山西大学附中2015-2016学年高二第一学期12月数学月考

山西大学附中

2015～2016学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断

数 学 试 题

考查时间：100分钟 考查内容：必修二 选修2-1

一．选择题：(每小题4分，共48分) 1．直线x +y -1=0的倾斜角为( ) A ．

ππ2π5π B． C． D．

3663

2．已知A (2,4),B (-4,0) ，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x +1) 2+(y -2) 2=13 B．(x +1) 2+(y +2) 2=13 C ．(x -1) 2+(y -2) 2=13 D．(x -1) 2+(y +2) 2=13

x 2y 2

+=1的离心率为( ) 3．椭圆

1003634316A ． B. C． D．

554254．设线段AB 的两个端点A , B 分别在x 轴、y 轴上滑动， 且|AB |=4，点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程是( )

x 2y 2y 2x 22222

+=1 B．x +y =4 C．x -y =4 D．+=1 A ．94259

y 2x 2

+=1共焦点且过点(1, ) 的双曲线的标准方程为( ) 5．与椭圆C ：

1612y 2y 2x 2y 2222

=1 B ．y -2x =1 C. -x 2=1 -=1 D. A ．x -3322

6．已知点P (m , n ) 是直线2x +y +5=0上的任意一点，则m 2+n 2的最小值为( ) A. 5 B. C. 5 D. 10

7．已知圆C 1:x 2+y 2=4和圆C 2:x 2+y 2-6x +8y +16=0，则这两个圆的公切线的条数为（ ）

A.0 B.1 C.3 D.4

x 2y 2x 2y 2

8．曲线+=1与曲线+=1(k

25925-k 9-k

A 长轴长相等 B 短轴长相等 C 离心率相等 D焦距相等

9．已知圆O :x 2+y 2=r 2，点P (a , b ), (ab ≠0) 是圆O 内的一点，过点P 的最短弦在 直线l 1上，直线l 2的方程为bx -ay =r 2，那么（ ）

A ．l 1//l 2且l 2与圆O 相交 B.l 1⊥l 2且l 2与圆O 相切 C ．l 1//l 2且l 2与圆O 相离 D.l 1⊥l 2且l 2与圆O 相离

⎧x +y ≤8⎪2y -x ≤4⎪

10．若变量x , y 满足约束条件⎨且z =5y -x 的最大值为a ，最小值为b ，

⎪x ≥0⎪⎩y ≥0

则a -b 的值是( )

A ．48 B ．30 C ．24 D ．16 11．已知F 1(-3, 0), F 2(3, 0) ，点P 为曲线

x 5

+

y 4

=1上任意一点，则( )

A ．PF 1+PF 2≤10 1+PF 2≥10 B．PF C ．PF 1+PF 2>10 D．PF 1+PF 2

x 2y 2

12．已知椭圆C :2+2=1（a >b >0）的焦点为F 1, F 2，若点P 在椭圆上，且满足

a b

，则称点P 为“∙”点，则此椭圆上的“∙”|PO |2=|PF 1|⋅|PF 2|（其中O为坐标原点）点有（ ）个

A ．0 B．2 C．4 D．8 二．填空题：(每小题4分，共16分)

13．若两条直线l 1:ax +(1-a ) y =3，l 2:(a -1) x +(2a +3) y =2互相垂直，则实数a 的值为_____________.

x 2y 2

-=1的左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线左支交14. 若F 1, F 2分别是双曲线

169

于A , B 两点，且AB =6，则△ABF 2的周长为__________.

15．已知线段PQ 的端点Q 的坐标是(4, 3) ，端点P 在圆(x +1) 2+y 2=4上运动, 则线

段PQ 的中点M 的轨迹方程是_______ ______.

16．过点直线l 与曲线y =（22，0）4-x 2交于A , B 两点 ，O 为坐标原点，当∆ABO

的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_____________. 三．解答题：（共36分） 17. （本小题满分8分）

求过点P （2的圆x 2+y 2=4的切线的方程. 23）

18. （本小题满分8分）

x 2

+y 2=1及点B (0, -3) ，过左焦点F 1与B 的直线交椭圆于C , D 两点，已知椭圆2

F 2为椭圆的右焦点，求∆CDF 2的面积．

19．（本小题满分10分）

已知方程x 2+y 2-2x -4y +m =0． （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x +2y -4=0相交于M , N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m 的值.

20. （本小题满分10分）

x 2y 2已知点A (0, -2) ，椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的离心率为，F 是椭圆E 的

2a b

右焦点，直线AF 的斜率为

23

，O 为坐标原点． 3

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．

121．解：k =-3，所以α=

月月考答案

2

π．故选C 3

2．解：圆心为AB 的中点，为C

(-1,2) 。直径为|AB

|=r =所求的圆的方程是(x +1) +(y -2) =13。故选A 。

3．解：由椭圆方程知a =100, ∴a =10，b =36, ∴b =6，那么

2

2

2

2

c =a -b =36, ∴c =6，可得椭圆离心率为e =

222

c 4

=. 故选B a 5

4．解：因为M 是AB 的中点，所以

22x +y =4故选B 径的圆，方程为

OM =

1

AB =22，所以M 是以O 为圆心，2为半

y 2x 2

5．解：选C 椭圆＝1的焦点坐标为(0，－2) ，(0,2)．

1612

31⎧22⎪1，y x

设双曲线的标准方程为1(m >0，n >0)，则 ⎨m n

m n

⎪⎩m ＋n ＝4，

2

2

解得m ＝n ＝2.

(0,0)的距离的最小值，也就是点

6．解：求m +n 的最小值，即求点P (m , n ) 与点

到直线2x +y +5=0的距离，所以m +n 的最小值

=A 正确.

考点：点到直线的距离、动点问题.

2

2

(0,0)

22

d =

=，故

7．解：圆C 1:x 2+y 2=4圆心为(0,0)，半径为r 1=2，圆C 2:x 2+y 2-6x +8y +16=0变形为(x -3)+(y +4)=9，圆心为(3, -4)，半径为r 2=3，因此圆心距为

d =5=r 1+r 2，所以两圆相外切，共有3条公切线，故选C

8． D

9．解：因为点P (a , b ),(ab ≠0) 是已知圆内一点，所以a +b

2

2

2

b 1a

=-，而k l 2=，所以

a k OP b

a b 2r 2

k l 2⨯k l 2=-⨯=-1，所以l 1⊥l 2，圆心O 到直线l

2>=r ，

b a r 从而直线l 2与圆O 相离，所以选D.

10．解：画出可行域，如图．

联立⎨

⎧x +y =8, ⎧x =4,

解得⎨即A 点坐标为(4,4)，

⎩y =4. ⎩2y -x =4,

由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，

z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24. 故选C ． 11．解：由题意知满足

PF 1+PF 2=10

的点

在以F 1(-3, 0), F 2(3, 0) 为焦点，2a =10的椭圆上，

x 2y 2

+=1

所以椭圆方程为2516；

x y +=1A (-5,0)、B (0, -4)、C (5,0)、

D (0,4)54曲线表示的图形是以为顶点的菱

x

形，而菱形除了四个顶点外都在椭圆内部，因此，曲线5PF 1+PF 2≤10足

，故选B ．

+

y 4

=1

上任意一点，必定满

x 2y 2|x ||y |PF +PF 2≤10

+≤+=1, 必定满足1法二 ，故选B ． 251654

12．解一：设椭圆上的点P (x 0, y 0) ，可知P F x , P F =+a 1=a -e 0

2

，0

e x 因为

x 02PO=PF 1⋅PF 2，则有a -e x 0=x 0+y 0=x 0+b (1-

2) ，解得x 0=±，

a 2

2

2

2

2

2

2

2

因此满足条件的有四个点，故选C ．

2222

解二 b 2≤|PF 1||PF 2|≤a , b ≤|PO |≤a , b ≤|PO |≤a , 因此满足条件的有四个点，故选C ．

13．解：当两直线垂直时，有

A 1A 2+B 1B 2=0，即a a -1+1-a 2a +3=0，解得

()()()

a 的值为1或-3

14. 28

15．解：设M 点坐标(x , y )、P 点坐标为(x 0, y 0)

4+x 03+y 0

=x x 0=2x -4，=y y 0=2y -3 222222

=4从而 (2x -4+1)+(2y -3)=4 P 在圆上∴(x 0+1)+y 0

M 为PQ 中点∴

22

则M 点轨迹方程(2x -3)+(2y -3)=4, (x -) +(y -) =1

22

3232

16．解一：如图：∵S AOB ＝OA OB sin ∠AOB sin ∠AOB ≤当∠AOB 12121， 2

π

2

时，S AOB 面积最大．此时O 到AB

的距离d 设AB

方程为y ＝k (x －

(k

由d

得k . 解二 ：曲线y

若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y

＝k (x ， 则点O 到l

的距离d =又S △AOB ＝

.

1

|AB |·d 2

11-d 2+d 21=， ＝⨯d =≤

222

112k 21222

=，∴k 2=

，∴当且仅当1－d ＝d ，即d ＝时，S △AOB 取得最大值．所以2

23k +12

. 故选B. k =17 解（1）当斜率存在时，设切线方程为y -23=k (x -2) ,

即kx -y -2k +23=0 2分

d =2,

得k =

|-2k +23|

k +1

2

=2, 3分

, 4分 3

x -y +4=0, 5分

总之 切线方程为x -3y +4=0和 x =2

（2）当斜率不存在时，切线方程为 x =2 7分

18 解：∵椭圆分

+y=1左焦点是F 1，∴F 1（﹣1，0）∴直线CD 方程为y=﹣3x ﹣3， 1

2

⎧y =-3x -3⎪2由⎨x 2得19x +36x+16=0，而∆>0， 2分 2

⎪+y =1⎩2

36⎧

x +x =-2⎪⎪119

设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则⎨ （3分）

16⎪x x =12⎪19⎩

∴|CD |=

(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=(1+9)[(-

6

362642

（5分） ) -4⨯]=

19199

又F 2到直线DC 的距离d =

故∆CDF 2的面积S=|CD|•d= （8分）

19

解法二 ∵ 椭圆

+y=1左焦点是F 1（﹣1，0）

2

， 6分

∴直线CD 方程为y=﹣3x ﹣3， 1分

⎧y =-3x -3⎪ 联立⎨x 2 消去x 得：19y 2+6y -9=0, 而∆>0 2分

2

⎪+y =1⎩2

6⎧

y +y =-2⎪⎪119∴⎨ 3分

⎪⎪⎩

y 1y 92=-

19∴ |y 62361-y 2|=

(y 1+y 2) 2-4y 1y 2=(-

19) +19=

19

5又|F 1F 2|=2 6∴∆CDF 2的面积S=|F 1F 5

2|•|y 1-y 2|=19

19．解：（1）x 2+y 2-2x -4y +m =0

D=-2，E=-4，F=m , 由D 2+E 2

-4F =20-4m >0 得m

⎩x 2+y 2

-2x -4y +m =0

消去y 得：5y 2

-16y +8+m =0， 5分∴ ∆=162

-20（8+m ）>0, 得m

且y 168+m

1+y 2=5，y 1y 2=5

∵OM ⊥ON ∴ 即x 1x 2+y 1y 2=0 又x 1x 2=（4﹣2y 1）（4﹣2y 2）=16﹣8（y 1+y2）+4y1y 2， ∴5y 1y 2-8(y 1+y 2) +16=0 ∴m =

8

5

符合条件 方法二：消去y 得到x 的一元二次方程类似给分

20 解：(1)设F (c ，0) ，由条件知，23

c ＝3

，得c ＝3. 又c a 3

2

a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. x 2故E 的方程为4

＋y 2

＝1. 4

(2)当l ⊥x 轴时不合题意，

故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2) ． 分 分 8分 4分

6分

7分

8分 9分 10 分

2

x 22

将y ＝kx －2代入y ＝1得(1＋4k 2) x 2－16kx ＋12＝0，

43

∴ Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>，

4且x 1+x 2=

16k 12

x x =, 5 1222

1+4k 1+4k

k ＋4k －3

从而|PQ |＝k ＋1|x 1－x 2|＝.

4k ＋12

又点O 到直线l 的距离d ＝ 6

k ＋1

44k －31

所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝d ·|PQ |＝. 7

24k ＋1

4t 4

设4k －3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝＝.

4t ＋4

t ＋t

4因为t ＋4，当且仅当t ＝2，即k ＝Δ>0， 9

t 2

777

所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x －2. 10

222