数，称为排列数，记为P m n 或A m n 。 当m=n时，称为全排列，记为P n n 或A n n 。 排列数公式：记n!=1*2*3*…*n,0!=1!=1 P m n =
n !
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
(n -m )!
P n n =n! 三、组合
定义：从n 个不同元素中任取m 个元素(m≢n ) ，不论顺序组成一组，这些组
m
合的个数称为组合数，记为C n 。
m 公式：C n =
n ! 0
。C n =1；
m !(n -m )!
m n -m =C n C n
m m m -1=+ C C n C n +1n
四、四类典型问题(P109) 。
摸球问题： 排队问题： 分房问题： 分组问题：
概率
一、事件的运算
事件之间常见的关系和运算 1. 包含关系，
若事件A 发生必导致事件B 发生，则事件B 包含事件A ，或称A 是B 的子事件，记为A ⊂B 。
若A ⊂B 且B ⊂A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A=B。 2．对立事件
若A B=Ω且A B=∅则称事件A 与事件B 互为逆事件或称A 与B 为对立事件，即每次试验中，事件A 与B 必有一个发生且仅有一个发生。A 的对立事件记为，显然=Ω-A 。 3．互不相容(互斥) 事件
若A B=∅，则称事件A 与B 是互不相容或互斥的，即事件A 与事年B 不能同时发生。基本事件是两两互不相容。 4．事件的和(或并)( A B 或A+B)
事件A B={x∣x ∈A 或x ∈B}称为事件A 与事件B 的和事件，当且仅当A 、B 中至少有一个发生时，事件A B 发生。 5．事件的积(或交)( A B 或AB)
事件A B={x∣x ∈A 且x ∈B}称为事件A 与事年B 的积事件，当且仅当A ，B 中同时发生时，事件A B 发生，A B 也记作AB 。 6．事件的差(A-B或A )
事件A-B={x∣x ∈A 且x ∉B}称为事件A 与B 的差事件，当且仅当A 发生B 不发生时事件A-B 发生。
图
7．事件的运算律
交换律 A B=B A ； A B=B A (AB=BA)。
结合律 (A B) C =A (B C) ； (A B) C=A (B C) 。 分配律 A (B C)= (A B) (A C) ；
A (B C)= (A B) (A C) 。
德摩根(De Morgan)律 A B = ； A B = 。
A ⊂B ⇔ A B =B且AB=A; A,B 互斥⇔AB=∅.
分别为图中阴影部分 S为Ω。
A =Ω,A =∅. 二、事件的概率及基本公式
对于任意事件A ，0≢P(A) ≢1;P(Ω)=1;P(∅)=0. 若A ⊂B ，⇒P(A) ≢P(B);
若，A 1,A 2, …A n ，两两互斥，则有P(A1 A 2 … A n )=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An ); P()=1- P(A);
P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A B C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- P(BC)- P(CA)+ P(ABC); P(A-B)=P(A)- P(AB); P( )=P(AB )=1-P(AB)
P()=P(A B )=1-P(A B)=1- P(A)-P(B)+P(AB) 若A,B 独立则P(AB)= P(A) P(B); 三、条件概率及乘法公式
在实际问题中，常常要计算在某个事件A 已经发生的条件下，另一个事件B 发生的概率，记为P(B∣A), 在古典概型中，若事件A 中包含m 个不同的基本事件，事件AB 中包含n 个不同的基本事件，则P(B∣A)= 设A,B 是两个随机事件，且P(A)>0,则称P(B∣A)= 件下B 发生的概率。
对于任意事件A,B 若P(A)>0，则P(AB)= P(A)* P(B∣A). 设A 1,A 2…A n 是n 个事件(n≣2), 且P(A1A 2…A n-1)>0，则 P(A1A 2…A n )= P(A1) P(A2∣A 1) P(A3∣A 1 A2) …P(An ∣A 1 A2…A n-1) 四、事件的独立性及独立试验序列概型
1. 若事件A 和事件B 满足P(AB)= P(A) P(B) 则称A,B 相互独立(两两独立或独立) 。
k
，一般也有， m
P (AB )
为事件A 发生条P (A )
2. 若A 与B 独立，则与B 、A 与、与都独立。(一组成立，另三组都成立) 。
3.A,B,C 为三事件，
若满足P(AB)= P(A) P(B)，P(BC)= P(B) P(C)，P(AC)= P(A) P(C), 则称A,B,C 两两独立。 4. A,B,C为三事件，若满足： A,B,C 两两独立； P(ABC)= P(A) P(B) P(C), 则称A,B,C 相互独立。
5. 若事件A 1,A 2…A n 相互独立，则一定为两两独立，而两两独立却不一定相互独立。
6. 若事件A 1,A 2…A n 相互独立，则，
P(A1 A 2 … A n )=1- P(1) - P(2) …- P(n )
7. 如果某试验的可能结果只有两个，A 与。且P(A)=p>0, P()=1-p>0,则称这一试验为伯努利试验，将伯努利试验独立的重复n 次，称为n 重伯努利试验。
在n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生k ，次的概率为：
k
C n P
k
(1-p) (k=0,1,2,…n)
n-k
这一公式称为二项概率公式。 8. 二项式定理
1(a+b)=C n 0a b +C n a b +C n 2a b +…+C n n 1a b +C n n a b
n 0n 1n-12n-2n-11n 0
在二项式展开式中，共有n+1项，其一般项为
k C n a
k n-k
b (k=0,1,2…,n)
集合与函数
一、集合：A=B：A 与B 有完全相同的元素；
A ⊂B ：A 的元素都是B 的元素；
A B ：属于集合A 或属于集合B 的全体元素组成的集合； A B ：既属于集合A 又属于集合B 的全体元素组成的集合
：属于全集Ω，但不属于集合A 的元素组成的集合。
二、函数
使得函数有意义的自变量x 的取值范围称为函数的定义域。
单调性：定义域上任意x 1 f(x2) 为增函数.
奇偶性：f(-x)=f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)为奇函数。 反函数:图像关于y=x对称。
一元二次函数y=ax2+bx+c及其图像
指数函数与对数函数
数据描述
一组数据中出现多次的那个数据叫作众数.(众数可以不唯一).
平均数常用来反映数据的总体趋势, 众数用来反映数据使得集中趋势, 中位数反映数据的中间值. 平均值= 方差与标准差
方差S
1n 21S =n
2
x 1+x 2 +x n
n
2
2
2
=[(x1-) +(x2-) +…+(xn -) ] (x1+x2+…+xn -n )
2
2
2
2
方差的算术平方根称为标准差.
方差用来反映数据的波动大小, 方差大, 波动大, 方差小, 波动小.
将某一事件出现的次数叫作这一事件的频数, 当一组数据又n 个数时，频数之和为。
频率=频数/总频数之和。频率只和为1.
在直方图中，小长方形面积表示相应各组的频率，个小长方形面积之和为1. 小长方形的高与频率成正比。