2012广东省普通高中数学水平测试真题及答案
秘密★启用前
2012学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试
数 学（必修）
注意事项:
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．本次考试不允许使用计算器.
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
1. 已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,3}，则C U A = ( ).
A. ∅ B. {1,3} C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5}
2. 已知点P (3, -4)是角α终边上的一点，则tan α=( ). A. -
3. 若直线y =ax +3与直线y =-2x +a 垂直，则实数a 的值为( ). A. -2 B. 2 C. -
4. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为( ).
A.24 B. 12 C. 6 D. 3
数学学业水平测试答案 第 1 页 共 6 页 本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.
4334 B. - C. D.
4334
11
D.
22
5. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以
D
A 、B 、C 、D 为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四 段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区 域M 的概率是( ).
C
M
ππ
B. 24ππC. 1- D. 1-
42
A.
6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图
2 所示，则该几何体的体积为( ).
A
图1
B
11
B. 631
C. D. 1
2
A.
图2
2
7. 函数f (x )=的零点所在的区间为( ).
x
A. 0,
8. 已知等差数列{a n }的首项为4，公差为4，其前n 项和为S n ，则数列⎨( ). A.
⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛3⎫
,11, B. C. D. ⎪ ⎪ ⎪ , 2⎪
2⎭22⎝⎭⎝⎭⎝2⎭
⎧1⎫
⎬的前n 项和为S ⎩n ⎭
n 122n
B. C. D.
2(n +1) 2n (n +1) n (n +1) n +1
9. 在长方形ABCD 中，AB =2，AD =1，则AC ⋅CD =( ).
A. 4 B. 2 C. -2 D. -4
10. 设函数f (x )的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使f (x
M x )≤
对一切实数
x 恒成立，则称f (x )为有界泛函. 有下面四个函数：
①f (x )=1； ②f (x )=x 2； ③f (x )=2x sin x ； ④f (x )=
x
．
x 2+x +2
其中属于有界泛函的是( ).
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11. 已知幂函数f (x ) =
x α的图象过点，则
函数f (x ) 的定义域是 .
12. 如图3给出的是计算S =1+
13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (2,4,0)(111
++⋅⋅⋅+值的 23n
一个程序框图，当程序结束时，n 的值为
B (2,0,3)，C (2,2, z )，若∠C =90 ，则z 的值为 ．
⎧⎪x ≤3，22
14. 设实数x , y 满足⎨x -y +2≥0， 则x +y 的取值范围是
⎪⎩x +y -4≥0，
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知A (3,1)，C (1,0). （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；
（2）若直线l 的方程为x -2y +9=0，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.
16. （本小题满分12分）
已知函数f (x ) =sin x x , x ∈R . （1）求函数f (x ) 的最小正周期；
（2）若f α-
⎛⎝
π⎫
6⎛π⎫=α∈，⎪ 0, ⎪，求3⎭5⎝2⎭π⎫⎛
f 2α-⎪的值.
3⎭⎝
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17．(本小题满分14分)
对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这
N 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方
图如下：
（1）求出表中N , p 及图中a 的值；
（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一
18．(本小题满分14分)
如图4所示，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 圆周上不同 于A 、B 的任意一点，P A ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的
中点，点M 在 AB 上，且MO ∥AC ． （1）求证：BC ⊥平面P AC ；
（2）求证：平面EOM ∥平面P AC .
19. （本小题满分14分）
*
人参加社区服务次数在区间[12,15]内的概率.
图4 B
n
已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=a n +λ⋅2(n ∈N ，λ为常数) ，且a 1，a 2+2，a 3成
等差数列．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a n }的通项公式；
9n 2
（3）设数列{b n }满足b n =，证明：b n ≤．
16a n +3
20. （本小题满分14分）
设a 为常数，a ∈R ，函数f (x )=x 2+x -a +1，x ∈R .
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（1）若函数f (x )是偶函数，求实数a 的值； （2）求函数f (x )的最小值.
2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试
数学试题参考答案及评分标准
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．其
中第13题填对1个给3分，填对2个给5分． 11． [0,+∞) 12． 2012 13． -1或4
14． [8,34]
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程． 15．本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识．本小题满分12分． 解：（1）方法1：因为圆C 的圆心为C (1,0)，
22
可设圆C 的标准方程为(x -1)+y =r ．
2
因为点A (3, 1)
在圆C
上，
222
所以(3-1)+1=r ，即r =5．
2
所以圆C 的标准方程为(x -1) +y =5． 方法2：因为点A (3, 1)在圆C 上， 所以圆C 的半径为r =CA =因为圆C 的圆心为C (1,0)，
所以圆C 的标准方程为(x -1) +y =5． （2）圆心C 到直线l 的距离为d =
2
2
22
=．
=
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因为>d >r ，
所以直线l 与圆C 相离．
16．本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想．本
小题满分12分． 解：（1
）f (x ) =sin x x
⎛1⎫x ⎪
=2 sin x + 2⎪ 2⎝⎭
=2s i n x +
⎛
⎝
π⎫
⎪． 3⎭
所以函数f (x ) 的最小正周期是2π． （2）由（1）得，f (x )=2sin x +
⎛⎝
π⎫
⎪． 3⎭
因为f α-
⎛⎝
π⎫
6， =⎪3⎭5
所以f α-即sin α=
⎛⎝
π⎫
ππ⎫6⎛
． =2sin α-+=2sin α=⎪ ⎪
3⎭335⎝⎭
3． 5
因为α∈ 0,
⎛⎝
π⎫
⎪，
2⎭
所以cos α=所以f 2α-
4． 5
⎛⎝
π⎫
ππ⎫⎛
=2sin 2α-+⎪=2sin 2α ⎪ 3⎭33⎭⎝
34
55
=4sin αcos α =4⨯⨯ =
48． 25
17．本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识．本小题满分14分． 解：（1）由分组[12,15)内的频数是2，频率是0.05，
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2
=0.05，所以N =40． N
因为频数之和为40，所以10+n +4+2=40，解得n =24．
n 24
所以p ===0.6．
N 40
得
因为a 是对应分组[6,9)的频率与组距的商， 所以a =
p 0.6==0.2． 33
（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件A ．
这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人．
记在区间[9,12)内的4人为a 1, a 2, a 3, a 4，在区间[12,15)内的2人为b 1, b 2． 从这6人中任选2人的所有可能结果有：{a 1, a 2},{a 1, a 3},{a 1, a 4},{a 1, b 1},{a 1, b 2},
{a 2, a 3},{a 2, a 4},{a 2, b 1},{a 2, b 2},{a 3, a 4},{a 3, b 1},{a 3, b 2},{a 4, b 1},{a 4, b 2},{b 1, b 2}，
共15种．
事件A 包含的结果有：{a 1, b 1},{a 1, b 2},{a 2, b 1},{a 2, b 2},{a 3, b 1},{a 3, b 2},{a 4, b 1},
{a 4, b 2},{b 1, b 2}，共9种．
所以所求概率为P (A ) =
93
==0.6． 155
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．本小题满分14分． 证明：（1）因为点C 是以AB 为直径的⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，
所以∠ACB =90，即BC ⊥AC ． 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥BC ．
因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，AC P A ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC ．
（2）因为点E 是线段PB 的中点，点O 是线段AB 的中点，
所以EO ∥P A ．
因为P A ⊂平面P AC ，EO ⊄平面P AC ， 所以EO ∥平面P AC ．
因为MO ∥AC ，AC ⊂平面P AC ，MO ⊄平面P AC ， 所以MO ∥平面P AC ．
因为EO ⊂平面EOM ，MO ⊂平面EOM ，EO MO ＝O ，
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所以平面EOM ∥平面P AC ．
19．本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、 推理论证能力等．本小题满分14分．
（1）解：因为a 1=1，a n +1=a n +λ⋅2n (n ∈N ) ，
所以a 2=a 1+λ⋅21=1+2λ，a 3=a 2+λ⋅22=1+6λ． 因为a 1，a 2+2，a 3成等差数列，
所以a 1+a 3=2(a 2+2) ，即2+6λ=2(3+2λ) ， 解得λ=2．
（2）解：由（1）得，λ=2，所以a n +1=a n +2
所以a n -a n -1=2（n ≥2）．
当n ≥2时，a n =a 1+(a 2-a 1) +(a 3-a 2) +⋅⋅⋅+(a n -a n -1)
n
n +1*
(n ∈N ) ，
*
22(1-2n -1)
=1+2+2+⋅⋅⋅+2=1+=2n +1-3．
1-2
2
3
n
又a 1=1也适合上式，
所以数列{a n }的通项公式为a n =2（3）证明：由（2）得，a n =2
n +1
n +1
-3(n ∈N *) ．
-3，
n 2
所以b n =n +1．
2
(n +1) 2n 2-n 2+2n +1-(n -1) 2+2
-n +1==因为b n +1-b n =， n +2n +2n +2
2222
当n ≥3时，-(n -1)+2
所以当n ≥3时，b n +1-b n
2
119
24169*
所以b n ≤b 3=(n ∈N ) ．
16
又b 1=
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20．本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解
能力、分类讨论思想等．本小题满分14分． 解：（1）因为函数f (x )为偶函数，
所以对任意的x ∈R 都有f (-x )=f (x )，
2
即对任意的x ∈R 都有(-x )+-x -a +1=x +x -a +1，
2
即对任意的x ∈R 都有x +a =x -a ， 即对任意的x ∈R 都有(x +a )=(x -a )， 即对任意的x ∈R 都有4ax =0， 所以a =0．
（2）①当x ≤a 时，
2
2
1⎫⎛3⎛⎫
f (x )=x 2-x +(1+a )= x -⎪+ +a ⎪．
2⎭⎝4⎝⎭
若a ≤
2
1
，则函数f (x )在(-∞, a ]上单调递减． 2
所以函数f (x )在(-∞, a ]上的最小值为f (a )=a 2+1． 若a >
1⎤1⎛1⎤⎛
，则函数f (x )在 -∞, ⎥上单调递减，在 , a ⎥上单调递增．
2⎦2⎝2⎦⎝
⎛1⎫3
⎪=+a ． 2⎝⎭4
所以函数f (x )在(-∞, a ]上的最小值为f ②当x >a 时，
1⎫⎛3⎛⎫
f (x )=x 2+x +(1-a )= x +⎪+ -a ⎪．
2⎭⎝4⎝⎭
若a ≤-
2
1⎤1⎡⎛1⎫
，则函数f (x )在⎢a , -⎥上单调递减，在 -, +∞⎪单调递增． 22⎦⎣⎝2⎭
所以函数f (x )在[a , +∞)上的最小值为f -若a >-
⎛1⎫3
⎪=-a ． ⎝2⎭4
1
，则函数f (x )在[a , +∞)单调递增． 2
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所以函数f (x )在[a , +∞)上的最小值为f (a )=a 2+1． 综上所述， 当a ≤-当-
31
时，函数f (x )的最小值是-a ； 24
11
当a >时，函数f (x )的最小值是+a ．
24
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