有理数知识点
一、有理数
1、有理数的概念
⑴______、______、______统称为整数(0和正整数统称为______自然数)
⑵______和______统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。 理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8„也是偶数,-1,-3,-5„也是奇数。
2、有理数的分类
总结:①正整数、0统称为______(也叫自然数)
②负整数、0统称为______
③正有理数、0统称为______
④负有理数、0统称为______
二、数轴
3、数轴的概念
规定了______,______,______的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的______;
⑵______、______、______是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要______;
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
4、数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是______关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
5、利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数______;
⑵正数都______0,负数都______0,正数______负数;
⑶两个负数比较,距离原点______的数比距离原点______的数小。
6、数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是______,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是______,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是______,无最小的负整数
7、a 可以表示什么数
⑴a>0表示a 是正数;反之,a 是正数,则a>0;
⑵a
⑶a=0表示a 是0;反之,a 是0, ,则a=0
8、数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
三、相反数和绝对值
1、相反数定义
只有符号不同的两个数叫做互为_____,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是_____。 注意:⑴相反数是_____出现的;
⑵相反数只有符号不同, 若一个为正, 则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身, 相反数为本身的数是0。
2、相反数的性质与判定
⑴任何数都有_____,且只有一个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为_____,和为0的两数互为_____。
3、相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于_____对称。
4、相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5); ⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b );
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)
5、相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a 是任意有理数,可以是正数、负数或0。 当a>0时,-a
当a0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
6、多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
7、绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的_____,记作|a|。
8、绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它_____;
⑵一个负数的绝对值是它的_____;
⑶0的绝对值是_____。
可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=_____;
②如果a
③如果a=0,那么|a|=____。
可归纳为①:a ≥0,|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。) ②a ≤0|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
9、绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有_____。所以,a 取任何有理数,都有|a|_____0。即
⑵ 0的绝对值是0;绝对值是0的数是0,即:a=0 |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是_____.即:|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都_____原数。即:|a|≥a ;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a ; ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数_____或互为_____。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就_____。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
10、有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
11、绝对值的化简
①当a ≥0时,|a|=a;
②当a ≤0时,|a|=-a
12、已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
四、有理数的加减
1.(1)加法法则
①同号相加, 取相同符号, 并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数加减, 取___________的符号, 并用较大的绝对值
________较小的绝对值.
③一个数同0相加, 仍得这个数.
④_______相加结果一定得0。
(2)交换律和结合律
有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样) 用字母表示为:
交换律:a+b=b+a
结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
2. 运算要点:
(1)同号相加符号不变, 异号相加变减. 欲问符号怎么定, 绝对值大号选。
(2)在进行有理数加法运算时,一般采取:1. 互为相反数的先加(抵消);2. 同号的先加;
3. 同分母的先加;4. 能凑整数的先加;5. 异分母分数相加, 先通分, 再计算。
3. 有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的________。其中:两变:减法运算变加法运算,减数变成它的相反数。一不变:被减数不变。可以表示成: a -b =a +(-b )。
五、有理数的乘方
1.乘法运算法则:
(1)两数相乘,同号为_____,异号为_____,并把绝对值相乘。
(2)任何数字同0相乘,都得0。
(3)几个不等于0的数字相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有______个数时,积为负;当负因数有______个数时,积为正。
(4)几个数相乘,有一个因数为0时,积为0.
2. 除法运算法则:
(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数。(注意:____没有倒数)
(2)两数相除,同号为正,异号为负,并把绝对值相除。
(3)0除以任何一个不等于0的数,都等于0。
(4)0在任何条件下都不能做______。
3. 乘方 求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。
六、有理数的混合运算
1.加法交换律:a +b=b+a ; 加法结合律:(a +b)+c=a +(b+c); 乘法交换律:a b=ba ; 乘法结合律:(a b)c=a (bc);
乘法分配律:a (b+c)=a b+a c
这个算式里,含有有理数的加减乘除乘方多种运算,称为有理数的________。
2. 有理数加减混合运算步骤:
(1) 利用减法法则,将减法统一为加法.
(2) 省略加号的和的形式,简化算式.
(3) 运用加法交换律、结合律,使运算简单.
3.进行有理数加减混合运算使用交换律、结合律的简便方法
(1)使符号相同的加数放在一起.(2)互为相反数的放在一起.
(3)使和为整数的加数放在一起.(4)使分母相同的加数放在一起.
(5)有理数混合运算的运算顺序规定如下:
①先算_____,再算______,最后算_______;
②同级运算,按照从_________的顺序进行;
③如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的。
(2)①小括号先算;
②进行分数的乘除运算,一般要把带分数化为假分数,把除法转化为乘法;
③同级运算,按从左往右的顺序进行,这一点十分重要。