矩阵的合同.相似与二次型

第２ｌ卷第３期新疆大学学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉｎｊｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖ０１．２１．Ｎｏ．３Ａｕｇ．．２００４２００４年８月

矩阵的合同、相似与二次型＋

王芳珍

（新疆大学数学与系统科学学院新疆乌鲁木齐８３００４６）

摘要：矩阵的合同关系、相似关系都是等价关系．它们虽然不同，但又有联系．对称矩阵是这两个知识点的交

汇点，即两个实对称矩阵合同当且仅当它们相似．进一步得到二次型可以通过一个正交变换化为标准型．这一理

论是高等代数教科书的重要内容．然而．现行的教科书对该理论的证明至少涉及到二次型、线性空间、线性变换

和欧氏空间的内容．本文利用欧氏空间的正交性质给出这一理论新的简洁证明，以供教学参考之用．

关键词：矩阵的合同；矩阵的相似；二次型

中图分类号：０１５１．２１文献标识码：Ａ文章编号：ｌｏｏＯ－２８３９（２００４）０３一０２４４一０２

ＣｏｎｇｒｕｅｎｔａｎｄＳｉｍｉｌａｒｉｔｙｏｆＭａｔｒｉｓａｎｄＩｔｓＱｕａｄｒｉｃＦｏｒｍ

ＷＡＮＧ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｏｆｍａｔｒｉｘ；ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｏｆｍａｔｒｉｘ；ｃｌｕａｄｒｉｃｆｏｒｍ

０引言

设Ｒ是一个实数域，Ｍ（Ｒ，儿）是Ｒ上，ｌ阶矩阵的集合．Ａ，Ｂ∈Ｍ（Ｒ川）称作是合同的，如果存在可逆的Ｃ∈Ｍ（尺，ｎ）使Ｂ—ＣｒＡＣ，这里ＣＴ表示Ｃ的转置．通常二次型厂（ｚ，，ｚ。，…，ｚ。）被定义为一个肛元二次齐次多项式，它可以表为

／（丁１，ｚ２，…，ｚ。）＝厂（Ｘ）＝ＸｒＡＸ，

这里／１是一个对称矩阵，称为二次型的矩阵，而Ｘ是一个，２元列向量．我们熟知，二次型厂（Ｘ）一Ｘｒ＾Ｘ在一个可逆的线性变换下可以化为标准型．标准型不是惟一的，但它存在一个标准型厂（Ｘ）＝Ｆ（ｙ）一Ａ。ｙ；＋Ａ。ｙ；＋…＋九弘２使得凡（ｉ一１，２，…。，ｚ）是Ａ的全部特征值（未必不同）．这一重要的结论是矩阵合同与相似理论的交汇点．虽然通行的教科书对此没有明确的阐述，但通过线性变换的理论可以推出．这里我们用矩阵理论明确的给出它的直接证明．为此我们先要引用两个结果．

引理ｌ［１］ｎ维欧氏空间存在一组标准正交基，且任何一个标准正交向量组都可以扩充成它的一组

，ｚ阶实对称矩阵的特征根全为实数．标准正交基．引理２［２］

由引理１和引理２我们可以避开线性空问、线性变换理论直接证明二次型的主要结论．未加定义的概念都是熟知的，也可参考［１］或［２］．

１主要结论

本节我们以矩阵为工具，利用欧氏空间的正交性质，首先给出定理３的一个新的证明．再利用定理３推出二次型理论的主要结果．它同时揭示矩阵的合同与相似的联系．

定理３设Ａ是一个实对称矩阵，九（ｉ＝１，２，…，九）是Ａ的全部特征值（未必不同）．则存在正交矩阵－收稿日期：２００４一０３—２４作者简介：王芳珍（１９５９一）．女，高级讲师．

万方数据　

第３期王芳珍：矩阵的合同、相似与二次型２４５Ｐ使Ｐ１’ＡＰ—Ｐ一１ＡＰ＝ｄｉａｇ（Ａｌ，Ａ２．…，Ａ。）．

证明当／Ｉ是１阶矩阵时结论是明显的．下面对对称矩阵的阶数进行归纳．按引理２，以有一个实特征值Ａ，作齐次线性方程组的解空间

矿＾＝（ｘ∈Ｒ”ｌ（ＡＥ—Ａ）Ｘ＝ｏ｝，

则ｖ。是欧氏空间甜的子空间．由引理１可取它在子空间的一组标准正交基警ｌ’．．．，％，并把它扩充成ＲＪＪ的一组标准正交基７１’．”，玑，巩＋ｌ＇．”，巩．将７。看作列向量，构作正交矩阵Ｃ一（甲・…玑玑＋，…玩，）＝（ＣｌＣ２），这里Ｃ１一（７ｔ…仇），Ｃｚ＝（仉＋・…仉）．则

ｃｒ以ｃ、＝（毳：三暑：是：三暑ｉ］一（ＡＥ７Ｂ）

注意这里，ｃｉ’Ａｃ。一ＡＥｒ，Ｂ—ｃ亨Ａｃ２且

Ｃｊ’Ａｃ２一ｃ手Ａｃｌ＝ｏ．

事实上，对任何１≤？≤，．，，．＋１≤Ｊ≤¨内积（７。Ａ玑）一杉Ａ玑一（彬１Ａ７，）ｒ一叩？’Ａ玩一Ａ衫吼一ｏ．显然，Ｂ是一个，ｌ—ｒ阶的实对称矩阵．按归纳假设有正交矩阵Ｑ使Ｑｒ觑≥一Ｑ＿ＢＱ为对角矩阵．令

Ｐ—ｃ×（Ｅ‘Ｑ）

则．Ｐ为一个正交矩阵，且有

ＰｒＡＰ—Ｐ一１ＡＰ一

又一与对角矩阵ｄｉａｇ（Ａ，，Ａ２，．一，九）相似，故＾（ｊ一１，２，…，肛）为Ａ的全部特征根．而尸为对应与于特征值的线性无关的正交特征向量构成的正交矩阵．

对于二次型厂（Ｘ）＝ｘｒＡｘ，取定理３中的正交矩阵尸，令Ｘ＝尸ｙ，则立即得到

定理４设厂（ｘ）；ｘ丁Ａｘ是一个实二次型，则存在～个可逆的正交变换ｘ＝Ｐｙ，使／‘（ｘ）一Ｆ（ｙ）一Ａ，ｙ｛＋又：ｙｉ＋…＋九ｙ：为标准型，这里Ａ；（ｊ一１，２，…，以）是Ａ的全部特征值（未必不同）．

由于对称矩阵的特征根Ａｉ（ｉ＝１，２，…，以）全为实数，在定理４中我们不妨设Ａ。，Ａ。，…，■为正数，一十，，Ａ，＋。，…，一＋。为负数，而又，一Ｏ如果ｊ＞户十ｑ．作对角矩阵厂广一广———～广——ｏ

Ｄ—ｄｉａｇ（√ＡＩ，…，√Ａｐ，√一Ａｐ＋ｌ，…，√一Ａｐ＋。，１，…，１），

于是我们可以再作可逆变换

ｙ—ＤＺ．

则二次型化为规范型

／（ｘ）＝Ｆ（ｙ）＝Ｇ（ｚ）一ｚ｛＋…＋２；一ｚ；＋１一…一。；＋。．

由此我们得到所谓的惯性定理．

Ｇ（ｚ）一ｚ｝＋…＋。；一２；＋。…・一２；＋。为规范型，这里ｐ，ｑ分别为正、负惯性指数，且户＋（７为以的定理ｓ设，（Ｘ）一ｘ下ＡＸ是一个二次型，则存在一个可逆的线性变换ｘ＝（ＰＤ）ｚ，使厂（ｘ）一秩，正、负惯性指数是惟一确定的．

在流行的教科书中（例如［１］），利用“配方法”归纳证明了比定理４较弱的命题，即实二次型可以通过一个非退化的线性替换化为标准型．又利用线性变换的理论证明了定理３．当然定理３可推出定理４，但整个证明过程涉及到线性变换理论的一系列结果。繁杂且较长．这里提供的证明是直接的，只用到欧氏空间的正交性质．它不但简洁，且给出了二次型的标准型与它矩阵的特征值和特征向量的关系，抓住了问题的本质，同时指出了两个知识点之间的联系，对教学颇有意义．

参考文献：

Ｃ１］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９８．

［２］张禾瑞，郝新．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社．１９８８．责任编辑：闰新云

万　方数据

矩阵的合同、相似与二次型

作者：

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年，卷(期)：

引用次数：王芳珍新疆大学,数学与系统科学学院新疆,乌鲁木齐830046新疆大学学报(自然科学版)JOURNAL OF XINJIANG UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2004，21(3)1次

参考文献(2条)

1. 北京大学数学系几何与代数教研室室代数小组 高等代数 1998

2. 张禾瑞. 郝新 高等代数 1988

相似文献(4条)

1.期刊论文 耿秀荣. Geng Xiurong 概念辨析过程中的数学变式教学--以矩阵的相似与合同为例 -桂林航天工业高等专科学校学报2005,10(2)

矩阵的相似与矩阵的合同这两个概念很容易混淆,所以需要对它们进行辨析.它们的相同点、不同点及二者的相互转化,都体现着数学变式教学的观点.以这一观点作为出发点和归宿,既验证了数学变式教学本身的解释力,又为辨析矩阵的相似与矩阵的合同这两个概念找到新的研究视角.

2.期刊论文 王晓玲. 侯建文 矩阵三种关系间的联系 -山西农业大学学报(自然科学版)2004,24(2)

由矩阵间的三种关系以及每种关系各自存在的条件,给出了这三种矩阵关系间的联系,即相似阵、合同阵必为等价阵;相似为正交相似、合同为正交合同时,相似与合同一致.并对这些结论作了相应的理论证明.

3.期刊论文 孙宗明. SUN Zong-ming 矩阵的合同类与矩阵的相似类 -聊城大学学报(自然科学版)2004,17(2)

F是一个数域无限域.证明了矩阵的合同类与矩阵的相似类具有"一点"与"一片"的性质,并且所有的"一片"具有相同的"面积"即,每个类的基数等于1或|F|.同时,初步讨论了合同类与相似类之间的关系.

4.期刊论文 姜景连. JIANG Jinglian 关于《高等代数》中的对称矩阵 -南平师专学报2005,24(2)

本文局限于数学系的专业基础课阐述对称矩阵的运算性质、对称矩阵与相似的关系、对称矩阵与合同的关系、对称矩阵与其他矩阵的联系,以对教学过程有一定的指导意义.

引证文献(1条)

1. 邓红. 陈昊明. 刘光斌 基于星敏感器的导弹姿态矩阵线性化解算方法[期刊论文]-战术导弹控制技术 2006(04)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xjdxxb200403005.aspx

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