1-3-2.1函数的奇偶性的定义
1.3.2-1函数的奇偶性
要点精析
【知识梳理】
1. 定义:一般地,对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ,都有f (-x ) =f (x ) ,那么函数f (x ) 叫偶函数(even function). 如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f (-x ) =-f (x ) ),那么函数f (x ) 叫奇函数(odd function ).
2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数图象关于y 轴轴对称.
【难点释疑】
一、函数奇偶性的定义
1、理解定义抓住关键词“任意”和“都有”. 根据定义奇函数或偶函数的定义域关于原点对称. 故在说明x 2224(-2) 2
=,因为f(-2)≠-f(2),所函数y =不是奇函数时,可以求出f (-2) ==-4和f (2)=2+13x +1(-2) +1
x 2
以根据定义y =不是奇函数;也可以根据1在定义域内而-1没有在定义域内,说明函数的定义域不关x +1
x 2
于原点对称,故y =不是奇函数 x +1
2、特别地,如果f(x)是奇函数,且定义域中有实数0,则当x=0时,根据定义有f(–0)=-f(0),故f(0)=0.
a ⋅2x +a -2A2、若f (x ) =是奇函数,则a= . x 2+1
答案:1.
点评:因为定义域中有实数0,故根据f(0)=0即可求出a 值.
3、根据定义如果一个函数的既是奇函数又是偶函数,那么它的解析式一定可以化为f(x)=0,它的图象一定在x 轴上,但是这样的函数不唯一,因为不同的定义域表示不同的函数,如f(x)=0,x∈R ;f(x)=0,x∈[-1,1];f(x)=0,x∈{-1,1};f(x)=0,x∈{0}表示不同的函数,但它们都既是奇函数又是偶函数.
二、判断函数奇偶性的步骤
(1) 求出函数f(x)的定义域.
(2) 若定义域不关于原点对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数;如果关于原点对称,化简f(x)的解析式,并求出f(-x)
(3) 若对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x)=0,则f(x)既是奇函数又是偶函数; 若对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x)≠0,则f(x)是偶函数;
若对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x)≠0,则f(x)是奇函数;
若存在一个x ,使得f(-x)≠±f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
三、几个结论
1、奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数;奇函数±偶函数=非奇非偶函数; 奇函数×奇函数=偶函数;偶函数×偶函数=偶函数;奇函数×偶函数=奇函数.
2、已知函数f(x)=a0+a1x+a2x 2+a3x 3+…+an x n ,当f(x)只含有奇数次幂时,f(x)是奇函数,当偶数次幂(常数项是偶次幂) 时,f(x)是偶函数.
【拓展延伸】
一、函数图象自身关于直线χ=a对称
把握住函数关系式与对称轴方程之间的这一联系,如下结论便应运而生.
我们不难证明上述结论正确,上述三个函数图象自身关于直线χ=a对称的结论彼此等价,这为我们解决相关问题时灵活转换,巧妙变通提供了理论的支持.
二、函数图象自身关于点(a,0)对称
结论1
把握住函数关系式与对称中心横坐标之间的这一联系, 获得以下结论便水到渠成.
结论2.
结论3.
上述三个等价结论, 为解决相关问题过程中的灵活选择, 适时转换提供理论支撑.