假期作业一答案
参考答案一
1.[答案] C
[解析] 因为A={x|x≤3,x∈Z+}={1,2,3},所以A的真子集个数为23-1=7个,故选C.
2.[答案] B
[解析] 对M、N两个集合进行化简,即M={x|0
集合是一种符号语言,解决集合问题的关键首先要确定它的元素,然后去掉其外壳,再转化成其他数学问题,这是解决集合问题的一般思考方法;同时要注意数形结合的思想方法.集合与方程、不等式交汇为常见题型.
3.[答案] A
1
[解析] y=sinx在R上不单调,y=x不是奇函数,y=x为增函数,故B、C、D均
2
错.
4. [答案] C
b1=b1=
aa=-1a+b=0
[解析] 由题意得 或,∴,∴b-a=2.
a+b=0b=1b
a=
a=ba
[点评] 在集合的关系与运算中x∈A,A=B,A⊆B,A∩B=∅等,常常要引起分类讨
论,前两者由一个元素与哪个元素相等引起讨论,后两者可能由A=∅与A≠∅引起分类.
你会求解下题吗?
已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},且M=N,求q的值.答案:q=1-2
5.[答案] C
[解析] 由A△B的定义知:B△A={x|x∈B且x∉A}={4,7},所有元素的和为4+7=11. 6.[答案] A
[解析] 首先函数是偶函数,其图象应该关于y轴对称,排除B、D,其次cosx≤1,lncosx≤0,排除C.选A.
7. [答案] A
[解析] 作出f(x)的图象如图,∵0
a2+b2
∴由f(x)图象可知,f(a)=2-a,f(b)=b-2,∴a+b=4,∴ab≤=2,
2
又∵0
125
[解析] f(x)=cos2x-cosx-1=cosx-.
24
1ππππππ
令cosx=x=cosx在-,上不单调,排除D,
6623632
ππ2π0,π时,cosx1,排除C,∴选A. cosx在0,与上都单减,但x∈33332
9. [答案] D
[解析] ∵e>1,+1>1,∴f+1)=1,
2
2
2
2
|a|>1-1≤a≤1
由f(a)-f+1)=0知f(a)=1,∴,或, 2
ln(a-1)=1cosπa=1
∴a=0或a=+1,故选D.
10. [答案] B
2+x
[解析] 解法1:f(x)=lg{x|-2
x-2
x2
∴要使f+f有意义,只需
2xx-2
, 2-2
解得x∈(-4,-1)∪(1,4),故选B.
4+xx+1x2
解法2:f+f=lg+lg (x≠0),
2x4-xx-1
x=1不适合,排除A,x=2适合,排除C、D,故选B.
11.[答案] 6
[解析] 画图观察可知有6个交点. 12.[答案] f(-1)
[解析] 将函数y=f(x)的图象左移8个单位可得到y=f(x+8)的图象,由y=f(x+8)为偶函数可知,y=f(x)的图象关于直线x=8对称,由y=f(x)在(8,+∞)上为减函数知,f(x)在(-∞,8)上为增函数,∴f(-1)
13.必要不充分
1
14. [答案]
2111
[解析] >0,则g=ln
222
1111∴g(g))=g(ln=eln=.
2222
15. [答案] ③④
a
[解析] ①整数a=2,b=4,不是整数;
b
②如将有理数集Q,添上元素,得到数集M,则取a=3,b=,a+b∉M;
③由数域P的定义知,若a∈P,b∈P(P中至少含有两个元素),则有a+b∈P,从而a+2b,a+3b,…,a+nb∈P,∴P中必含有无穷多个元素,∴③对.
④设x是一个非完全平方正整数(x>1),a,b∈Q,则由数域定义知,F={a+|a、b∈Q}必是数域,这样的数域F有无穷多个.
16. [解析] 由4-ax≥0,得ax≤4.当a>1时,x≤loga4; 当0
即当a>1时,f(x)的定义域为(-∞,loga4]; 当0
22
∴y=4-t-2t-1=-(t+1)+4. 当t≥0时,y是t的单调减函数, ∴f(2)
17.[解析] 由已知得A=[-2,4],B=[m-3,m]. (1)∵A∩B=[2,4],
∴m-3=2,且m≥4.∴m=5. (2)∵B=[m-3,m],
∴∁RB=(-∞,m-3)∪(m,+∞). ∵A∁RB,∴m-3>4或m7或m
∴m∈(-∞,-2)∪(7,+∞).
11
18.[解析] (1)当a时,f(x)=x+2,在[1,+∞)上任取x1,x2,且x1
22x
1
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-2x1x2>0, 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,
7
f(x)的最小值为f(1)=
2
x2+2x+a
(2)在区间[1,+∞)上,f(x)等价于x2+x+a>0,
x
121
而g(x)=x2+x+a=x++a-[1,+∞)上递增,所以当x=1时,g(x)min=2+a,
24
当且仅当2+a>0时,恒有f(x)>1,即实数a的取值范围为a>-2. 19.[解析] y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0,
x+2xxx2
解得x3,∴M={x|x3}.f(x)=2-3×4=4×2-3×(2). 令2x=t,∵x3,∴t>8或0
2242
∴f(x)=4t-3t=-3t-3+3(t>8或0
4
由二次函数性质可知:当0
3
当t>8时,f(x)∈(-∞,-160),
224
当2x=t=,即x=log2f21(x)333
24
综上可知:当x=log2时,f(x)取到最大值为
33
130
20.解:(1)行车所用时间为t=(h),
x
2
130x14×130y=2×2+
360+x,x∈[50,100]. x
所以,这次行车总费用y关于x的表达式是 2 34013y=+,x∈[50,100].
x18
2 34013(2)y=x≥26,
x182 34013
当且仅当x,
x18
即x=18时,上述不等式中等号成立.
故当x=时,这次行车的总费用最低,最低费用为元. 21.[解析] (1)设x∈(0,1],则-x∈[-1,0),
1
∴f(-x)=-2ax+
x
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
1
∴当x∈(0,1]时,f(x)=2ax-,
x
11
∴f(x)=2ax- x∈(0,1],2ax+ x∈[-1,0).
xx
21
(2)当x∈(0,1]时,∵f′(x)=2a+=2a+,
xx
1
∵a>-1,x∈(0,1],∴a>0.即f′(x)>0.
x
∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数.
(3)当a>-1时,f(x)在(0,1]上单调递增. f(x)max=f(1)=2a-1=-6,
35
∴a=-不合题意,舍去),当a≤-1时,由f′(x)=0得,x.
2a
3
如下表可知fmax(x)=f-1=-6,解出a=-2
a
∴存在a=-22,使f(x)在(0,1]上有最大值-6.