普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第六章 万有引力定律
第六章 万有引力定律
习题解答
6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T 沿圆轨道运行,试用开普勒第三定律证明:一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为t =2π
证明:物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度:
a =v 2
R =(2πR
T ) ⋅21
R =4πR /T 222由自由落体公式:R =
(此题原来答案是:t =T
4212at , t =2R /a =T 2π ,这里的更正与解答仅供参考)
2630126.2.1 土星质量为5.7×10kg ,太阳质量为2.0×10kg ,两者的平均距离是1.4×10m. ⑴太阳对土星
的引力有多大?⑵设土星沿圆轨道运行,求它的轨道速度。
解:⑴据万有引力定律,太阳与土星之间的引力
f =GMm/r=6.51×10×2.0×10×5.7×10/(1.4×10)
≈3.8×10N
2⑵选择日心恒星参考系,对土星应用牛顿第二定律:f=mv/r
v =fr /m =3. 8⨯10222-[1**********]⨯1. 4⨯012/5. 7⨯1026≈9. 7⨯10m /s 3
6.2.3 ⑴一个球形物体以角速度ω转动,如果仅有引力阻碍球的离心分解,此物体的最小密度是多少?由此估算巨蟹座中转数为每秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果。⑵如果脉冲星的质量与太阳的质量相当(≈2×1030kg 或3×105M e ,M e 为地球质量),此脉冲星的最大可能半径是多少?⑶若脉冲星的密度与核物质相当,它的半径是多少?核密度约为1.2×10kg/m.
解:⑴设此球体半径为R, 质量为m. 考虑球体赤道上的质元Δm, 它所受到的离心惯性力最大 f *=Δm ω
2173R ,若不被分解,它所受到的引力至少等于离心惯性力, 即 Gm Δm/R=Δm ωR ∴ m=ωR /G ,而 m=4
34πG
22223πR 3ρ/3,代如上式,可求得,ρ=脉冲星的最小密度ρ=3⨯(30⨯2π)
4π⨯6. 51⨯102 14-11≈1. 3⨯10kg /m 3
⑵据密度公式,m =ρV=4πR 3ρ/3 ,∴R 3=3m/(4πρ)
R =33⨯2⨯10
330/(4⨯3. 14⨯1. 3⨯103014) =1. 5⨯10km 172⑶R =3⨯2⨯10/(4⨯3. 14⨯1. 2⨯10) =16km
6.2.4 距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8光
分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质量。
解:设银河系、太阳、地球的质量分别为M 、m 、m' ;太阳距银河系中心的距离为r=2.5×104光年=2.5×104×365×24×60光分=1.31×106光分,绕银河系中心公转角速度为ω=10-8×2π/1.7年;地球距太阳的距离为r'=8光分,绕太阳公转角速度为ω'=2π/年
分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律:
Gmm'/ r' 2 = m'ω' 2 r' (1) GMm / r2 = mω2 r (2)
由(1)可得G=ω' 2 r' 3/m,代入(2)中,可求得
ωM =(ω) (r r ' ) m =(' 2311. 7⨯10⨯10(1. 318) m =1. 53⨯108) 26311m
6.2.5某彗星围绕太阳运动,远日点的速度为10km/s,近日点的速度为80km/s。若地球在半径为1.5
×10km 圆周轨道上绕日运动,速度为30km/s。求此彗星的远日点距离。
解:角动量守恒mv 1a =mv 2b ⑴
能量守恒 1
28mv 1-G
M m '
R 22M m a 2=12mv 2-G 2M m b ⑵ 牛二定律 G =m ' v R ⑶
⑴, ⑵, ⑶联立,解得 a = 3×108 km
6.2.6 一匀质细杆长L ,质量为M. 求距其一端为d 处单位质量质点受到的引力(亦称引力场强度)。
解:选图示坐标0-x, 单位质量质点在坐标原点处,在杆上取质元dm=dxM/L,其坐标为x, 它对原点处质点的引力为:
df =G dm ⨯1
x 2=GM L dx x 2, 由于各质元对质点的引力方向均沿x 轴正
向,∴杆对质点的引力方向沿x 轴正向,大小为
f =GM
L ⎰d +L d x -2d dx =GM L 1x |
d +L =GM L 1(d -1d +L ) =GM d (d +L )
6.2.7半径为R 的细半圆环线密度为λ,求位于圆心处单位质量质点受到的引力(引力场强度)
解:由对称性分析可知,引力场强度的x 分量等于零。
质元dm=λRd θ所受引力的y 分量为
1⨯dm G λdf y =-G sin θ=-sin θd θ 2R R
f y =-G λR π⎰sin θd θ=
0G λR cos θ|0π
=-2G λ/R
6.3.1 考虑一转动的球形行星,赤道上各点的速度为V ,赤道上的加速度是极点上的一半,求此行星
极点处的粒子的逃逸速度。
解: 设行星半径为R ,质量为M ,粒子m 在极点处脱离行星所需的速度为v ,在无穷远处的速度、引力势能为零,由机械能守恒定律有
1
2mv 2-G M m R =0 即 v =2GM /R ⑴
2
以球形行星为参考系(匀速转动参考系),设粒子m 在赤道上和极点上的加速度分别为a 1和a 2。
粒子m 在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用,由牛二定律有 G Mm
R 2-m V 2R =ma 1即GM -RV 2=a 1R ⑵ 2
粒子m 在极点上只受引力作用,由牛二定律有
G Mm
R 2=ma 2即GM =a 2R ⑶ 2
已知 a 2=2a 1 ⑷
由⑵、⑶、⑷可求得 GM /R =2V 2 代入⑴中,得
v 2=4V 2∴v =2V
6.3.2 已知地球表面的重力加速度为9.8ms -2,围绕地球的大圆周长为4×107m ,月球与地球的直径及质量之比分别是
D m /D e =0. 27和M m /M e =0. 0123. 试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度。
解: 设质点m 脱离月球的速度为v ,在距月球无穷远处的速度、引力势能为零,由机械能守恒定律,有
1
2mv 2-G M m m
R m =0∴v 2=2GM m /R m ⑴
将 M m =0.0123Me ,R m =0.27Re 代入⑴中,有
v 2=0. 091GM e /R e ⑵
2由牛二定律 GM e m /R e =mg , ∴GM
2代入⑵中,有 v =0. 091R e g e /R e =R e g
∴v =0. 091⨯9. 8⨯4⨯10/2π=2. 38(ms 7-1)