1测量数据误差处理与线性拟合
实验一 测量数据处理与线性拟合
一、 实验目的
1. 通过实验进一步熟悉在测量中数据处理的重要性; 2. 掌握最小二乘法的原理;
3. 熟悉利用最小二乘法进行数据处理及分析方法。
二、 实验内容
1.熟悉与掌握最小二乘法基本原理; 2.搭建测试电路;
3.测量两个测试点的电压值;
4. 求出按拟合线性方程并划出相应曲线。
三、 基本原理
1. 最小二乘法基本原理
在许多实际问题中,往往需要根据实验测得两个变量x 与y 的若干组实验数据(x 1, y 1), …(x n , y n ) 来建立这两个变量的函数关系的近似式,这样得到的函数近似式称为经验公式。
通过对实验数据的处理,能够判断x 、y 大体上满足某种类型的函数关系y =f (x , a 1, a 2, …, a s ), 但是其中s 个参数a 1, a 2, …, a s 的值需要通过n 组实验数据来确定,通常可以这样来确定参数:选择参数a 1, a 2, …, a s ,使得f (x , a 1, a 2, …, a s ) 在x 1, x 2 …x n 处的函数值与实验数据 y1, y 2 …y n 的偏差的平方和为最小,就是使
n
d (a 1, a 2, a s ) =∑[f (x i , a 1, a s ) -y i ]2 (1)
i =1
为最小,这种方法称为最小二乘法。当f (x i , a 1, a s ) 是s 个参数的线性函数时,利用求极值与解线性方程组的方法可以解决。
例如,若x 、y 大体上满足线性关系即f (x , a , b ) =ax +b ,则
d (a , b ) =∑[ax i +b -y i ]2 (2)
i =1
n
由多元极值的求法有
n
⎧∂D
⎪∂a =2∑[ax i +b -y i ]x i =0⎪i =1
⎨n
⎪∂D =2[ax +b -y ]=0
∑i i
⎪i =1⎩∂a
(3)
1
解上述关于a 、b 的二元一次方程组得
n
1n
x i y i -(∑x i )(∑y i ) ∑n i =1i =1
a =i =1n , n
1
x i 2-(∑x i ) 2∑n i =1i =1
n
n
n
b =
∑y -a ∑x
i i =1
i =1
i
n
从而求得经验公式y =ax +b 。
2. 实验电路测试电路
实验电路如下图所示:
要求自己用面包板搭建测量电路,并认真检查所搭建是否正确。在保证电路正确之后进行数
据测量。
把所测数据添到下表(总共12组数据)
2
四、 实验所需设备及元器件
直流稳压电源、面包板、电阻、高亮白光LED 一个、万用表等。
五、 实验报告要求
1. 最小二乘法基本原理系数求解公式; 2. 计算流过发光二极管的电流变化范围; 3. 按要求完整填写测试表格;
4. 提出提高测量精度的方法和措施。
六、 思考题
1.如何减小测量误差?
2.多项式拟合与最小二乘法拟合的差别?
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