洛必达法则使用中的5种常见错误

洛必达法则使用中的5种常见错误

【Young Way’s Work】

求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。

在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：

0

,,,0,0,1,00（其中后面3种可以通过AelnA进行转换） 0

的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。 17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。

在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。

错误：limxelimx(e)lim1e(

x0

x0

x0

1

x

1x

1x

1

)

 x2

1e()

ex xelimlim正确：lim

x0x01x01

()

xx

1

x

1x

1x

x33x23x236x61

limlimlim 例：错解 lim3

x12xx24x3x16x22x4x112x2x1122x33x23x236x3

limlim正确解：lim3

x12xx24x3x16x22x4

x112x25

excosxexsinxexcosx2

limlim1 lim

x0x0sinxxcosxx0cosxcosxxsinxxsinx2excosxexsinx

lim 正确解：lim

x0x0sinxxcosxxsinx

excosxexcosxexsinx

limlim 更好的解法：lim2x0x0x0xsinx2xx

经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则

上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算

1cos2x

x

1

xsin2x

sin2xxsinxcosxsinx(sinxxcosx)limlim 2242x2x0x0xxxx(e1)

＝lim

sinxxcosxxsinx1

lim

x0x03x23x3

求n

limn

错解：属于型，先进行变形

1

n

1lnnn

lnnnnlim

1limn1

n

limnlimnlime

n

n

ee

e01

错误原因：f(n)n是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。 正确的解：

1x

1lnxx

lnxxxlim

1limx1

x

limxxlimx

lime

xx

ee

e01

因为

x

lim

limn1（这是“一般”到“特殊”的过程） x1 所以

n

lim

xsinx1cosx1cosxxsinx

lim，而lim不存在，所以lim不存在

xxxxx11x

正确解： lim

xsinx1

lim(1sinx)1存在

xxxx

lim

2xcosx2sinx2sinx2xcosx

lim，因为lim不存在，所以lim不存在

x3xsinxx3cosxx3cosxx3xsin

x

cosx

2xcosx2 正确解：limlimx3xsinxxsinx3

3

x

2

设f(x)在某U(0,)存在，且f(0)1,f(0)2求lim

x

x01f(x)

错解：lim

x111

lim

x01f(x)x0f(x)f(0)2

错误原因：f(x)在x=0处未必连续。（选择题可以用此解法，这是一种策略） 正确解：lim

x1111

limlim（导数定义）

x01f(x)x0f

(x)1x0f(x)f(0)f(0)2

xx0

f(xh)2f(x)f(xh)

2

h

f(x)在x处二阶可导，求lim

h0

错解1：lim

h0

f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)2f(x)f(xh)

limh02hh2

＝

1f(xh)f(x)f(xh)f(x)1f(xh)f(x)f(xh)f(x)

limlimh0h02h2hh

＝

1

limf(x)f(x)＝0 2h0

错误原因：没有分清在极限过程中h和x谁是变量，谁是常量 错解2 ： lim

h0

f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)f(xh)

lim 2h02hh

＝lim

h0

f(xh)f(xh)1

limf(x)f(x)f(x)

22h0

h0

错误原因：二阶导函数未必连续，即：limf(xh)f(x)不一定成立

注：由f(x)存在，但f(x)不一定连续，所以第2个等号后面不符合罗必达法则的条件

正确解： lim

h0

f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)f(xh)

lim h02hh2

＝

1f(xh)f(x)f(x)f(xh)

1f(xh)f(x)f(xh)f(x)

limlim2h0h2h0hh

1

2

＝[f(x)f(x)]f(x)（这是由导数定义得到的）

0f(x),lim

是不是一个确定的常数或者

0

f(x),g(x)是不是可导 g(x)

对于侧重于计算的填空题和选择题，我们主要验证 的验证级别

对于侧重于概念的计算题和证明题，要特别注意验证条件。 习题：lim(

x0

1

cot2x) 答案2/3 2x

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