16解直角三角形s
解直角三角形
知识清单
解直角三角形
知识讲解
解直角三角形
描述考点一 锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义在 Rt△ABC 中,∠C=90∘,(以 ∠
sinA=∠A的对边=a
斜边.
cosA=∠A的邻边=b .
tanA=∠A斜边的对边a
∠A的邻边=b .
2.特殊角的三角函数值
3.三角函数的性质
(1)同角的三角函数关系
① sin2α+cos2α=1.
② tanα=sinα.
(2)互余两角的三角函数关系
① sinα=cos(90∘−α).
② cosα=sin(90∘−α) .
(3)锐角三角函数的增减性
① 当 0∘
小).
② 当 0∘
大).
③ 当 0∘0,
考点二 解直角三角形
1.直角三角形中边与角的关系
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90∘,
角 C 外的 5 个元素之间有如下关系sinA 随着 x 的增大(或减小)而增大(或减,cosA 随着 x 的增大(或减小)而减小(或增A 随着 x 的增大(或减小)而增大(或减小).,∠B ,∠C 所对的边分别为 a,b,c,那么除直A 为例)1,1tan∠A
2(1)三边之间的关系:a2+b=c2(勾股定理).∘(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90.∠A的对边∠A的邻边ba=,cosA== (3)边角之间的关系:sinA=,斜边斜边∠A的对边atanA== .b∠A的邻边
利用这些关系,知道其中 2 个元素(至少有一个是边),就可以求出其余 3 个未知元素.
2.解直角三角形的应用
解题思路及数学思想方法
(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角.如图
仰角、俯角常见图形如图,其解题策略为:从仰角、俯角入手建立它们所在的直角三角形,利
用三角函数求出物体的高.
(2)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角.如图∘
向角常见图形如图,其解题策略为:添加垂线段,构造直角三角形,利用垂线段做“桥方梁”解直角三角形,从而解决实际问题.
(3)坡角:斜面与水平面的夹角;坡度(坡比):坡角的正切值.一般用字母 i 来表示,则hi==tanα,实际运用中,常记为 i=h:l 的形式.l
例题考点一 锐角三角函数
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90∘,sinA=5
A.12
B.5
C.1313,则
12
D.
解:D.
2.AE,CF 是锐角 △ABC 的两条高,如果 AE
等于()
A.3:2 B.2:3 C.9:4 D.4:
解:B.
3.在 △ABC 中,如果 ∠A,∠B 满足 |tanA−
∠C=−−−−.
解: 75∘.
4.如图,∠BAC 位于 6×6 的方格纸中,则 tan
解: 3
.
考点二 解直角三角形
5.如图,某山坡的坡面 AB=200 米,坡角 ∠BAC
−−−− 米.
解: 100.
6.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90∘,D 是
AC 于点 E,BC=6,sinA=3
5,则 DE=−−−−B 的值为()CF=3:2,那么 sin∠BAC:sin∠ACB (cosB−12+)=0,那么 BAC=−−−− .=30∘,则该山坡的高 BC 的长为 的中点,过 D 点作 AB 的垂线交 tan:91|∠AB.
15 .7.如图,延长 Rt△ABC 的斜边 AB 到 D 点,使 BD=AB,连接 CD,若 1tan∠BCD=,则 tanA=−.−−− 3解:
3解: .如图,过点 D 作 AC 的垂线,交 AC 延长线于点 E,
由 BC,DE 均垂直于 AC 可得 BC∥DE,
所以 ∠BCD=∠CDE
所以 tan∠BCD=tan∠CDE=
设 CE 为 x,则 DE 为 3x,
又点 B 为 AD 中点,1 3
所以点 C 为 AE 中点,即 AC=CE=x,DE3x3所以 tanA===.AE2x28.如图,某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD,当光线与地面的夹角是 22∘ 时,教学楼
∘在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE;而当光线与地面夹角是 45 时,教学楼顶 A 在地
面上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离(B,F,C 在一条直线上).
(1)求教学楼 AB 的高度.
(2)学校要在 A,E 之间挂一些彩旗,请你求出 A 、 E 之间的距离.(结果保留整3152数).(参考数据:sin22∘≈,cos22∘≈,tan22∘≈)8165
解: