一阶微分方程解的存在定理
第三章 一阶微分方程解的存在定理
[教学目标]
1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,掌握逐次逼近法,熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明,解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授,实践。 [教学时间] 12学时
[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,解的延拓概念及延拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标]
1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论,能用逐次逼近法解简单的问题。 2. 熟练近似解的误差估计式,解对初值的连续性及可微性公式。
3. 利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型,但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性,而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位,是近代常微分方程定性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程
dy
=dx
2
过点(0,0)的解就是不唯一,易知y =0是方程过(0,0)的解,此外,容易验证,y =x 或更一般地,
函数
⎧0 0≤x ≤c
y =⎨ 2
(x -c ) c
都是方程过点(0,0)而且定义在区间0≤x ≤1上的解,其中c 是满足0
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题,它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性
和唯一性。另外,由于能得到精确解的微分方程为数不多,微分方程的近似解法具有重要的意义,而解的存在唯一性是进行近似计算的前提,如果解本身不存在,而近似求解就失去意义;如果存在不唯一,不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
1.存在性与唯一性定理: (1)显式一阶微分方程
dy
=f (x , y ) (3.1) dx
这里f (x , y ) 是在矩形域:R :|x -x 0|≤a ,|y -y 0|≤b (3.2)
上连续。
定理1:如果函数f (x , y ) 满足以下条件:1)在R 上连续:2)在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件,即存在常数L >0,使对于R 上任何一对点(x , y 1) ,(x , y 2) 均有不等式
f (x , y 1) -f (x , y 2) ≤L y 1-y 2成立,则方程(3.1)存在唯一的解y =ϕ(x ) ,在区间|x -x 0|≤h 上
连续,而且满足初始条件
ϕ(x 0) =y 0 (3.3)
其中h =min(a ,
b
), M =max f (x , y ) , L 称为Lipschitz 常数.
x , y ∈R M
思路:
1) 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 y =y 0+的连续解。
2) 构造近似解函数列{ϕn (x )}
任取一个连续函数ϕ0(x ) ,使得|ϕ0(x ) -y 0|≤b ,替代上述积分方程右端的
⎰
x
x 0
f (x , y ) dx
y ,得到
ϕ1(x ) =y 0+
⎰
x
x 0
f (x , ϕ0(x )) dx
如果ϕ1(x ) ≡ϕ0(x ) ,那么ϕ0(x ) 是积分方程的解,否则,又用ϕ1(x ) 替代积分方程右端的y ,得到 ϕ2(x ) =y 0+
⎰
x
x 0
f (x , ϕ1(x )) dx
如果ϕ2(x ) ≡ϕ1(x ) ,那么ϕ1(x ) 是积分方程的解,否则,继续进行,得到 ϕn (x ) =y 0+于是得到函数序列{ϕn (x )}.
3) 函数序列{ϕn (x )}在区间[x 0-h , x 0+h ]上一致收敛于ϕ(x ) ,即 lim ϕn (x ) =ϕ(x )
n →∞
⎰
x
x 0
(3.4) f (x , ϕn -1(x )) dx
存在,对(3.4)取极限, 得到
lim ϕn (x ) =y 0+lim ⎰f (x , ϕn -1(x )) dx
n →∞
n →∞x 0x
x
=y 0+⎰f (x , ϕ(x )) dx
x 0
即ϕ(x ) =y 0+
⎰
x
x 0
f (x , ϕ(x )) dx .
4) φ(x ) 是积分方程y =y 0+
⎰
x
x 0
f (x , y ) dx 在[x 0-h , x 0+h ]上的连续解.
这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法. 在定理的假设条件下, 分五个命题来证明定理. 为了讨论方便, 只考虑区间x 0≤x ≤x 0+h , 对于区间x 0-h ≤x ≤x 0的讨论完全类似. 命题1 设y =ϕ(x ) 是方程(3.1)定义于区间x 0≤x ≤x 0+h 上, 满足初始条件
ϕ(x 0) =y 0 (3.3) 的解, 则y =ϕ(x ) 是积分方程 y =y x
0+
⎰
x f (x , y ) dx x 0
0≤x ≤x 0+h (3.5)
的定义于x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解. 反之亦然.
证明 因为y =ϕ(x ) 是方程(3.1)满足ϕ(x 0) =y 0的解, 于是有
d ϕ(x )
dx
=f (x , ϕ(x )) 两边取x 0到x 的积分得到 ϕ(x ) -ϕ(x 0) =⎰
x
x f (x , ϕ(x )) dx x 0
0≤x ≤x 0+h
即有ϕ(x ) =y 0+
⎰
x
x f (x , ϕ(x )) dx x 0
0≤x ≤x 0+h
所以y =ϕ(x ) 是积分方程y =y x
0+
⎰
x f (x , y ) dx 定义在区间x 上的连续解.
0≤x ≤x 0+h 反之, 如果y =ϕ(x ) 是积分方程(3.5)上的连续解, 则
ϕ(x ) =y 0+⎰x
x f (x , ϕ(x )) dx x 0≤x ≤x 0+h 0由于f (x , y ) 在R 上连续, 从而f (x , ϕ(x )) 连续, 两边对x 求导, 可得
d ϕ(x )
dx
=f (x , ϕ(x )) 而且 ϕ(x 0) =y 0,
故y =ϕ(x ) 是方程(3.1)定义在区间x 0≤x ≤x 0+h 上, 且满足初始条件ϕ(x 0) =y 0的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{ϕn (x )}.
⎧ϕ0(x ) ⎪
=y 0⎨⎪⎩ϕn
(x ) =y 0+⎰x x f (ξ, ϕ(ξ)) d ξ x ≤x ≤x +(n =1,2, ) 0n -100h (3.6)
(3.7)
命题2 对于所有的n ,(3.6)中的函数ϕn (x ) 在x 0≤x ≤x 0+h 上有定义,连续且满足不等式 |ϕn (x ) -y 0|≤b (3.8) 证明 用数学归纳法证明 当n =1时,ϕ1(x ) =y 0+
⎰
x
x
x 0
f (ξ, y 0) d ξ,显然ϕ1(x ) 在x 0≤x ≤x 0+h 上有定义、连续且有
|ϕ1(x ) -y 0|=|⎰f (ξ, y 0) d ξ|≤⎰|f (ξ, y 0) |d ξ≤M (x -x 0) ≤Mh ≤b
x 0
x 0
x
即命题成立.
假设n =k 命题2成立,也就是在x 0≤x ≤x 0+h 上有定义、连续且满足不等式 |ϕk (x ) -y 0|≤b 当n =k +1时,
ϕk +1(x ) =y 0+
⎰
x
x 0
f (ξ, ϕk (ξ)) dx
由于f (x , y ) 在R 上连续, 从而f (x , ϕk (x ) 在) x 0≤x ≤x 0+h 上连续,于是得知ϕk +1(x ) 在
x 0≤x ≤x 0+h 上有定义、连续, 而且有
|ϕk +1(x ) -y 0|≤
⎰
x
x 0
|f (ξ, ϕk (ξ)) |d ξ≤M (x -x 0) ≤Mh ≤b
即命题2对n =k +1时也成立. 由数学归纳法知对所有的n 均成立.
命题3 函数序列{ϕn (x )}在x 0≤x ≤x 0+h 上是一致收敛的.
记lim ϕn (x ) =ϕ(x ) , x 0≤x ≤x 0+h
n →∞
证明 构造函数项级数 ϕ0(x ) +它的部分和为
S n (x ) =ϕ0(x ) +
∑[ϕ(x ) -ϕ
k
k =1
∞
k -1
(x )] x 0≤x ≤x 0+h (3.9)
∑[ϕ(x ) -ϕ
k
k =1
n
k -1
(x )]=ϕn (x )
于是{ϕn (x )}的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此,对级数(3.9)的通项进行估计.
|ϕ1(x ) -ϕ0(x ) |≤⎰|f (ξ, ϕ0(ξ)) |d ξ≤M (x -x 0) (3.10)
x 0
x
|ϕ2(x ) -ϕ1(x ) |≤⎰|f (ξ, ϕ1(ξ)) -f (ξ, ϕ0(ξ)) |d ξ
x 0
x
由Lipschitz 条件得知
|ϕ2(x ) -ϕ1(x ) |≤L ⎰|ϕ1(ξ) -ϕ0(ξ)|d ξ
x 0
x
≤L ⎰M (ξ-x 0) d ξ
x 0
x
≤
设对于正整数n , 有不等式
ML
(x -x 0) 22!
ML n -1
(x -x 0) n |ϕn (x ) -ϕn -1(x ) |≤n !
成立, 则由Lipschitz 条件得知, 当x 0≤x ≤x 0+h 时, 有
|ϕn +1(x ) -ϕn (x ) |≤⎰|f (ξ, ϕn (ξ)) -f (ξ, ϕn -1(ξ)) |d ξ
x 0
x
≤L ⎰|ϕn (ξ) -ϕn -1(ξ)|d ξ
x 0
x
ML n x n
≤(ξ-x ) d ξ 0⎰x 0n !
ML n
≤(x -x 0) n +1
(n +1)!
于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k , 有
ML k -1ML k -1k k
|ϕk (x ) -ϕk -1(x ) |≤(x -x 0) ≤h x 0≤x ≤x 0+h (3.11)
k ! k !
由正项级数
∑ML
k =1
∞
K -1
h k
的收敛性, 利用Weierstrass 判别法, 级数(3.9)在x 0≤x ≤x 0+h 上一致收k !
敛. 因而序列{ϕn (x )}在x 0≤x ≤x 0+h 上一致收敛. 设lim ϕn (x ) =ϕ(x ) , 则ϕ(x ) 也在x 0≤x ≤x 0+h 上连续, 且
n →∞
|ϕ(x ) -y 0|≤b
命题4 ϕ(x ) 是积分方程(3.5)的定义在x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.
证明 由Lipschitz 条件
|f (x , ϕn (x )) -f (x , ϕ(x )) |≤L |ϕn (x ) -ϕ(x ) |
以及{ϕn (x )}在x 0≤x ≤x 0+h 上一致收敛于ϕ(x ) , 可知f (x , ϕn (x )) 在x 0≤x ≤x 0+h 上一致收敛于
f (x , ϕ(x )) . 因此
lim ϕn (x ) =y 0+lim ⎰f (ξ, ϕn -1(ξ)) d ξ
n →∞
n →∞x 0x
x
=y 0+⎰lim f (ξ, ϕn -1(ξ)) d ξ
x 0n →∞
即 ϕn (x ) =y 0+
⎰
x
x 0
f (ξ, ϕ(ξ)) d ξ
故ϕ(x ) 是积分方程(3.5)的定义在x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.
命题5 设ψ(x ) 是积分方程(3.5)的定义在x 0≤x ≤x 0+h 上的一个连续解, 则
ϕ(x ) ≡ψ(x ) , x 0≤x ≤x 0+h .
证明 设g (x ) =|ϕ(x ) -ψ(x ) |, 则g (x ) 是定义在x 0≤x ≤x 0+h 的非负连续函数, 由于 ϕ(x ) =y 0+
⎰
x
x 0
f (ξ, ϕ(ξ)) d ξ ψ(x ) =y 0+⎰f (ξ, ψ(ξ)) d ξ
x 0
x
而且f (x , y ) 满足Lipschitz 条件, 可得
g (x ) =|ϕ(x ) -ψ(x ) |=|⎰[f (ξ, ϕ(ξ)) -f (ξ, ψ(ξ))]d ξ|
x 0
x
≤
⎰
x
x 0
|f (ξ, ϕ(ξ)) -f (ξ, ψ(ξ)) |d ξ
x
x
x 0
x 0
≤L ⎰|ϕ(ξ) -ψ(ξ) |d ξ=L ⎰g (ξ) d ξ
令u (x ) =L
⎰
x
x 0
g (ξ) d ξ, 则u (x ) 是x 0≤x ≤x 0+h 的连续可微函数, 且u (x 0) =0,
0≤g (x ) ≤u (x ) , u '(x ) =Lg (x ) , u '(x ) ≤Lu (x ) , (u '(x ) -Lu (x )) e -Lx ≤0,
即(u (x ) e -Lx ) '≤0, 于是在x 0≤x ≤x 0+h 上, u (x ) e -Lx ≤u (x 0) e 故g (x ) ≤u (x ) ≤0, 即g (x ) ≡0, x 0≤x ≤x 0+h , 命题得证.
-Lx 0
=0
对定理说明几点:
(1)存在唯一性定理中h =min(a ,
b
) 的几何意义
. M
在矩形域R 中f (x , y ) ≤M , 故方程过(x 0, y 0) 的积分曲线y =ϕ(x ) 的斜率必介于-M 与M 之间, 过点(x 0, y 0) 分别作斜率为-M 与M 的直线. 当M ≤即
b b b 时,即a ≤, (如图(a)所示),解y =ϕ(x ) 在x 0-a ≤x ≤x 0+a 上有定义;当M ≥时, a M a
b
≤a , (如图(b)所示),不能保证解在x 0-a ≤x ≤x 0+a 上有定义,它有可能在区间内就跑到矩M
b b ≤x ≤x 0+形R 外去,只有当x 0-才能保证解y =ϕ(x ) 在R 内,故要求解的存在范围是 M M
|x -x 0|≤h .
(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的,而我们能够用一个较强的,但却易于验证的条件
' '
来代替他,即如果函数f (x , y ) 在矩形域R 上关于y 的偏导数f y (x , y ) 存在并有界,即f y (x , y ) ≤L ,
则李普希兹条件条件成立. 事实上
∂f (x , y 2+θ(y 1-y 2))
||y 1-y 2|
∂y
≤L |y 1-y 2|
|f (x , y 1) -f (x , y 2) |=|
这里(x , y 1),(x , y 2) ∈R ,0
'
dy
=P (x ) y +Q (x ) dx
易知, 当P (x ), Q (x ) 在区间[α, β]上连续时, 定理1的条件就能满足, 且对任一初值(x 0, y 0), x 0∈[α, β]所确定的解在整个区间[α, β]上有定义、连续.
实际上, 对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在|x -x 0|≤h 上,
是因为在构造逐步
逼近函数序列{ϕn (x )}时, 要求它不越出矩形域R , 此时, 右端函数对y 没有任何限制, 只要取
M =max |P (x ) y 0+Q (x ) |.
x ∈[α, β]
(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件,而非必要条件. 例如 试证方程
dy ⎧0 y =0
=⎨
y ln |y | y ≠0 dx ⎩
经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.
证明 y ≠0时, f (x , y ) =y ln |y |, 在y ≠0上连续, f y '(x , y ) =1+ln |y |也在y ≠0上连续, 因此对x 轴外的任一点(x 0, y 0) , 方程满足y (x 0) =y 0的解都是唯一存在的. 又由 可得方程的通解为
dy
=y ln |y | dx
ce x
y =±e
, 其中
y =e
ce x
为上半平面的通解,
y =-e
ce x
为下半平面的通
解, 它们不可能与y =0相交. 注意到y =0是方程的解, 因此对x 轴上的任一点(x 0,0) , 只有y =0通过, 从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是
|f (x , y ) -f (x ,0) |=|y ln |y ||=|ln |y |||y | 因为lim |ln |y ||=+∞, 故不可能存在L >0, 使得
y →0
|f (x , y ) -f (x ,0) |≤L |y |
所以方程右端函数在y =0的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.
此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件,而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程
F (x , y , y ') =0 (3.12)
') 的某一邻域内F 连续且F (x 0, y 0, y 0') =0, 而由隐函数存在定理, 若在(x 0, y 0, y 0
唯一地表为x , y 的函数
∂F
≠0, 则必可把y ∂y '
y '=f (x , y ) (3.13)
'=f (x 0, y 0) 并且f (x , y ) 于(x 0, y 0) 的某一邻域连续, 且满足y 0
如果F 关于所有变元存在连续的偏导数, 则f (x , y ) 对x , y 也存在连续的偏导数, 并且
∂f ∂F ∂F
(3.14) =-/
∂y ∂y ∂y '
显然它是有界的, 由定理1可知, 方程(3.13)满足初始条件的y (x 0) =0解存在且唯一. 从而得到下面的定理.
定理2 如果在点(x 0, y 0, y '0
) 的某一邻域中: ⅰ) F (x , y , y ') 关于所有变元(x , y , y ') 连续, 且存在连续的偏导数;
ⅱ)F (x 0, y 0, y '0
) =0 ⅲ)
∂F (x 0, y 0, y '0
) ∂y '
≠0
则方程(3.12)存在唯一的解
y =y (x ) |x -x 0|≤h (h 为足够小的正数) 满足初始条件
y (x 0) =y 0, y '(x 0) =y '0
1、 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法
⎧ϕ0(x ) ⎪
=y 0
⎨⎪⎩ϕn
(x ) =y x
0+⎰x f (ξ, ϕ0n -1(ξ)) d ξ x 0≤x ≤x 0+h 对方程的第n 次近似解ϕn (x ) 和真正解ϕ(x ) 在|x -x 0|≤h 内的误差估计式
|ϕ-ϕ(x ) |≤ML n n +1
n (x ) (n +1)!
h 此式可用数学归纳法证明. |ϕ0(x ) -ϕ(x ) |≤⎰
x
x |f (ξ, ϕ(ξ)) |d ξ≤M (x -x 0
0) ≤Mh
设有不等式
ML n -1 |ϕn -1(x ) -ϕ(x ) |≤n ! (x -x n
ML n -1n 0) ≤n !
h 成立, 则
3.15) 3.16)
((
|ϕn (x ) -ϕ(x ) |≤⎰|f (ξ, ϕn -1(ξ)) -f (ξ, ϕ(ξ)) |d ξ
x 0
x
≤L ⎰|ϕn -1(ξ) -ϕ(ξ)|d ξ
x 0
x
ML n x n
≤(ξ-x 0) d ξ
n ! ⎰x 0ML n ML n n +1n +1
≤(x -x 0) ≤h
(n +1)!(n +1)!
例1 讨论初值问题
dy
=x 2+y 2, y (0)=0 dx
解的存在唯一性区间, 并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解, 其中,
R :-1≤x ≤1, -1≤y ≤1.
解 M =max |f (x , y |=2, a =1, b =1, h =min{a ,
(x , y ) ∈R
b 1∂f =, 由于||=|2y |≤2=L , 根据误M 2∂y
差估计式(3.16)
ML n n +11
|ϕn (x ) -ϕ(x ) |≤h =
(n +1)! (n +1)!
可知n =3. 于是 ϕ0(x ) =0
x 3
ϕ1(x ) =⎰[x +ϕ(x )]dx =
03
x
2
2
x 3x 7
ϕ2(x ) =⎰[x +ϕ(x )]dx =+
0363
x
2
2
1
x 3x 7x 11x 15
ϕ3(x ) =⎰[x +ϕ(x )]dx =+++
[1**********]35
x
2
2
2
ϕ3(x ) 就是所求的近似解, 在区间-≤x ≤
121
上, 这个解与真正解得误差不超过0.05. 2