数学期望

高二数学选修2-3第二章2.3.1离散型随机变量的数学期望

使用日期： 年 月 日 ―――年 月 日

教学目标：（1）理解数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述

随机变量集中趋势的一个特征数。

（2）掌握数学期望的求法，并能解决简单的实际问题。

【自主研习】

1. 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这ξ、η等表示

3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值， 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可 若ξ是随机变量，η=a ξ+b , a , b 是常数，则η并且不改变

其属性（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，

ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为P (ξ=x i ) =p i ，则称表

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1．

7. 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

k k n -k

P n (ξ=k ) =C n p q ，（k ＝0,1,2, …，n ，q =1-p ）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 …

k … n

n n 0

C n p q

P

00n

C n p q 11n -1

C n p q … k k n -k

C n p q …

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p ) ，

【精讲点拨】

一、 知识精讲：

1. 、数学期望:

则称 E ξ= 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

2. 、数学期望是型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的 水平 3、平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令

p 1=p 2=…=p n ，则有p 1=p 2=…=p n =

1

，E ξ=(x 1+x 2+…n

+x n ) ⨯

1

，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 n

4、若ξ B （n,p ），则E （ξ）＝ 。

5、若随机变量ξ服从参数为N , M , n 的超几何分布，则E （ξ）＝。 6、期望的一个性质:若η=a ξ+b (a 、b 是常数) ，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

于是E η=(ax 1+b ) p 1+(ax 2+b ) p 2+…+(ax n +b ) p n +…

＝a (x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n +…) +b (p 1+p 2+…+p n +…) ＝aE ξ+b ，

由此，期望的一个性质:E (a ξ+b ) =aE ξ+b

二、例题点拨：

例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概

率为0.7，求他罚球一次得分ξ

思考：求离散型随机变量可分几步进行？

例2、随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ

例3、一个袋子里装有大小相同的5个红球和5个黄球，从中同时取出4个，求其中含红球个数的期望。

例4、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．

方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．

【当堂检测】

1、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的

数学期望为（ ）

A.15 B.10 C.20 D.5

2、抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（ ）

10 380C. 9

A.

55 950D. 9

B.

3、袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望

【课后小结】

1、离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的 水平； 2、求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值，求ξ取各个值的概率写出分布列。②根据分布列，由期望的定义求出E ξ

3、公式E （a ξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ【课后巩固】

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）

A ．4； B ．5； C ．4.5； D ．2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

3、已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求 （Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；

（Ⅱ）取得正品元件个数ξ的数学期望.

4、袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量 的概率分布和数学期望