定比分点公式的三大应用

定比分点公式的应用

线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定

λ，则 点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段PP 12所成的比为

x 1+λx 2⎧

x =0⎪x -x y -y ⎪1+λ有 ⎨（λ≠－1） 而 λ=01=01

x 2-x 0y 2-y 0

⎪y =y 1+λy 2

0⎪1+λ⎩

特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。

定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。下面举例说明它在解题中的应用。

一、用于求解数值的范围

a+bc

, a

证明：设A (a ), B (b ), P (x ) 是数轴上的三点，P 是AB 的定比分点，则定比

a +b c

-a

x -a λ===c

b -x b -1+c

∴P 是AB 的外分点，则 x ∉[a , b ]。 二、用于解决不等式问题 例1. 已知a

a +b

1+ab

1

a +b

) 是数轴上的三点，P 分AB 的比是λ，则 证明：设A (-1), B (1),P (

1+ab

a +b -1+λ

= 1+ab 1+λ

a +b

-(-1)

a +b +ab +1(a +1)(b +1)

∴λ===

ab -a -b +1(a -1)(b -1) 1-

1+ab

a 0, P 是AB 的内分点，

∴

a +b a +b

在-1与1之间，即

定比分点公式的类比推理

从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。 1．平面几何中的定比分点：

命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=

l 1+λl 2

(λ≥0) 。 1+λ

特别地，（1）当l 1=l2时，条件为一平行四边形，结论仍成立；

（2）当l 1=0时，条件为一三角形，结论仍成立； （3）当λ＝1时，即可得到梯形的中位线公式。

证明：设BA 的延长线与CD 的延长线交于O ，由三角形相似可得

l 1AO ⎧

=⎪AB l ⎪AO +

1+λ⎨

⎪AO l 1

=⎪

⎩AO +AB l 2

(1)

(2)

l 1+λl 2

。 1+λ

由（1）（2）可得l =

2

依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题：

命题1’：设梯形ABCD 的上，下底边长分别为l 1,l 2，若平行于底边的截线EF

把梯形的面积分成上下两部分之比为λ，则有EF

2

2

l 12+λl 2

=l =（特别当

1+λ2

λl 22

l 1=0梯形退化为一个三角形时，结论为l =仍成立。）

1+λ

2

2、立体几何中的定比分点：

命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2，平行于底面的截面的面积为S 0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为λ，则有：

S 0＝

S 1+λS 21+λ

。特别地，当λ＝1

时，=

证明：将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x ，截面到上、下底面的距离分别为λh 和h ，则由截面性质定理可得：

S 1S 0

=

S x λh +h +x λh ,

2== „„„„

(1) λh +x S 0λh +x λh +x =

h

„„„„(2), 由(1) ÷ (2)

得λh +x

λ．

即：０

＋λ１２１＋λ

．

依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式：

命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2，平行于底面的截面的面积为S 0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为λ，则有

(S 0) =

2

(S 1) 2+λ(S 2) 2

1+λ

命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S 1、S 2，平行于底面的面积为S 0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为λ，则有

(S 0) 3=

(S 1) 3+λ(S 2) 3

1+λ

3

注：以上三个公式，对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题

时，有着广泛的应用。 3．数列中的定比分点：

命题3：设{a n }是等差数列，其中a p 、a m 、a n ，满足λ=

a p +λa n 1+λ

p -m

, 则m -n

a m =

(λ≠-1) 。

证明：a p =a1+(p-1)d ， am =a1+(m-1)d ， an =a1+(n-1)d

（其中a 1、d 分别是等差数列{a n }的首项与公差）

a p +λa n p -m

将a p 、a m 、a n 代入 λ= 中可得 a m =

m -n 1+λ

命题3’:设{a n }是等差数列，Ｓn 是数列{a n }的前n 项和，其中Ｓp 、Ｓm 、Ｓn

S p

+λ

S n

n

满足λ=

S p -m p

（λ≠-1），则m =m -n m 1+λ

。

证明：因为S n =na 1+

n (n -1) d d

d =⋅n 2+(a 1-) n 222

那么S n =An2+Bn，即

S n ⎧S ⎫

=An +B ，所以数列⎨n ⎬是等差数列， n ⎩n ⎭

S p

由命题3，即有

S m p =m 1+λ

+λ

S n

n

。

三、用于求函数的解析式

对于函数y=f(x),如果能够化为y =

m +n ⨯t (x )

(t (x ) ≠-1) ，就与

1+t (x )

4

y =

y 1+λy 2

的形式完全相同（只须把t(x)看成λ），用数轴上两点P 1、P 2分别1+λ

表示m 、n ，不妨设m

P 1P

=t (x ) ，则当t(x)>0时，m

当t(x)=0时，y=m;当t(x)m 。

例3. 已知二次函数f(x)满足条件：(1) f(-1)=0；(2)对一切x ∈R ，都有

1+x 2

x ≤f (x ) ≤成立，求f(x)的解析式。

2

本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话, 过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：

1+x 2

解：由x ∈R , x ≤f (x ) ≤, 可设数轴上的点P 1(x,0)、P(f(x),0)，

21+x 2

x +λ()

P 1P 1+x 2

P 2(，0) , 且，因为f(－1)=0 ,所以=λ， 则f(x)=

1+λ2PP 2

1+1

-1+λ()

=0, 解得 λ＝1， 所以f (x ) =1x 2+1x +1 。

4241+λ

四、

5