三角函数的周期性
三角函数的周期性
隐藏
目录
专题概述
典型考查方式
对型函数周期的考查
对利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简得型函数周期的考查
对利用的图象求函数周期的考查 对带绝对值的三角函数周期的考查 对利用的性质求函数周期的考查
对型函数周期的运用的考查
专题测试
专题概述
三角函数的周期性是高考的热点，一般以低档题的形式出现，要先利用公式化简所给的函数解析式，再利用周期公式求出三角函数的周期。另外，如果遇到的三角函数不能通过公式求周期，可以考虑用直接代入法或者画出函数的图象讨论其周期。解决周期问题的常用方法有：
（1）结论法，即利用结论，函数和的最小正周期均为，函数的最小正周期为求最小正周期；
（2）图象法，即作出函数的图象，利用图象来确定其最小正周期；
（3）定义验证法，即验证存在非零常
数
恒成立，则为函数，使得对于定义域内任意的值，都
有的一个周期（但不一定是最小正周期）。
典型考查方式 对型函数周期的考查 正弦函数的最小正周期为，则的最小正周期为。 余弦函数的最小正周期为，则的最小正周期为。 正切函数 的最小正周期为，则的最小正周期为。
例题：（2007江苏）下列函数中, 周期为的是____. A. B. C. D.
解答 解:根据公式
的周期为: , 排除．
的周期为:
的周期为:
故选 , 排除． , 排除． 对利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简
得
型函数周期的考查
在很多题目中，都不会直接考查型函数的周期，而会先让考生利用学过的二倍角公式，降幂公式，辅助角公式进行化简，从而得到函数的周期。那么我们就需要牢记以下几个公式：
二倍角公式：
降幂公式：
辅助角公式：
例题：（2012山东济宁模拟）函数的最小正周期为____. A. B. C. D.
解答
解: 其周期
故选 对利用的图象求函数周期的考查
解决这类问题的重点就是从题目给定的函数图象上找到函数的周期，然后再利用周期公式求解参数（）的值。
例题：（2008宁夏）已知函数____ 在区间的图象如下:那么
A. B. C. D.
解答
解:由图象知函数的周期所以．
故选．
对带绝对值的三角函数周期的考查
对于带绝对值的三角函数，
即的周期
为
，的周期为为。
例题：（2013广东东莞五校期中考试）函数的最小正周期是____. A. B. C. D.
解答
解:函数
所以函数
故选 的最小正周期为: 的最小正周期为: 对利用的性质求函数周期的考查
对于正弦函数和余弦函数，它们既是轴对称图形，也是中心对称图形，因此，相邻的两个对
称轴之间的距离为
个周期；相邻的两个零点之间的距离为个周期；对称轴与其相邻零点
之间的距离为个周期。
例题：（2011广东省广州市毕业班综合测试二）已知函数
函数
解答
解：根据三角函数的性质可知, 函数
图像上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为, 则的值为____. , 若图像上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为 即则有所以
故答案为: 对型函数周期的运用的考查
另外，三角函数的周期在解决其他问题方面也有着重要的应用，例如：数列的求和，对于三角函数型数列，可以利用其周期性求和；参数的取值方面等。
例题：（2010福建泉州模拟）已知函数____. 则
A. B. C.
D.
解答
解: 的周期 而
所以原式等于
故选
例题：（2013广东清远第一中学第二次月考）已知函数
得次最大值, 则正整数的最小值是____. 在区间
上至少取A. B. C. D.
解答 解：函数故选
的周期则所以故