高考空间几何

知识点一：基本图形认识

1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

⎧斜棱柱⎪底面是正多形

①棱柱⎨棱垂直于底面⎧→正棱柱★ ⎪−−−−−

−−−−−→直棱柱⎨⎪

⎪⎩

其他棱柱 底面为矩形

底面为正方形

2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

知识点二：面积与体积

1．柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面面积之和，表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和．

2．如果圆柱的底面半径是r ，母线长为l （注意与高的区别）圆柱的底面积是

S 柱底=πr 2，

圆柱的侧面积公式是S 柱侧=2πrl ，表面积是 S =2πr 2+2πrl =2πr (r +l ) ． 3．圆锥的侧面展开图是一个扇形．如果圆锥的底面半径是r ，母线长为l （注意与高的区别），那么它的表面积是 S =πr +πrl =πr (r +l ) ．

4．圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S =π(r +r +r l +rl ) ．

5．棱柱和圆柱的体积公式为V =Sh (S 为底面面积，h 为高) ． 6．棱锥和圆锥的体积公式为V =

'2

2

'

2

1

Sh (S 为底面面积，h 为高) ． 3

7．圆台和棱台的体积

公式为V =

1'

(S S ) h ，其中S ' , S 分别为上下底面面积，3

h 为圆台(棱台) 的高．

8．球的体积及球的表面积公式

（1）如果球的半径为R ，那么它的体积为V =

4

πR 3． 3

2

（2）如果球的半径为R ，那么它的表面积为S =4πR ． 例一、圆锥侧面积为2∏，底面积为∏则体积是：

知识点三：三视图

正视图：光线从前向后投影。侧视图：光线从左向右投影。俯视图：从上向下投影 例二、（2009

天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a =

_______.

例三：. （全国新课标理6）。在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为

例四：（北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

A ．8 B

． C ．10 D

．知识点四：平行垂直

知识点五：异面直线所成的角，线面角，二面角（几何法，向量法）

1．求异面直线所成的角θ∈(0︒,90︒]：

解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

2求直线与平面所成的角θ∈[0︒,90︒]：关键找“两足”：垂足与斜足

解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角θ∈[0, π]

解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

知识点六：向量计算

(一) 、空间向量的直角坐标运算：右手系 设 (1)

+

=(a1+b1,a 2+b2,a 3+b3);

则

(2)

(3)

-

=(a1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3); =a1b 1+a2b 2+a3b 3.

(4)

(5)

//

a 1b 1+a2b 2+a3b 3=0.

或

.

(6)A(x1,y 1,z 1),B(x2,y 2,z 2),

三、夹角和距离公式：

1、向量

与

的夹角：设

则

注意：

.

（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

中θ的范围是

(2)

用

此

公

式

求

异

面

直

线

，其

所

成角等角

度时，要注意这些角度与θ的关系（相等，互余，互补）。

2、两点距离公式：设A(x1,y 1,z 1),B(x2,y 2,z 2) 为空间两点，则

的坐标表示，然后

两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量

再用模长公式推出。

3、平面的法向量：如果表示向量

直于平面α,记作

. 如果

的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂

叫做平面α的法向量

, 那么向量

（1）利用法向量可处理线面角问题

设 θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量与平面α的法向量之间 的夹角，则有ϕ=

π

2

-θ（图1）或ϕ=

π

2

+θ（图2）

v

n

v

n

图一 图二

特别地 ϕ=0时，θ=

π

2

，l ⊥α；ϕ=

π

2

时，θ=0，l ⊆α或l //α

（2） 利用法向量可处理二面角问题

设 n 1, n 2分别为平面α, β的法向量，二面角α-l -β的大小为θ，向量n 1, n 2的夹角为ϕ，则有θ+ϕ

=π（图3）或 θ=ϕ（图4）

n

n

l

图三 图四

（3）点到平面的距离

设 n 为平面α的法向量，A ，B 分别为平面α内，外的点，则点B 到平面α的距离

d =

n B

d =||⋅|cos |

A

=||⋅|

|=

1. （重庆理9

）高为的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、

D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为

A

．4 B

．2

C ．1

D

2. （浙江理4）下列命题中错误的是

A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α⋂β=l，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

3. （四川理3）1，2，3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A ．B ．C ．

l l l

l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1//l 3 l 1⊥l 2，l 2//l 3⇒l 1⊥l 3

l 2//l 3//l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 l

l

l

l

l

l

D ．1，2，3共点⇒1，2，3共面

【解析】A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定

4. （陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

8-

A ．

2ππ

8-

3 B ．3 2π

C ．8-2π D ．3

5. （浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

6. （山东理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主） 视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其 中真命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

7. （全国新课标理6）。在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为

8. （全国大纲理6）已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于

A

． B

． C

． D ．1

9. （全国大纲理11）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β

截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．7π B ．9π C ．11π D．13π

（安徽理17）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段

AD 上，OA =1, OD =2, △OAB ，, △OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （II ）求棱锥F —OBED 的体积。

. （北京理16）

如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面A B C D ，底面A B C D 是菱形，

AB =2, ∠BAD =60.

(Ⅰ) 求证：BD ⊥平面PAC ;

（Ⅱ）若PA =AB , 求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

（福建理20）

如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，∠CDA =45︒．

（I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （II ）设AB=AP．

（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30 ，求线段AB 的长；

（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理 由。

1. （重庆理9

）高为的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、

D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为

A

．4 B

．2

C ．1

D

【答案】C

2. （浙江理4）下列命题中错误的是

A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α⋂β=l，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

【答案】D

3. （四川理3）1，2，3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A ．B ．C ．

l l l

l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1//l 3 l 1⊥l 2，l 2//l 3⇒l 1⊥l 3

l 2//l 3//l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 l

l

l

l

l

l

D ．1，2，3共点⇒1，2，3共面

【答案】B

【解析】A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定

4. （陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

8-

A ．

【答案】A

2ππ

8-

3 B ．3 2π

C ．8-2π D ．3

5. （浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

【答案】D

6. （山东理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①

存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）

视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其

中真命题的个数是

A ．3 B ．2

C ．1 D ．0

【答案】A

7. （全国新课标理6）。在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为

【答案】D

8. （全国大纲理6）已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于

A

．3 B

． C

． D ．1

0【答案】C 9. （全国大纲理11）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β

截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

A ．7π B ．9π C ．11π D．13π

【答案】D

26. （安徽理17）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在

线段AD 上，OA =1, OD =2, △OAB ，, △OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；

（II ）求棱锥F —OBED 的体积。

本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

（I ）（综合法）

证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以

= DE OB ∥2，OG=OD=2，

同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有O G '=OD =2.

又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.

=

DE DF OB 2在△GED 和△GFD 中，由∥和OC ∥2，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.

（向量法）

过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建 1 11

立如图所示空间直角坐标系.

E (3, 0, 0), F (0, 0, 3), B (

由条件知333, -, 0), C (0, -, ). 2222

=(-

则有, 0, ), =(-, 0, 3). 22 所以EF =2BC , 即得BC ∥EF.

（II ）解：由OB=1，OE=2，

三角形，故∠EOB =60︒, 知S EOB =2，而△OED 是边长为2的正S O ED =.

3. 2

13FQ ⋅S OBED =. 32 所以S OBED =S EOB +S OED =过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以V F -OBED =

27. （北京理16）

如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面A B C D ，底面A B C D 是菱形，

AB =2, ∠BAD =60.

(Ⅰ) 求证：BD ⊥平面PAC ;

（Ⅱ）若PA =AB , 求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长

.

证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，

所以AC ⊥

BD.

又因为PA ⊥平面ABCD.

所以PA ⊥BD.

所以BD ⊥平面PAC.

（Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=PB=2,

所以BO=1，AO=CO=.

如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则

P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以PB =(1, , -2), AC =(0, 2, 0).

设PB 与AC 所成角为θ，则

cos =6

22⨯2=6

4. （Ⅲ）由（Ⅱ）知BC =(-1, 3, 0).

设P （0，－3，t ）（t>0）， 则=(-1, -, t )

设平面PBC 的法向量m =(x , y , z ) , 则BC ⋅m =0, BP ⋅m =0 ⎧⎪-x +3y =0, ⎨⎪-x -y +tz -0所以⎩ 令y =, 则x =3, z =6. t 6m =(3, , ) t 所以

6n =(-3, 3, ) t 同理，平面PDC 的法向量

因为平面PCB ⊥平面PDC,

-6+

所以m ⋅n =0，即

解得t =36=02t 6

所以PA=6

28. （福建理20）

如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，∠CDA =45︒．

（I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；

（II ）设AB=AP．

（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，求线段AB 的长；

（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理 由。

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。

解法一：

（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，

AC ⊂平面ABCD ，

所以PA ⊥AB ，

又AB ⊥AD , PA AD =A ,

所以AB ⊥平面PAD 。

又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD 。

（II ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系

A —xyz （如图）

在平面ABCD 内，作CE//AB交AD 于点E ，则CE ⊥AD .

在Rt ∆CDE 中，DE=CD ⋅cos 45︒=1，

CE =CD ⋅sin 45︒=1,

设AB=AP=t，则B （t ，0，0），P （0，0，t ）

由AB+AD=4，得AD=4-t，

所以E (0,3-t ,0), C (1,3-t ,0), D (0,4-t ,0) ，

CD =(-1,1,0), PD =(0,4-t , -t ).

（i ）设平面PCD 的法向量为n =(x , y , z ) ，

⎧-x +y =0, ⎨(4-t ) y -tx =0. n ⊥CD n ⊥PD 由，，得⎩

取x =t ，得平面PCD 的一个法向量n ={t , t ,4-t }，

又PB =(t ,0, -t ) ，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，得

n ⋅PB 21|,cos 60︒=|=, |n |⋅|PB |2

t =

解得 44或t =4AB =. 55 （舍去，因为AD =4-t >0），所以

（ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等， 设G （0，m ，0）（其中0≤m ≤4-t ）

则GC =(1,3-t -m ,0), GD =(0,4-t -m ,0), GP =(0,-m , t ) ，

222(4-t -m ) =m +t |GC |=|GD |由得，（2）

2由（1）、（2）消去t ，化简得m -3m +4=0（3）

由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，

使得点G 到点P ，C ，D 的距离都相等。

从而，在线段AD 上不存在一个点G ，

使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等。

解法二：

（I ）同解法一。

（II ）（i ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A —xyz （如图）

在平面ABCD 内，作CE//AB交AD 于E ，

则CE ⊥AD 。

在平面ABCD 内，作CE//AB交AD 于点E ，则CE ⊥AD .

在Rt ∆CDE 中，DE=CD ⋅cos 45︒=1，

CE =CD ⋅sin 45︒=

1,

设AB=AP=t，则B （t ，0，0），P （0，0，t ）

由AB+AD=4，得AD=4-t，

所以E (0,3-t ,0), C (1,3-t ,0), D (0,4-t ,0) ，

CD =(-1,1,0), PD =(0,4-t , -t ).

设平面PCD 的法向量为n =(x , y , z ) ，

⎧-x +y =0, ⎨(4-t ) y -tx =0. 由n ⊥CD ，n ⊥PD ，得⎩

取x =t ，得平面PCD 的一个法向量n ={t , t ,4-t }，

又PB =(t ,0, -t ) ，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，得

n ⋅PB 21|,cos 60︒=|=, |n |⋅|PB |2

t =

解得 4或t =45（舍去，因为AD =4-t >0）， 4AB =. 5 所以

（ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等， 由GC=CD，得∠GCD =∠GDC =45︒，

从而∠CGD =90︒，即CG ⊥AD ,

∴GD =CD ⋅sin 45︒=1,

设AB =λ, 则AD=4-λ,

AG =AD -GD =3-λ，

GB ==

Rt ∆

ABG 在中，

=>1,

这与GB=GD矛盾。

所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点B ，C ，D 的距离都相等， 从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等。