平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的(1)

平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的解析计算式

王允地1 王良文2

（1. 陕西科技大学机械学院，陕西咸阳；2. 郑州轻工业学院机电学院，河南郑州 450002）

摘 要 本文对平面运动点的位移、速度和加速度进行了复矢量描述，并引入复矢量点积概念。 在此基础上，根据平面运动点的法向加速度等于速度的平方与曲率半径的比值的思想，给出了计算点轨迹曲率半径和曲率中心的通式、直角坐标式和极坐标式，还讨论了几个有代表性的分析实例。

关键词：平面运动点，轨迹曲率半径，曲率中心，解析计算式。

Analytic calculation formula for planar motion

point trace’s radius of curvature and center point of curvature

Wang Yundi Wang Liangwen

(1. School of Mech ·Eng ·,Shanxi University of Science and Technology, ShanXi ,

Xianyang, 712081, China; 2. Electric-Mech·Dep · of Zhengzhou Llight Industry Institute, Zhengzhou , 450002, China)

(1)

(2)

Abstract: The paper describes the displacement 、 velocity 、acceleration of

Planar motion point by vector, and presents vector dot matrix conception 。 under this base, according to the theory that vertical acceleration of planar motion point equals the ratio between square of velocity and radius of curvature , the general calculation formula 、the formula in form of right angle coordinates and the formula in form of polar angle coordinates for calculating motion point trace’s radius of curvature and center point of curvature are submitted . Some typical examples are discussed.

Key words: Planar motion point; trace’s radius of curvature; center point of curvature; analytic calculation formula.

0 引言

在机构的运动分析与综合中，对运动点轨迹曲率的研究十分必要。如在凸轮机构综合中，凸轮廓线曲率的变化与从动件的加速度特性有重要的关联。曲率半径变化不合适，可能导致凸轮机构无法正常工作或者凸轮不能被正确加工。有关对平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的研究和阐述散见于各相关文献。 本文对这类问题进行了系统的研究。在用复矢量描述平面运动点的位移、速度和加速度的基础上，根据动点的法向加速度等于速度的平方与曲率半径比值的理论，利用矢量点积的概念，导出了平面运动点在运动中轨迹的曲率半径和曲率中心的计算通式，以及其运动点的轨迹采用参数型变量及函数型变量表达方式时，轨迹的曲率半径和曲率中心计算的直角坐标和极坐标的表达式。通过讨论有代表性的分析实例，证明了理论的正确性。

1 点平面运动的复矢量描述 1.1位移

[1-9]

x (实轴)

图1 动点轨迹及曲率中心

如图1，动点C 在坐标系xoy 中运动，轨迹曲率中心为O c ，曲率半径为ρ，取x 轴为

实轴，y 轴为虚轴。C 点的直角坐标为（x,y ），O c 的直角坐标为（x*,y*）。矢径oc 的模为r ，

幅角为ϕ；矢径oo c 的模为r*，幅角为ϕ*。以i

oc 的复矢量表

示式成为

i ϕoc =r =re

（1）

与直角坐标的关系为

oc =x +jy

而

⎧x =r cos ϕ⎨

⎩y =r sin ϕ

（2）

1.2速度

如果已知oc 的模r 和幅角ϕ随时间t 的变化关系

⎧r =r (t )

（3） ⎨

ϕ=ϕ(t ) ⎩

那么C 点速度v 成为

（4）

速度的直角坐标便是

+j y v =x

sin ϕ =r cos ϕ-r ϕx

cos ϕ =r sin ϕ+r ϕy

（5）

1.3加速度

将（4）式对时间求导，得C 点加速度的复矢量表示式为 d v

2)e i ϕ+(r ϕ +2r )ie i ϕ (6) ϕa ==( r -r ϕ

dt 加速度的直角坐标成为

a = x +jy

2) cos ϕ-(r ϕ +2r ) sin ϕ (7) ϕx =( r -r ϕ 2) sin ϕ+(r ϕ +2r ) cos ϕ ϕy =( r -r ϕ

2 动点轨迹曲率半径及曲率中心的计算式

2.1通式

由理论力学[1]的论述可知，动点C 的法向加速度等于速度的平方与曲率半径的比值。

我们仍定义两复矢量的点积为两者的模及其夹角余弦的乘积。这样，在动点速度v 及加速a 已知的情况下，曲率半径ρ可按公式

(v ⋅v ) （8） ρ=

(iv ) ⋅a

求出。该式的计算结果为一代数值。当曲率中心O C 位于动点C 前进方向左侧时，ρ的计算结果为正值；反之，当曲率中心0C 位于动点C 前进方向的右侧时，ρ的计算结果为负值，它的绝对值才是曲率半径的长度。

在按（8）式算出ρ值后，曲率中心O C 的位置便可由公式

iv

oo c =r *=r +ρ (9)

v

算出。

将（8）式代入（9）式，得知由C 点位置矢量r 、速度v 及加速度a 所决定的，曲率中

心O c 的位置矢量r *为

(iv )(v ⋅v )

r *=r + (10)

(iv ) ⋅a

（8）式和（10）式便是由动点C 的运动参数计算曲率半径ρ和曲率中心位置r *的通式。

不难知道，将确定动点C 位置的自变量改换为其它参数，（8）式和（10）式仍然成立。 2.2直角坐标式 2.2.1参数型

, y ）和对时间的二阶导数在已知C 点的直角坐标（x,y ）及其对时间t 的一阶导数（x

（ x , y ）的情况下，由（8）式推得曲率半径的代数值ρ的计算公式为

2+y 2) (x

32

ρ=

(11)

xy

-yx 由（10）式推得曲率中O C 的直角坐标（x*,y*）为

⎧y (x 2+y 2) ⎪x *=x -

⎪

xy -yx ⎨ ⎪⎪y *=y +x

(x 2+y 2

) ⎩

xy -yx 2.2.2函数型

如果已知动点C 的直角坐标y 与x 之间的函数关系

y =y (x ) 不失一般性，设x 等于参数t ，即

⎧y =y (t )

⎨

⎩

x =t 便可由（11）及（12）式推得根据（13）式及

y '=

dy dx

和 2

y ''=

d y dx

2 所决定的曲率半径的代数值ρ及曲率中心O c 位置坐标（x*,y*）的计算式为

ρ=

(1+y '2

)

3

y ''

及

⎧y '(12⎪x *=x -+y ') ⎪⎨

y ''

⎪⎪y *=y +

1+y '2 ⎩

y ''2.3极坐标式

2.3.1函数型

已知动点C 矢径的模r 与幅角ϕ之间的函数关系，即

r =R O +S 其中R O 为常量，而

12）13）14）15）16）17）18）(19)

（ （ （ （

（

（

（

S =S (ϕ) (20)

令 S '=

dS d ϕ

=dr d ϕ

（21）

S ''=

d S d ϕ

2

2

=

d r d ϕ

2

2

（22）

利用通式类似地可以推知，动点轨迹曲率半径代数值ρ的计算式为

⎡(R +S )+S '⎤⎣o ⎦

2

2

3ρ=

(R O +S )+2S '-(R O +S ) S ''

2

2

(23)

曲率中心O C 的位置矢量r *则为 i ϕ

r *=(R O +S ) e +⎡⎣-(R O +S )S 'i ⎤⎦

(R O

(R O

2

+S )+S '

2

2

2

+S )+2S '-(R O +S )S ''

e （24）

i ϕ

2.3.2参数型

已知动点C 矢径的模r 及幅角ϕ随时间t 的变化关系

r =R O +S (t ) (25)

及

ϕ=ϕ(t ) (26)

利用通式同样地可以推知，动点轨迹曲率半径的代数值ρ的计算式为

3

⎡ ⎫⎤⎛S 2

⎢(R O +S )+ ⎪⎥

⎭⎥⎢⎝ϕ⎣⎦

ρ= (27) 2

⎛S ⎫ -S ϕ S ϕ2

R +S +2-R +S (O )(O ) ⎪

3ϕϕ⎝⎭

2

曲率中心O C 的位置矢量r *3 分析实例 3.1函数型圆

图2 函数型圆

参看图2，将

⎧⎪222⎪x +y =R ⎪x ⎪'y =- （28） ⎨

⎪

y ⎪2⎪⎪y ''=-R

⎩

y 3

代入（17）及（18）式，得

⎧ρ=-R ⎨

(y o ) ⎩

ρ=R (y o ) 及

⎧x *=o

⎨

⎩

y *=o 3.2参数型圆

x

图3 参数型圆

参看图3，将

⎧

r =R i ϕo i ωt ⎪ O e +R e ⎨v =R ωie

i ωt

⎪a =-R ω2e i ωt ⎩

代入（8）式及（10）式，得

⎧ρ=R

⎨ ⎩

r *=R i ϕ o e o

3.3椭圆

（29） （30） 31） 32） （ （

参看图4，将

⎧x =⎪y =⎪⎪x =⎨a cos ωt b sin ωt -a ωsin ωt （33）

⎪y =b ωcos ωt ⎪⎪ x =-a ω2

cos ωt ⎩y

=-b ω2sin ωt

代入（11）式及（12

图4 椭圆

⎧⎪(α2sin 2ωt +b 2cos 2

ωt 3

⎪

ρ=

) ab ⎪⎪

⎨x *=⎛ (α2sin 2ωt +b 2cos 2

ωt ) ⎫⎪cos ωt ⎪

a -⎝a ⎪⎭⎪22⎪⎛⎪y *= (αsin

ωt +b 2cos 2

ωt ) ⎫

⎪sin ⎩

b -ωt ⎝b ⎪⎭3.4渐开线

参看图5，将 ⎧

r =R e it ⎪ -R tie it ⎨v =R te

it

⎪

a =R e it +R tie it ⎩

x

图5 渐开线

34） （35） （

代入（8）式及（10）式，得

⎧ρ=Rt

（36） ⎨ it

r *=R e ⎩

3.5等进螺线

X

图6 等进螺线

参看图6，将

⎧H ⎪S =ϕ⎪

Φ⎪

⎨S '=H ⎪

Φ⎪S ''=O ⎪⎩

代入（23）式，得

23

⎡⎛R 2

H ⎢ρ=

⎢ O ϕ⎫1⎤⎣⎝H +Φ⎪+⎭Φ2⎥

⎥⎦

⎛R 2

O

+ϕ⎫2⎝H

Φ⎪+⎭Φ2

3.6简谐凸轮 参看图7，将

⎧πϕ⎪

H ⎛

1-cos ⎫⎪⎪S =

⎝Φ⎭⎪

2⎪⎪⎪H πsin πϕ

⎨S '=

Φ ⎪

2Φ⎪πϕ⎪H π2

cos ⎪S ''=2

⎪

2Φ⎪⎩

代

入（23

） 式， (37) (38)

39） 得

（

图7 简谐凸轮

⎡⎛πϕ

1-cos ⎢ R

H ⎢ O +

2⎢ H

⎢⎣⎝

3

ρ=

πϕ⎫⎤⎫⎛

πsin ⎪ ⎪⎥⎪+ ⎪⎥

2Φ⎪ ⎪⎥

⎭⎝⎭⎥⎦

2

22πϕ⎛

1-cos R O

+

2 H

⎝

3．7 摆线凸轮

πϕ⎫πϕ⎫⎛⎛πsin 1-cos ⎪ ⎪ ⎪⎪⎭2

πϕ⎫2

πcos ⎪2

2Φ （40）

图8 摆线凸轮

参看图8，将

⎧12πϕ⎫⎛ϕS =H -sin ⎪⎪

Φ2πΦ⎭⎝⎪

⎪H ⎛2πϕ⎫' （41） S =1-cos ⎨ ⎪

ΦΦ⎝⎭⎪⎪2πH 2πϕ''S =sin ⎪2

ΦΦ⎩

代入（23）式，得

⎡⎛R ϕ12πϕ⎫1⎛2πϕ⎫⎤O

H ⎢ +-sin ⎪⎥⎪+2 1-cos

H Φ2πΦΦΦ⎝⎭⎥⎭⎢⎣⎝⎦

2

2

ρ=

ϕ12πϕ⎫2⎛R O

+-sin + ⎪2

Φ2πΦ⎭Φ⎝H

2

2πϕ⎫2π⎛R O ϕ12πϕ⎫2πϕ⎛

1-cos -+-sin sin ⎪⎪2

Φ⎭Φ⎝H Φ2πΦ⎭Φ⎝

2

（42）

3.8摆线针轮理论廓线

参看图9，令转角ϕ等于时间t ，记 OP=R1 ，O'P=R2 ，O'C= l

图9 摆线针轮理论廓线

⎧⎛R ⎫

I 1-1⎪ϕ ⎪ R 2⎭i ϕ⎝

r =oc =(R -R ) e -le ⎪21

⎪⎛R ⎫

i 1-1⎪ϕ ⎛⎫⎛⎫R 1R d r ⎪R i ϕ

则有 ⎨v = Z ==5⎪ (43) =(R 2-R 1)ie -l 1-1⎪ie ⎝2⎭

R 2-R 1d ϕR 2⎭⎝⎭⎝⎪

⎪2⎛R ⎫

i 1-1⎪ϕ ⎛⎫R d v R ⎪i ϕ

a ==-(R 2-R 1)e +l 1-1⎪e ⎝2⎭⎪d ϕR 2⎭⎝⎩

将其代入（8）式，得

⎡⎛R ⎫R ϕ22⎢(R 2-R 1)-2l (R 2-R 1) 1-1⎪cos 1+l

R 2⎭R 2⎢⎝⎣

⎛R 1⎫⎤

1-⎪⎥

R 2⎭⎥⎝⎦

2

3ρ=

(R 2-R 1)

2

⎛R ⎫⎛R ⎫R ϕ2

-l (R 2-R 1) 1-1⎪ 2-1⎪cos 1+l

R 2⎭⎝R 2⎭R 2

⎝⎛R 1⎫1- ⎪

R 2⎭⎝

3

(44)

3.9双滑块机构连杆总轨迹

参看图10，记OO'=O'A=O'B=R，O' C=l ，位置矢量方程为

α

i ⎡α⎫α⎫⎤⎛⎛i (-θ+α)i θ

r =oc =R e +le =e 2⎢(R +l )cos θ-⎪+i (R -l )sin θ-⎪⎥ （45）

22⎝⎭⎝⎭⎦⎣

x

图10 双滑块机构连杆点轨迹

从该式容易判定，连杆点C 的轨迹是长轴为R +l ，短轴为R -l ，且长轴与水平方向夹角α

为的椭圆。因此，轨迹曲率半径和曲率中心可参照例3算出。

2

4 结论

1）本文较系统的对平面运动点轨迹的曲率半径和曲率中心计算的各类表达方法进行了研究和阐述。其相关理论和表达式将对机械设计中，分析运动点轨迹的曲率问题提供指导。 2）通过对圆、椭圆、渐开线、等进螺线、简谐凸轮、摆线凸轮、双滑块机构连杆点轨迹的曲率半径和曲率中心的分析计算，证明本文的相关理论的正确性。

参考文献

[1] 一种最新版的“理论力学”教材。

[2] 王允地，四杆机构连杆曲线曲率中心及拐圆的简便定法[J]。机械设计与研究，1993，

44（4）∶10—11 [3] 梁金生，曹巨江。凸轮机构从动件滚子半径的选择[J]。陕西科技大学学报，2004，22（2）∶72—74

[4] 孙恒 . 机械原理[M ].北京：高等教育出版社，

[5] 郑文纬. 机械原理[M ].北京：高等教育出版社，

[6] 彭国勋，肖正扬。自动机械的凸轮机构设计[M]。北京∶机械工业出版社，1990.12 [7] 牧野洋著，胡茂松译。自动机械机构学[M]。北京∶科学出版社，1980.7.

[8] H.H.Mabie and F.W.Ocvirk.Mechanisms and Dynamics of Machinery [M].New Y ork:John Wiley and Sons,1978.

[9] B.H. 苏瓦洛夫著，魏钟等译。食品工业自动机与生产线[M]。北京∶轻工业出版社，

1986.8.

作者简介：王允地，男，1961年2月生，陕西周至人。硕士，副教授。主要研究方向：机械学。

王允地 2005年3月拟