新郑一中分校第三次全真模拟

新郑一中分校第三次全真模拟试卷

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．多

选错选均不得分） 1．若集合A＝{x｜y

1}，B＝{y｜y＝x－1，x∈R}，则有( ) A． A＝B B． A∩B＝B C． A∩B＝A D．A∪B＝R 2．已知

2

＝2－i （是z的共轭复数），则复数z在复平面内对应的点位于( ) 1＋2i

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限



3．同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线x对称；③在(,)上是增函数。”的一

363

个函数是

( )

x

A．y)

26x

B．y) C．ycos(2x) D．ysin(2x)

2636

x2y2

4.直线x2y20经过椭圆221a＞b＞0的一个焦点和一个顶点，

ab

则该椭圆的离心率为( ) A.

2 5

B.

1 C. 25

D.

2

3

5．如右图所示的程序框图输出的结果是( )

A．－5 B．5 C．－6 D．6 6．已知区域M：x

2

y22x2y20，区域N：2xyx，

随机向区域M中投放一点，该点落在区域N内的概率为（ ）

11A. B. C. D.

8448

7.函数y＝cos2x－2cosx的值域为（ ） A．[－1，1] B．[－1，3] C．[－

33

，3] D．[－，－1] 22

8．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于 A．

12

B．

3 3

C

D

第8题图

9．．已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F1

0），F2

0），点P是此双



曲线上的一点，且PF1·PF2＝0，｜PF1｜·｜PF2｜＝4，该双曲线的标准方程是( )

x2y2x2y2x2y2x2y2A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1

43345225

2xx3(x0)



10.已知函数f(x)1x，若x0是yf(x)的零点，且0tx0，则f(t) （ ） x

()log2(x0)3

A.恒小于0 B.恒大于0 C.等于0 D.不大于0 11．下列命题正确的是( ) A.函数ysin(2x



3

)在区间(



,)内单调递增 36

B.函数ycos4xsin4x的最小正周期为2 C.函数ycos(x D.函数y=tan(x



)的图像关于点(,0)成中心对称

63

)的图像关于直线x





3



6

成轴对称

12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x[0,2]时，f(x)log2(x1)，甲，乙，丙，

丁四位同学有下列结论：甲：f(3)1；乙：函数f(x)在[-6，-2]上是增函数；丙：函数f(x)关于直线x4对称；丁：若m(0,1)，则关于x的方程f(x)m0在[-8,8]上所有根之和为-8，其中正确的是( )

A. 甲，乙,丁 B. 乙,丙 C. 甲,乙,丙 D. 甲,丁

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．

，c分别为A，B，C所对的边，S为ABC的面积．若向量13．在ABC中，已知a，b

p(4，a2b2c2)， q(1，S)满足p//q，则C= ．

y＋x≤1,

y

14．设实数x，y满足不等式组y－x≤1,则的取值范围是________．

x＋2y≥0,



15．锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a2bsinA,ac8,则△ABC的面积是________. 16．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB＝AA1＝2，AC＝1， ∠BAC＝60°,则此球的表面积等于_______________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）

已知函数f(x)2x2cos2x1. （Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）设ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c

，且cf(C)3,

若2sinAsinB,求a,b的值．

18.（本题满分12分）

如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，

ADDE2AB，且F是CD的中点．

（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；

（Ⅱ）设AB=1，求多面体ABCDE的体积．

19.（本小题满分12分）

某校高一某班的一次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

x2y21（a>b>0

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：2＋2＝F1、

ab1

F2，点P是坐标平面内的一点，且｜OP

PF1·PF2＝（点O为坐标原点）．

2 （Ⅰ）求椭圆C的方程；



（Ⅱ）直线y＝x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使OM＋ON＝λOA，λ∈

（0，2）求△OMN面积的最大值．

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝(x2－a)ex（e为自然对数的底数），g（x）＝f（x）－b，其中曲线f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为－3． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设方程g（x）＝0有且仅有一个实根，求实数b的取值范围．

22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线

PBC交圆O于点B、C，APC的平分线分别交

AB、AC于点D、E．

（1）证明：ADEAED； （2）若ACAP,求

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．

已知点P(1cos,sin)，参数[0,]，点Q在曲线C：

92sin(

PC

的值． PA



4

上．

)

（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程； （2）求点P与点Q之间距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)log2(|x1||x2|m）． （1）当m7时，求函数f(x)的定义域；

（2）若关于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范围．

新郑一中分校第三次全真模拟试卷 文科数学参考答案及评分标准

一．选择题: 1-5 CDDAB 6-10 ACACB 11-12 CD 二．填空题：

（13）4

（14）[0,12]

（15）2 （16）8

三．解答题：

17.．解：

（Ⅰ）∵f(x)2xcos2x22sin(2x



6

)2

令 



2

2k2x



6

2

2k,.解得



3kx



6k

∴f(x)的单调递增区间为

3k,6k

(kZ) (6分)

（Ⅱ）由题意可知，f(C)2sin(2C

6

)23

∴sin(2C



6

)

1

2

∵0C ∴2C



6





5

6

或2C



6

即C0（舍去）或6



3

∵2sinAsinB即2ab c2

a2

b2



2acbo

a23

b2

ab 3

解得a1，b2 (12分)

18.解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=1

2

DE． 又AB//DE，且AB=

1

2DE.∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，

AF//BP．

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， AF//平面BCE．

（II）∵直角梯形ABED的面积为

12

2

23， C到平面ABDE

2 ∴四棱锥C－ABDE

的体积为V1

3

3ABCDE

19.(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08， (2分)

由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为22

0.08

=25， (4分)

(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2=4； (6分)

频率分布直方图中[80,90)4

25

.016． (8分)

(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，

∴∴

在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，

(5,6)共15个， (10分) 其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，

9

故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是． (12分)

15 (20) 解：（Ⅰ）设P(x0,y0),F1(c,0),F2(c,0),

由OP

2

得x2y2

5002， 由PFPF12cxx1

12得(0,y0)(c0,y0)2

，

即x22c2

10y02

所以c

caa23,b21 椭圆C的方程为：x2

3

y21； yx

（Ⅱ）解法一:由x2



3

y21

得A， ykxm设直线MN的方程为ykxm,联立方程组

x2 2

3

y1消去y得：(13k2)x26kmx3m230 设Mx1,y1,Nx2,y2,

x6km3m2则x1213k2

,xx3

1213k2 y1y2k(x1x2)2m

2m

13k2

∵OMONOA

，∴x1x2

2，y1y22



得k13mMN

3,m,于是x1x22,xx9m29124 „„1分

„„2分

„„3分 „„4分 „„5分 „„6分 „„8分

|MN|x1x2|

, „„9分

2

又0,O(0,0)到直线MN

的距离为d

10

1∴SOMN

2|MN|d410当m

,

即时等号成立，S

OMNyx

解法二:由x2

2得A， 

3

y1

22x2

1y211x设M则3

1,y1,Nx2,y2x2

2y23

21

∴x1x23y1y2y1

2

yxx0„„„„① 21

∵OMONOA，

∴x1x2

，y11y2代入①得kMN3， 设直线MN

的方程为y

13(x

)，即，

代入椭圆方程得

4y2y21

0,

y21

1y2,y1.y24

，

MN||y|1y2| 又O(0,0)到直线MN

的距离为h

∴S1OMN

2|MN|h4

2

，



2

，

„„12分 „„5分

„„6分

„„7分 „„9分

„„11分

当时等号成立，S

OMN的最大值为

„„12分 2

（21）解：（Ⅰ）f'(x)2xex(x2a)ex(x22xa)ex „„1分

f'(0)ae0a

由题意知f'(0)3a3

于是f'(x)(x3)(x1)ex „„3分 当x3或x1时,f'(x)0，f(x)是增函数； „„4分 当3x1时,f'(x)0，f(x)是减函数； „„5分 所以f(x)的单调增区间是,3,1,，单调减区间是3,1. „„6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

3

当x3时，f(x)有极大值，为f(3)(93)e

6

； „„8分 3e

当x1时，f(x)有极小值，为f(1)(13)e12e. „„9分

x

又e

0,当xx时，f(x)0. „„11分

因为方程g(x)0有且仅有一个实根，所以b所以实数b的取值范围是bb

6

或b2e. 3e

6或b2e. „„12分 e3

22． 解：(1)∵ PA是切线，AB是弦， ∴ ∠BAP=∠C，

又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED． (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

PCCA

, PAAB

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠APC=∠BAP=

×90°=30°．

在Rt△ABC中，23． 解(1)由又由

=

CAPCCA



∴ 1

AB

PAAB

x1cos,22

得点P的轨迹方程 (x-1)+y=1(y≥0),

ysin,

9)

4

2

2

，得=

9

, ∴ sincos=9．

sincos

∴曲线C的直角坐标方程为 x+y=9．

(2)半圆(x-1)+y=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为

PQ｜min

． 24解：（1）由题设知：xx27， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

x21x2x1

，或，或 

x1x27x1x27x1x27解得函数f(x)的定义域为(,3)(4,)；

（2）不等式f(x)2即xx2m4，

xR时，恒有xx2(x1)(x2)3，

不等式xx2m4解集是R，

m43,m的取值范围是(,-1]